自組織理論的概念、方法和應用

許立達, 樊 瑛, 狄增如

(北京師范大學管理學院,北京 100875;北京師范大學復雜性研究中心,北京 100875)

人類在對物質的微觀結構、基本粒子之間的相互作用以及天體運動和宇宙演化等問題獲得深刻的科學認識后,宏觀領域的復雜性問題成為學術界關注的主題.宏觀層次最接近我們熟悉的生存環(huán)境,時空尺度在米和秒的范圍內,涉及自然科學和社會科學等多個領域.這一空間尺度最突出的特點是系統(tǒng)的多樣性與復雜性,引起人們關注的基本問題是:在這些紛繁復雜的結構與運動形式背后,有沒有核心的科學問題和普適的基本規(guī)律,熱力學和統(tǒng)計物理學在遠離平衡的非線性區(qū)所取得的成果,為理解自然和社會演化的基本規(guī)律做出了突出的貢獻,自組織理論是其中的核心內容.

復雜系統(tǒng)涵蓋了物理、化學、生物、社會及經(jīng)濟等各個領域,它的基本特點是系統(tǒng)中包含大量的基本單元,并且隨著時間的演化,在更高的層次上不斷涌現(xiàn)出新的結構和功能.如何認識從無序到有序的演化問題是探索生命奧秘的基本問題.經(jīng)典力學所描述的物理過程都是時間反演對稱的,過程可逆即不存在“時間箭頭”.而熱力學與統(tǒng)計物理學研究由大量粒子組成的系統(tǒng),特別是與熱現(xiàn)象有關的物理過程,其中我們隨處可以觀察到不可逆的時間演化進程,相關規(guī)律被總結為熱力學第二定律,給出了系統(tǒng)熱運動的“時間箭頭”.

但熱力學第二定律要求一個孤立系統(tǒng)要朝均勻、簡單、消除差別的方向發(fā)展,這實際上是趨于低級運動形式的退化.然而,在現(xiàn)實生活中,我們還能觀察到與之相反的演化方向,即由簡單到復雜,由低級到高級,由無功能到有功能的方向演化,生命的產(chǎn)生和演化以及人類社會的發(fā)展是最典型的代表.兩種“時間箭頭”的指向問題構成了物理學、化學等研究無生命的科學與生物學、社會學等研究生命的科學的一個基本矛盾.自組織理論正是在探討這些根本性的問題中產(chǎn)生的.

事實上,在物理、化學領域同樣可以觀察到由無序到有序的進化現(xiàn)象,觀察到結構和功能的涌現(xiàn),貝納得(Benard)對流、激光和貝洛索夫-薩波金斯基反應(B-Z反應)是其中典型的例子,它們都是系統(tǒng)在某些外在條件下,自發(fā)地產(chǎn)生出宏觀有序結構,與生命現(xiàn)象具有共同的特點.研究各領域中自組織現(xiàn)象的共性與規(guī)律,并利用相應的概念和方法研究具體系統(tǒng)的自組織行為,是自組織理論研究的主要問題.

自組織理論的產(chǎn)生和發(fā)展歸功于許多在不同領域工作的科學家的貢獻.其中,由比利時自由大學Prigogine教授創(chuàng)建的布魯塞爾學派建立的耗散結構理論[1-4],和聯(lián)邦德國斯圖加特大學Haken教授所在的斯圖加特學派創(chuàng)立的協(xié)同學[5-7],共同構成了自組織理論的核心內容,并開辟了探索復雜性問題這一科學研究的新領域[8-9],為研究“低級、簡單”的物理系統(tǒng)與“高級、復雜”的生命系統(tǒng)演化提供了統(tǒng)一的理論基礎.

本文試圖對自組織理論的基本概念、研究方法以及應用作一個初步的介紹.由于近幾十年發(fā)展迅速的復雜性研究都可以算作自組織理論的延伸和發(fā)展,覆蓋眾多的領域和問題,難以深入展開,本文將重點放在具有共性的概念和方法上,介紹自組織理論的熱力學基礎和研究方法,包括確定性的動力學方法、考慮微觀漲落的隨機性方法和自底向上的多個體模擬方法,介紹耗散結構形成的基本過程和研究自組織行為的概念方法,然后以可激發(fā)介質中的螺旋波這一典型的時空有序結構為案例,介紹自組織理論研究復雜系統(tǒng)的基本線路,最后,將對自組織理論的拓展和應用作概略的介紹.

1 自組織理論的熱力學基礎和研究方法

復雜系統(tǒng)研究的主要內容是研究那些由大量個體組成的宏觀體系的基本性質.它主要包括以下3個方面:建立描述宏觀體系的概念或參量;刻畫體系所呈現(xiàn)的本質特性和演化規(guī)律特別是涌現(xiàn)性行為;探討這些宏觀層次上的性質和規(guī)律與微觀層次上個體行為之間的關系.

1.1 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)演化

在熱力學與統(tǒng)計物理中,由大量基本結構單元組成的宏觀對象稱之為熱力學系統(tǒng)(簡稱為系統(tǒng)).與系統(tǒng)相互作用著的外界稱為系統(tǒng)的環(huán)境.可以根據(jù)與外界環(huán)境相互作用的不同將系統(tǒng)分為孤立系統(tǒng)、封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)3類.系統(tǒng)在總體上會表現(xiàn)出一定的宏觀性質或宏觀物理過程,即系統(tǒng)的宏觀狀態(tài).把孤立系統(tǒng)所達到的不再隨時間變化的狀態(tài)稱為熱力學平衡態(tài)或簡稱平衡態(tài);否則稱為非平衡態(tài).系統(tǒng)從非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程稱為馳豫過程.平衡態(tài)是研究系統(tǒng)性質的出發(fā)點.孤立系統(tǒng)到達平衡態(tài)后,系統(tǒng)內部不再有宏觀物理過程發(fā)生,微觀粒子不顯現(xiàn)出任何宏觀有序的運動.與非平衡態(tài)相比,平衡時系統(tǒng)內部微觀粒子的運動是最無序、最無規(guī)則的.封閉系統(tǒng)和開放系統(tǒng)則可以看成是從一個大的孤立系統(tǒng)中劃分出來的一部分,其余部分就是它的環(huán)境.若整個孤立系統(tǒng)處于平衡態(tài),則作為其一部分的封閉系統(tǒng)或開放系統(tǒng)當然也就處于平衡態(tài).

人們引入了眾多的物理量來描述系統(tǒng)的宏觀狀態(tài),分為廣延量和強度量兩種.廣延量是系統(tǒng)特征大小的函數(shù),如體積V、質量M等;強度量則與系統(tǒng)大小無關,如溫度T、壓強P、密度ρ等.由系統(tǒng)狀態(tài)唯一確定的宏觀物理性質,稱之為態(tài)函數(shù).處于非平衡態(tài)的系統(tǒng),內部各處的宏觀性質不同且隨時間變化,在離平衡態(tài)不太遠時,可以使用局域平衡假設:把系統(tǒng)分成許多可以看作平衡態(tài)的小部分,此時所有熱力學變量都是與空間分布有關的點函數(shù),整個系統(tǒng)的廣延物理量則可以看作是每一小部分相應物理量的總合.

在外界作用下,系統(tǒng)的熱力學狀態(tài)隨時間的變化稱為熱力學過程.如果在熱力學過程中的每一個中間態(tài)都是平衡態(tài),這種過程叫做準靜態(tài)過程,準靜態(tài)過程是對實際過程的抽象與近似.系統(tǒng)狀態(tài)的變化需要滿足一定的物理規(guī)律,人們把它總結為熱力學第一和第二定律.熱力學第一定律要求系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程要滿足能量守恒.在準靜態(tài)過程的一個元過程中,令δ A表示系統(tǒng)對外界做的功,δ Q表示外界傳給系統(tǒng)的熱量,dU表示系統(tǒng)內能的變化,則熱力學第一定律可表示為

熱力學第一定律是能量守恒和轉化定律在涉及熱現(xiàn)象的宏觀過程中的具體體現(xiàn).

然而并不是滿足熱力學第一定律的過程就一定能自發(fā)實現(xiàn).系統(tǒng)演化的熱力學過程分為兩類,可逆過程和不可逆過程.對于一個熱力學過程,如果存在另一過程能使系統(tǒng)和外界完全復原,則稱之為可逆過程,只有無摩擦等耗散現(xiàn)象的準靜態(tài)過程才是可逆過程,是一種理想抽象.事實上,涉及熱現(xiàn)象有關的實際過程都具有方向性,是不可逆過程,一經(jīng)發(fā)生,則用任何方法都不可能使系統(tǒng)和環(huán)境完全復原.由此經(jīng)驗總結,學者們建立了熱力學第二定律.克勞修斯1850年將其表述為:不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化.1851年開爾文提出了另一種表述:不可能從單一熱源吸收熱量,使之完全變?yōu)橛杏玫墓Χ划a(chǎn)生其他影響.利用熱力學第一定律可以證明這兩種表述是等價的.

熱力學第二定律可以通過引入態(tài)函數(shù)熵S來定量刻畫,它是一個廣延的、可加的物理量.引入熵后,可以建立包含熱力學第一和第二定律的基本熱力學方程

對于孤立系統(tǒng),系統(tǒng)和環(huán)境沒有能量和熱量交換,δ Q=0,有

式(3)稱為熵增加原理:在孤立系統(tǒng)中,不可逆過程總是朝著熵增加的方向進行的.它是熱力學第二定律的直接結果.系統(tǒng)達到平衡態(tài)時,熵就達到了極大值.在統(tǒng)計物理學中我們知道,熵是系統(tǒng)宏觀狀態(tài)無序程度的定量度量.系統(tǒng)某個宏觀狀態(tài)的熵直接與這一宏觀態(tài)所對應的微觀狀態(tài)數(shù)W有關.

式中,k為玻爾茲曼常數(shù).

熵越大,宏觀態(tài)對應的微觀態(tài)越多.熵增加的過程即意味著系統(tǒng)從有序態(tài)向越來越無序的態(tài)轉變.在這個意義上,熱力學第二定律給出了孤立系統(tǒng)趨向于無序和混亂的時間演化箭頭.

1.2 近平衡態(tài)、最小熵產(chǎn)生定理與遠離平衡下的自組織

平衡態(tài)有兩個重要的特征:a.系統(tǒng)的狀態(tài)變量不再隨時間變化;b.系統(tǒng)內部不存在物理量的宏觀流動,如熱流、粒子流等.凡是不具備以上任一條件的態(tài),都叫非平衡態(tài).一般來說,當系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)不再隨時間變化時,就稱系統(tǒng)達到了定態(tài),顯然,孤立系統(tǒng)的定態(tài)就是平衡態(tài).而開放系統(tǒng)的演化強烈地依賴于外部條件,定態(tài)有著豐富的內容和多種可能性.

熱力學第二定律已經(jīng)指出,孤立系統(tǒng)總是朝著熵增加的方向演化.熵和能量一樣是可以傳遞的物理量,同時它還可以在自身的不可逆過程中產(chǎn)生出來.對于開放系統(tǒng)來說,熵的變化包括兩部分:

式中,dSi≥0表示系統(tǒng)內部的熵產(chǎn)生;dSe為熵流,反映了系統(tǒng)與外界的熵交換,這部分可正、可負、也可為零.由于熵流的作用,開放系統(tǒng)內熵的變化可以取任何符號.

開放系統(tǒng)中可以存在許許多多的不可逆過程,表現(xiàn)為各種各樣的流和力,例如,溫度梯度是產(chǎn)生熱流的不可逆力,還有由于氣體分子密度不均勻而導致的擴散流等,這些流和力之間的關系,直接影響系統(tǒng)非平衡態(tài)的性質.

令Yi(i=1,2,…)表示各種不可逆流的強度,而把正比于溫度梯度、密度梯度等的不可逆力表示為Xi(i=1,2,…),不可逆流的強度Yi依賴于不可逆力Xi的大小.當離平衡態(tài)不太遠,不可逆力不大時,可以認為流與力成正比.此外,實驗表明,不同的流和力之間可以相互影響,所以,當離平衡態(tài)不遠時,流和力之間的關系一般應為

式中,常數(shù)Lij為線性唯象系數(shù).

在非平衡熱力學中,流和力這種線性關系適用的范圍叫做非平衡線性區(qū).

昂薩格在1932年發(fā)現(xiàn)線性唯象系數(shù)滿足對稱關系[10]

式(7)被稱為昂薩格倒易關系,它直接影響著近平衡區(qū)系統(tǒng)演化的進程.

對于開放系統(tǒng),不論是否存在與環(huán)境之間的熵流,系統(tǒng)內部總會由于各種不可逆過程而存在大于零的熵產(chǎn)生,單位時間的熵產(chǎn)生叫做熵產(chǎn)生率.由熱力學第二定律可知,熵產(chǎn)生率不能為負.很顯然,熵產(chǎn)生率p的大小依賴于各種不可逆過程流和力的大小,可以表示為所有不可逆過程流和力的乘積之和.

在近平衡的線性區(qū),應用昂薩格倒易關系可以證明,系統(tǒng)將自發(fā)調整到使熵產(chǎn)生率p取得極小值的狀態(tài),這就是普利高津在昂薩格倒易關系的基礎上得到的最小熵產(chǎn)生原理[2].

所以,孤立系統(tǒng)以及線性非平衡條件下的開放系統(tǒng)總是朝著平衡態(tài)或盡可能靠近平衡態(tài)的目標演化,即朝著無序、均勻、低級和簡單的方向發(fā)展.只有當系統(tǒng)遠離平衡態(tài)時,流和力之間不再存在線性關系,也就不會有昂薩格倒易關系和最小熵產(chǎn)生原理,熱力學系統(tǒng)的演化行為才會表現(xiàn)出多樣性,展現(xiàn)出各種自組織現(xiàn)象.

自組織現(xiàn)象有兩個特點,一是自組織現(xiàn)象產(chǎn)生根源于系統(tǒng)的內部;二是系統(tǒng)與外界的物質和能量交換是維持有序結構的必要條件,普利高津稱其為耗散結構.顯然,自然界中的進化現(xiàn)象特別是生命現(xiàn)象都必須用非平衡條件下的序才能解釋,所以,普利高津提出了“非平衡是有序之源”這一著名論斷,遠離平衡態(tài)是系統(tǒng)實現(xiàn)由無序向有序演化的必要條件.

系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性在耗散結構的形成過程中起著重要作用.孤立系統(tǒng)的平衡態(tài)和線性區(qū)的非平衡定態(tài)都是穩(wěn)定狀態(tài).當某種擾動使系統(tǒng)偏離該狀態(tài)時,系統(tǒng)會力求恢復到原來的平衡態(tài)或定態(tài).通過控制外界條件,可以使系統(tǒng)從平衡態(tài)連續(xù)地過渡到非平衡定態(tài),這一連串狀態(tài)連接在一起,統(tǒng)一地被稱為熱力學分支.當系統(tǒng)離平衡態(tài)不遠時,熱力學分支是穩(wěn)定的,而當外界條件驅動著系統(tǒng)越來越遠離平衡時,會出現(xiàn)一個臨界閾值,外界控制參量越過該臨界值后,系統(tǒng)的熱力學分支就失去了穩(wěn)定性,微小的擾動就會使系統(tǒng)偏離熱力學分支,并達到一個新的穩(wěn)定狀態(tài),新的穩(wěn)定狀態(tài)所在的分支就被稱為耗散結構分支,如圖1所示.x0為系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài),A為外界控制參量.這種由熱力學分支失穩(wěn)而使系統(tǒng)躍遷到耗散結構分支的現(xiàn)象,叫做非平衡相變.

自組織現(xiàn)象的發(fā)生需要以下條件:a.系統(tǒng)是開放的.當環(huán)境造成的負熵流deS足夠大而使系統(tǒng)的總熵減少,系統(tǒng)才能進入相對有序的狀態(tài).b.遠離平衡態(tài).只有當系統(tǒng)在外界條件驅動下達到遠離平衡態(tài)的區(qū)域,才有可能發(fā)生非平衡相變.c.非線性的相互作用.這是熱力學分支失穩(wěn),并存在穩(wěn)定的耗散結構分支的必要條件.d.漲落是有序結構產(chǎn)生的觸發(fā)器.在非平衡相變的臨界點附近,系統(tǒng)中的漲落會被放大并導致系統(tǒng)發(fā)生宏觀的變化.在非平衡系統(tǒng)具有了形成有序結構的客觀條件后,漲落對于某種序的實現(xiàn)起著決定性的作用.

圖1 熱力學分支和耗散結構分支Fig.1 Thermodynamic branch and dissipative stricture branch

1.3 自組織現(xiàn)象的研究方法

以上的熱力學研究給出了系統(tǒng)產(chǎn)生宏觀有序行為的條件和機制,為理解各領域復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)性提供了統(tǒng)一的概念、方法和基礎.但當我們希望了解具體系統(tǒng)的宏觀行為時,必須針對具體系統(tǒng)應用動力學的概念和方法,分析個體行為、相互作用和演化機制.研究復雜系統(tǒng)的演化動力學,通?？梢詮暮暧^、介觀或微觀幾個層次入手.

1.3.1 系統(tǒng)演化的宏觀動力學描述

引入狀態(tài)矢量x(x1,x2,…,xn)來描寫系統(tǒng)的宏觀狀態(tài),一般來說,系統(tǒng)的演化情況可以用反應擴散方程來描述

式中,A代表外界環(huán)境對系統(tǒng)的控制;D為擴散系數(shù).

若空間均勻或不考慮空間因素且反應項中不含時間因素,該系統(tǒng)為n維自治微分動力系統(tǒng)

函數(shù) f給出了系統(tǒng)演化與宏觀變量x1,x2,…,xn之間相互作用的依賴關系.以(x1,x2,…, xn)為坐標軸構成了系統(tǒng)的相空間,相空間中的一個點代表系統(tǒng)的一個狀態(tài),給定初始條件,系統(tǒng)(10)就會給出一條相軌跡代表系統(tǒng)的演化.改變控制參量會改變演化過程,并定性地影響系統(tǒng)演化的最終結果,使系統(tǒng)最終穩(wěn)定在不同的狀態(tài).

應用以上動力系統(tǒng)的描述和分析方法,利用線性穩(wěn)定性分析與分支理論,就可以描述系統(tǒng)的非平衡相變過程.非線性系統(tǒng)的定態(tài)解可能有許多個,代表著系統(tǒng)多個不同的演化方向.因此,正像在耗散結構產(chǎn)生的條件中提到的,只有考慮系統(tǒng)中各種非線性的相互作用,才有可能描述熱力學分支的失穩(wěn)和耗散結構分支的形成.值得注意的是,若同時存在多個耗散結構分支,系統(tǒng)最終會穩(wěn)定到哪個分支上,完全由在分支點附近的隨機漲落決定,由此可以體會漲落是有序結構形成的觸發(fā)器這一結論.當系統(tǒng)穩(wěn)定到耗散結構的某一支上后,系統(tǒng)原來的時空對稱性就被打破,所以,非平衡相變通常伴隨著對稱破缺現(xiàn)象.

1.3.2 自組織現(xiàn)象的隨機描述

為了考慮系統(tǒng)由于微觀個體偏離平均行為而導致的漲落的影響,一種途徑是引入隨機的描述方法,其基本觀點是把系統(tǒng)的宏觀變量或參量看作隨機變量,應用Master方程、Fokker-Planck方程和 Langevin方程描寫系統(tǒng)演化的隨機過程,探討漲落怎樣觸發(fā)非平衡相變和環(huán)境漲落對相變的影響等具體問題.此時人們關心的是狀態(tài)變量的概率分布函數(shù)P(x,t)隨時間的變化情況.

系統(tǒng)狀態(tài)的變化需要引入轉移概率,或叫遷移概率 ω來描述.對轉移概率只與系統(tǒng)狀態(tài)有關的Markov過程,分布函數(shù)隨時間的演化可以用Master方程給出.時間和狀態(tài)均離散的Markov鏈,其Master方程為

時間連續(xù)時,方程(11)化為

式中,P(j,t)為系統(tǒng)在t時刻處于j態(tài)的概率;ω(i→j)為系統(tǒng)由i態(tài)遷移到j態(tài)的轉移概率.

當狀態(tài)也連續(xù)時,需要使用方程(12)的積分形式.事實上,當狀態(tài)和時間都連續(xù)時,可以用Fokker-Planck方程描寫分布函數(shù)的演化,在1維情況下為

式中,a1(x),a2(x)與轉移概率有關.

式中,g(x)是描述系統(tǒng)與環(huán)境相互作用的函數(shù).

式(14)對應的Fokker-Planck方程為

由此可見,以上3種方程之間是有內在聯(lián)系的.

自組織理論的隨機方法使宏觀結果與微觀機制的關系有了數(shù)量上的描述,尤其可以深入討論漲落是如何被放大的、環(huán)境漲落對自組織過程的影響等問題,加深了人們對系統(tǒng)演化的理解.

1.3.3 自底向上的多主體模擬方法

反應擴散方程中的反應項和主方程中的轉移概率,實質上都是對系統(tǒng)微觀層次相互作用的描述.對于由具有主動性、適應性的個體組成的復雜系統(tǒng),系統(tǒng)個體之間相互作用和宏觀狀態(tài)演化的結構化描述非常困難.此時以多主體模擬方法為代表的自底向上的復雜系統(tǒng)研究方法,就成為理解和研究自組織現(xiàn)象的基本手段.

元胞自動機可以認為是最簡單的多個體模擬方法.元胞自動機實際上是空間、時間、狀態(tài)都離散的動力系統(tǒng),元胞之間的相互作用通常是通過if-then之類的邏輯語言描述,通過計算機數(shù)值模擬研究系統(tǒng)最終的演化結果,探討在各種條件下有序結構的形成.在大量社會、經(jīng)濟、生物、生態(tài)系統(tǒng)中,個體的行為和相互作用更加復雜,甚至具備學習能力和適應行為,復雜適應性系統(tǒng)的概念和研究方法就是在這種情況下發(fā)展起來的[11-13].

使用多主體系統(tǒng)模擬方法研究復雜系統(tǒng)中自組織行為,人們最關心的是個體僅僅通過局域范圍內的相互作用,在一定條件下就會產(chǎn)生全局性的時空結構或組織結構.自底向上的計算機數(shù)值模擬方法,需要確定個體和環(huán)境特征、個體之間的相互作用機制、演化機制、宏觀結構的刻畫等要素,自組織現(xiàn)象的產(chǎn)生條件、機制和特征在相關模型機制設定中都會有所體現(xiàn).在多個體系統(tǒng)模擬中,人們更應該關注自組織現(xiàn)象的本質內涵:在沒有中心控制(沒有組織者或其他系統(tǒng)之外的設計)、沒有完全信息的條件下,僅僅通過微觀個體的局域相互作用,就可以導致系統(tǒng)全局結構的涌現(xiàn)[14].

2 生命系統(tǒng)中的應用案例

現(xiàn)以心肌組織中螺旋波的演化行為為例,沿著從微觀到宏觀這一線路,應用自組織理論加深對相關問題的理解.

螺旋波是一種典型的宏觀時空有序結構,在自然界中尤其是生命系統(tǒng)中十分常見,如鉑表面的CO氧化反應、液晶中的Ising-Block相變、粘性霉菌群體的自組織演化、卵細胞中的鈣離子波等.在心肌組織中,心肌細胞間傳導的電信號也可能在宏觀上產(chǎn)生螺旋波.螺旋波的一個顯著特點就是能夠自我維持,一旦產(chǎn)生就很難自然消除.而且螺旋波極易受到噪聲或是外界環(huán)境的影響發(fā)生破裂,進入到湍流態(tài)或混沌態(tài),使得心肌組織的有序行為受到破壞,出現(xiàn)心顫.因此,對心肌中螺旋波產(chǎn)生、演化、破裂行為的研究有現(xiàn)實意義.

首先從微觀入手.假定組成心肌組織的所有心肌細胞都是同質的,不妨先考慮單個細胞的行為和性質,這是出現(xiàn)宏觀電信號的微觀基礎.基于實驗中觀察到的細胞膜電位發(fā)放過程,日本電機工程學家Nagumo于 1962年對完全描述細胞膜機構的Hodgkin-Huxley模型進行簡化,提出了 FHN (FitzHugh-Nagumo)模型[15]

式中,系統(tǒng)變量v為膜電壓;w是與動作電位后恢復期大小有關的變量;v0,w0為兩個變量的參考值;α, γ為系統(tǒng)參數(shù);ε為一遠小于1的參數(shù),表示兩個變量v,w具有不同的時間尺度,分別為系統(tǒng)的快變量和慢變量.

將兩個動力學項簡記為

由動力系統(tǒng)的定性分析方法容易得到,系統(tǒng)(16)存在唯一的不動點,通過線性穩(wěn)定性分析可知,當ε是一個小量時,這個點是漸進穩(wěn)定的.也就是說,系統(tǒng)狀態(tài)一旦進入該點的鄰域內時,就會最終到達并穩(wěn)定在這個不動點,即使受到一個小的擾動,系統(tǒng)也會最終回到這個狀態(tài).但同時ε使變量w的變化速率遠小于變量v的變化速率,當擾動超過一定閾值時,系統(tǒng)就表現(xiàn)出特殊的動力學行為.如圖2(a)中實線所示,系統(tǒng)首先會被很快地激發(fā)到遠離定態(tài)解的區(qū)域,然后按照某個路線弛豫回到系統(tǒng)定態(tài).虛線為FHN方程的水平等傾線和豎直等傾線,實線代表系統(tǒng)受激發(fā)后的相軌線.這種系統(tǒng)稱之為可激發(fā)系統(tǒng),其中,動力學項的三次函數(shù)形式是系統(tǒng)可激發(fā)的一個必要條件,而ε值的大小是系統(tǒng)可激發(fā)性的一個重要量度,只有在ε值足夠小時,系統(tǒng)才是可激發(fā)的;否則,系統(tǒng)的穩(wěn)定點將是一個穩(wěn)定焦點,不會觀察到激發(fā)過程.

圖2 FHN方程的相圖和時間演化圖Fig.2 Phase diagram and time evolution of FHN equation

定性了解了單個細胞的可激發(fā)性質之后,可以進而研究心肌組織上整體顯現(xiàn)出的宏觀動力學行為.此時就必須考慮細胞之間的耦合以及電信號在細胞之間的擴散傳播,需要用帶有空間擴散項的反應擴散系統(tǒng)來描述系統(tǒng)的整體行為

式中,D為擴散系數(shù),擴散項表示細胞狀態(tài)值受其他細胞的影響.

對反應擴散方程(17),理論分析通常十分困難,計算機數(shù)值計算方法就成為一個非常必要的工具.

通過數(shù)值模擬結果可以很直觀地看到,在特定系統(tǒng)參數(shù)范圍內,斷裂的行波由于細胞之間擴散的相互關系,會內卷形成螺旋波,而之后的動力學行為,由系統(tǒng)參數(shù)(與微觀個體及其相互作用關系相關)和外界環(huán)境共同決定.穩(wěn)定的螺旋波,其波尖的運動軌跡是一個穩(wěn)定的圓,隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,螺旋波會出現(xiàn)多次相變和失穩(wěn),開始漫游直至破裂[16].而改變外界環(huán)境,如外加力場等,也可以控制螺旋波出現(xiàn)漂移等行為.之前的工作就同時考慮了這兩個因素的影響,在均勻介質的條件下由系統(tǒng)參數(shù)的不同可以得到疏密兩種螺旋波,如圖3所示,當介質變得不均勻時,這兩種螺旋波的漂移行為有很明顯的差異[17].從微觀的可激發(fā)的細胞到宏觀組織中的時空有序結構,很好地體現(xiàn)了自組織現(xiàn)象的產(chǎn)生過程和研究方法.

圖3 螺旋波示意圖Fig.3 Spiral wave

3 自組織理論的拓展和應用

自組織理論的建立,直接推動了復雜性研究的發(fā)展[18-19].進入21世紀以來,復雜性研究得到了各國科學研究工作者的重視,使得自組織理論迅速發(fā)展,無論是概念體系、理論范疇或研究領域都得到了拓展.

從動力學的研究層面上,隨著非線性科學的發(fā)展,經(jīng)典意義上的以時空周期結構或準周期結構為特征的自組織概念已被大大地加以擴展,關于混沌、分形及孤子理論的相繼問世,使大家開始關注以混沌組織形態(tài)為代表的更復雜、更一般的自組織形態(tài).同時,隨著經(jīng)典動力系統(tǒng)與對應的量子系統(tǒng)特征對照研究手法的發(fā)展,探討經(jīng)典動力系統(tǒng)行為的混沌化的量子對應得到迅速發(fā)展,對量子混沌現(xiàn)象的深入研究使得源于宏觀層次上的自組織理論研究深入到了微觀層次.

自組織理論問世之初研究的對象主要集中在反應-擴散系統(tǒng)及激光等物理化學系統(tǒng),但隨著對自組織認識的深化及研究層次的拓展,特別是探索復雜性命題的提出,研究對象的類型也在過去30年中逐步擴展和多樣化,從物理和化學系統(tǒng)中的自組織研究向地質學、氣象學、宇宙學,特別是向生物學及社會系統(tǒng)中的自組織研究拓展.地質學中的成礦及其分布、氣候的演變、地震活動的演化、生物體內的節(jié)律現(xiàn)象與自調節(jié)功能、細胞動態(tài)特征中的自組織行為,以及交通控制、城市發(fā)展和人口控制中的自組織模型等研究皆取得顯著成功,為深入研究各領域有序結構的形成機制,能動地利用自組織理論達到控制各類系統(tǒng)的演化,使其實現(xiàn)特定的結構和功能打下了基礎.

4 結束語

自組織理論的研究對象是復雜系統(tǒng),它關心復雜系統(tǒng)演化所表現(xiàn)出來的多樣性和復雜性背后的基本科學問題.自組織理論的產(chǎn)生和發(fā)展,成為溝通物理的、量的世界和生物的、質的世界的橋梁.這一理論對于人們的世界觀和方法論產(chǎn)生了革命性的、深遠的影響,使人們認識到了不同領域內的復雜系統(tǒng),在演化過程中遵從著普適的規(guī)律,而要挖掘這些基本的規(guī)律,在科學方法上就必須超越還原論,使用整體論和系統(tǒng)論的研究方法.這些思想和方法上的革新奠定了探索復雜性的科學基礎.

探索復雜性目前已經(jīng)成為科學研究的一個熱點領域,引起了世界各國科研工作者的重視.我國2006年發(fā)布的《國家中長期科學和技術發(fā)展規(guī)劃綱要》也多次論述了系統(tǒng)科學和交叉學科,明確指出“復雜系統(tǒng)、災變形成及其預測控制”是面向國家重大戰(zhàn)略需求的基礎研究,要求“重點研究工程、自然和社會經(jīng)濟復雜系統(tǒng)中微觀機理與宏觀現(xiàn)象之間的關系,復雜系統(tǒng)中結構形成的機理和演變規(guī)律、結構與系統(tǒng)行為的關系,復雜系統(tǒng)運動規(guī)律,系統(tǒng)突變及其調控等,研究復雜系統(tǒng)不同尺度行為間的相關性,發(fā)展復雜系統(tǒng)的理論與方法等.”作為自組織理論的進一步發(fā)展,我們相信這一研究方向最終會加深我們對自然和生命的理解.

[1] GLANSDORFF P,PRIGOGINE I.Thermodynamics Theory of Structure,Stabilityand Fluctuations[M]. New York:Wiley-Interscience,1971.

[2] 尼科利斯,普利高津.非平衡系統(tǒng)的自組織[M].徐錫申,陳式剛,王光瑞,譯.北京:科學出版社,1986.

[3] PRIGOGINE I.From Being to Becoming[M].San Francisco:W H Freeman and Company,1980.

[4] 沈小峰,胡崗,姜璐.耗散結構論[M].上海:上海人民出版社,1987.

[5] 哈肯 H.協(xié)同學引論[M].徐錫申,陳式剛,陳雅深,譯.北京:原子能出版社,1984.

[6] 哈肯H.高等協(xié)同學[M].郭治安,譯.北京:科學出版社,1986.

[7] HAKEN H.信息與自組織[M].成都:四川教育出版社,1988.

[8] 湛墾華,沈小峰.普利高津與耗散結構理論[M].西安:陜西科學技術出版社,1982.

[9] 姜璐.自組織理論——復雜性研究的歐洲學派[M]//復雜性新探.北京:人民出版社,2007:123-135.

[10] ONSAGER L.Reciprocalrelationsin irreversible processes[J].I Phys Rev,1931,37:405-426.

[11] 約翰?霍蘭.隱秩序:適應性造就復雜性[M].周曉牧,韓暉,譯.上海:上?？萍冀逃霭嫔?2000.

[12] HOLLAND J.The Echo Model[C]//Proposal for a Research Program in Adaptive Computation,1992: 15-30.

[13] HOLLAND J.Adaptation in Natural and Artificial Systems[M].2nd ed.Cambridge,M A:MIT Press,1992.

[14] 姜璐,張方風.要加強對復雜適應性系統(tǒng)的研究[J],系統(tǒng)科學學報,2008,16(1):25-30.

[15] NAGUMO J,ARIMOTO S,YOSHIZAWA S.An active pulse transmission linesimulating nerve axon[J]. Proc IRE,1962,50.

[16] WINFREE A T.Varieties of spiral wave behavior:An experimentalist's approach to the theory of excitable media[J].Chaos,1991,1(3):303-334.

[17] XU L,QU Z,DI Z.Drifting dynamics of dense and sparse spiral waves inheterogeneous excitable media [J].Phys Rev E,2009,79:036212,1-5.

[18] PRIGOGINE I,ALAN P M.The Challenge of Complexity,Self-Organizationand Dissipative Structures [M].Austin:University of Texas Press,1982.

[19] NICOLIS G,PRIGOGINE I.探索復雜性[M].羅久里,陳奎寧,譯.成都:四川教育出版社,1992.