Heston模型的對數(shù)效用無差別定價(jià)

張東云

(河南師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453007)

0 引 言

效用無差別定價(jià)是一種新的定價(jià)方式，它以效用最大化為最優(yōu)性準(zhǔn)則，利用考慮未定權(quán)益和不考慮未定權(quán)益兩種不同投資機(jī)會的相關(guān)性得到的一種定價(jià)方法，首次由Hodegs和Neuberger[1]1989年提出。當(dāng)效用函數(shù)為指數(shù)效用函數(shù)時(shí)，無差別定價(jià)與最小熵等價(jià)鞅測度有相關(guān)性，因此，對于指數(shù)效用函數(shù)的無差別定價(jià)得到了很多研究成果。對于指數(shù)效用的無差別定價(jià)，效用無差別定價(jià)主要通過兩種方法進(jìn)行研究:一種是以隨機(jī)控制理論為基礎(chǔ)，利用動態(tài)規(guī)劃方法對效用無差別定價(jià)進(jìn)行研究[2-4];另一種是鞅方法，利用熵準(zhǔn)則和最優(yōu)投資組合問題[5]的對偶性來研究效用無差別定價(jià)[6]。由于對數(shù)效用函數(shù)中對期末財(cái)富的非負(fù)性的要求，使得對數(shù)效用函數(shù)的無差別定價(jià)的研究幾乎是一片空白。文中利用動態(tài)規(guī)劃方法對Heston模型的對數(shù)效用函數(shù)的無差別定價(jià)進(jìn)行了初步探索。

1 市場模型

Heston模型是一種比較特殊的隨機(jī)波動率模型，文獻(xiàn)[7]討論了該模型的最優(yōu)投資組合問題，下面利用文獻(xiàn)[7]給出Heston模型。

給定概率空間(Ω，F(xiàn)，F(xiàn) t，P)，市場中的所有信息集用濾子Ft表示，F(xiàn)t滿足通常條件。投資者在投資區(qū)間[0，T](T∈R+)內(nèi)可以連續(xù)交易。市場上有兩種資產(chǎn):一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其t時(shí)刻的價(jià)格S0(t)≡1;另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程S(t)滿足Heston模型，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足隨機(jī)微分方程:

其中λ，α和β為正的常數(shù)，-1＜ρ＜1，μ(y)/σ(y)=ζy，W(t)與(t)是相互獨(dú)立的Brownian運(yùn)動。

給定交易策略π(t)，策略集記為A(t)，則相應(yīng)于交易策略π(t)的財(cái)富過程X(t)滿足隨機(jī)微分方程

考慮對數(shù)效用函數(shù)

給定未定權(quán)益C T，考慮如下最優(yōu)投資組合問題

和

定義1 對于未定權(quán)益CT，滿足

Λ(t)稱為未定權(quán)益C T在t時(shí)刻的對數(shù)效用無差別定價(jià)。

2 Heston模型的對數(shù)效用無差別定價(jià)[8]

定理1 假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程滿足Heston模型，則歐式未定權(quán)益C T的對數(shù)效用無差別定價(jià)滿足:

邊界條件為

證明:首先給出V(t，x，y)的HJB方程

邊界條件為

由一階條件得最優(yōu)策略

將上式代入式(7)得

假設(shè)V(t，x，y)是可分離的，即

將其代入式(8)得

邊界條件為

邊界條件為

由一階條件得最優(yōu)策略

將上式代入式(10)得

由定義1可得

將上式代入式(12)，由式(9)得

邊界條件為

由式(6)可知，Heston模型的對數(shù)效用無差別定價(jià)也與投資者的初始財(cái)富x有關(guān)。

[1] Hodges S D，Neuberger A.Op timal rep lication o f contingent claims under transaction costs[J].Review of Futures Markets，1989(8):222-239.

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