帶有移動擺載荷柔性梁的動力學分析

吳艷紅，韓廣才

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱150001)

本文以高架起重機為例，研究了帶有移動擺載荷柔性梁動力學問題.在工程實際中，結(jié)構(gòu)承受移動載荷力學模型很普遍.Fung和Yau于2001年研究了旋轉(zhuǎn)柔性梁在移動質(zhì)量作用下的振動頻率［1］，2002年用假設(shè)模態(tài)法研究了該系統(tǒng)的動響應(yīng).Lee在1996年用Lagarage法和假設(shè)模態(tài)法推導出懸臂梁在移動載荷作用下的動力學方程［2］.

Siddiqui在1998年研究了柔性梁在移動彈簧質(zhì)量作用下的運動，利用Raileigh-Rits法和Perturbation法得出運動方程的近似解［3］.Ichikawa用模態(tài)分析法和直接積分法研究了多跨體連續(xù)梁在恒定速度移動質(zhì)量作用下的動力學行為［4］.

由于交通工具質(zhì)量增加及其運行速度的加快，許多研究人員關(guān)注結(jié)構(gòu)和交通工具之間的相互作用，移動質(zhì)量不能簡化成一個質(zhì)點而是一個移動的振蕩器，在Fryba杰出的專著中對這一簡單而又廣泛涉及的例子列出了更多的建模和分析方法［5］.夏禾研究了簡支梁在不同載荷作用下的振動分析［6］.彭獻等研究了勻變速移動質(zhì)量與簡支梁耦合系統(tǒng)的振動分析［7］.本文在以上文獻基礎(chǔ)上，研究了移動擺載荷作用下柔性梁的振動問題，介紹柔性梁在移動集中力、移動簡諧力和移動集中質(zhì)量作用下的振動方程，基于Hamilton原理，推導出帶有移動擺載荷柔性梁耦合運動微分方程，利用假設(shè)模態(tài)法對簡支梁進行離散，采用紐馬克逐步積分法對運動微分方程進行求解，本文所采用方法及推導的方程對工程實際問題研究有一定理論意義.

1 梁的振動分析

1.1 簡支梁在移動力作用下的振動

如圖1所示，忽略移動載荷質(zhì)量，t=0時，常量力F位于左邊支承處;某一瞬時常量力F移動到距左邊支承點x=vt.假設(shè)簡支梁為等截面(EI為常數(shù))，單位長度質(zhì)量為m，不考慮梁的阻尼.梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi).對于移動小車質(zhì)量與簡支梁質(zhì)量相比較小的情況，可將小車看作移動常力，給出其動力響應(yīng)的近似解［8］:

圖1 勻速移動常力作用下的簡支梁Fig.1 Simply supported beam subjected to a constant force moving at a constant speed

1.2 簡支梁在移動簡諧力作用下的振動

如圖2所示，設(shè)簡諧力F1cos(Ωpt)以勻速v通過簡支梁.載重小車在簡支梁上受到表面不平(跳車)的激勵后，以小車的固有頻率發(fā)生振動而通過簡支梁時，小車簧上部分(即車身)的慣性力就是一種簡諧力［9］.

圖2 勻速移動簡諧力作用下的簡支梁Fig.2 Simply supported beam subjected to a harmonic force moving at a constant speed

梁的動力響應(yīng)為

式中:Ωp為簡諧力的撓動頻率.

2 帶有移動擺載荷柔性梁動力學方程

簡支梁可以用Euler-Bernoulli梁來模擬，忽略了扭轉(zhuǎn)和剪切變形的影響.起重載荷被簡化為集中質(zhì)量球擺，通過不可伸長且不計質(zhì)量的繩子懸掛在沿柔性梁移動的小車上.

起重機的簡化模型如圖3所示，起重機小車的質(zhì)量為mc，以速度x·c沿著柔性梁移動.剛性桿的長度為l，一端連接著小車，一端與擺載荷ml連接，剛性桿在垂直平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為θ.梁的楊氏模量為E，單位長度質(zhì)量為m，長為lb，慣性矩為I.

圖3 梁式起重機力學模型Fig.3 Mechanic model of a beam crane

設(shè)梁單元的位置矢量為rb，小車的位置矢量為rc，擺載荷的位置矢量為rL，可以表示為

相應(yīng)的速度矢量為

系統(tǒng)的動能T可以表示為

其中，Tb、Tc、Tl分別代表簡支梁、小車和有效擺載荷的動能.

系統(tǒng)的勢能為

其中，Vb、Vc、Vl分別代表簡支梁、小車和有效擺載荷的勢能.

利用Hamilton原理可以推導出系統(tǒng)運動方程:

將式(5)、(6)代入式(7)得出下系統(tǒng)的非線性耦合運動方程:

3 分析系統(tǒng)運動學方程

柔性梁耦合系統(tǒng)動力學模型如圖4所示.

圖4 移動擺載荷柔性梁耦合系統(tǒng)動力學模型Fig.4 Dynamic model of a flexible beam with a moving mass suspending a pendulum

已知小車質(zhì)量mc，以初速度v0、勻加速度a向前運動，柔性梁單位長度質(zhì)量m，抗彎剛度EI，梁上x處在t瞬時的撓度為y(x，t)，取小車位移方程ξ=，設(shè)

式中:mi為第i階模態(tài)主質(zhì)量，由

式(13)和(14)代入式(12)，得

整理式(15)得

式(16)為有無窮多個變量且相互不獨立的耦合動力學方程，因結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)主要由若干個低階振型起控制作用.對于復雜結(jié)構(gòu)，采用振型分解法，計算中只取少數(shù)前幾階振型就可以獲得滿意的精度.對于簡支梁位移級數(shù)取為N階，則整個系統(tǒng)的自由度由無窮多個減少到N個，式(16)可寫為N階矩陣形式動力學方程

式中:

Φ(ξ)為模態(tài)函數(shù)矩陣，而Φ'(ξ)和Φ″(ξ)分別為Φ(ξ)關(guān)于ξ的一階和二階導數(shù)矩陣，M，C，K可進一步表示為

式中:θ=Asin(ωnt+θ0)，圓頻率為

方程為二階參數(shù)激勵時變微分方程組，M、C、K、P均隨時間t、運動參數(shù)v0、a而變化.采用nEWMARK逐步積分，可以求得各個時刻的q(t)，代入式(10)中得任意時刻梁上任意點的撓度.

4 動力響應(yīng)及數(shù)值仿真

針對移動載荷不同勻速移動速度、不同加速度、不同擺載荷質(zhì)量以及梁的自重等因素對梁中點位移撓度的影響進行了數(shù)值仿真.取積分時間步長dt= 0.01 s，參數(shù)γ=0.5，λ=0.25，小車質(zhì)量和簡支梁的參數(shù)mc=100 kg，I=0.1 m4，lb=20 m，E=2.15× 1011N/m2，仿真結(jié)果如圖5～9所示.

圖5 不同移動速度梁中點撓度Fig.5 Midpoint deflection of beam in case of several moving speed

圖6 不同勻加速移動速度梁中點撓度Fig.6 Midpoint deflection of beam in case of several moving acceleration

由圖5可知，移動擺載荷的速度越大，梁中點撓度越大;由圖6可知，在同一初速度v=4 m/s的情況下，移動質(zhì)量加速運動時梁中點的撓度，比勻速運動時梁中點的撓度要大，且加速度越大，梁中點最大撓度越大;由圖7可知，在同一初速度v=13 m/s的情況下，移動質(zhì)量減速運動時梁中點的撓度，比勻速行駛時梁中點的撓度要小，且加速度的絕對值越大，梁中點最大撓度就越小，這與加速運動時恰恰相反.事實上，上述結(jié)果具有普遍規(guī)律，其力學解釋是:當質(zhì)量加速運動時，它受到梁給予的與運動方向一致的摩擦力，同時梁受到質(zhì)量施加的反作用力，這個力可以看作是作用在梁上的軸向壓力，該壓力將在梁內(nèi)產(chǎn)生附加彎矩，從而使梁的撓度加大.相反，當質(zhì)量減速運動時，梁將受到軸向拉力，該拉力在梁內(nèi)產(chǎn)生的附加彎矩使梁的撓度減小.

圖7 不同勻減速移動梁中點撓度Fig.7 Midpoint deflection of beam in case of several moving deceleration

圖8 不同擺載荷質(zhì)量梁中點撓度Fig.8 Midpoint deflection of beam in case of several suspending mass load

圖9 不同梁自重梁中點撓度Fig.9 Midpoint deflection of beam in case of several weight in a unit of lengh

由圖8可知，擺載荷的質(zhì)量越大，梁跨中的位移響應(yīng)越大，振動越劇烈.由圖9可知，梁單位長度的質(zhì)量越大，其振動響應(yīng)越劇烈，這一點吻合梁自由振動基本理論，由梁自由振動的固有頻率可知，m越大，其頻率ωi越小，振動響應(yīng)越大.

5 結(jié)束語

本文從實際工程中的起重機出發(fā)，抽象出帶有移動擺載荷柔性梁力學模型，討論其在不同工況下承受移動擺載荷動響應(yīng)，在其他參數(shù)一定的情況下，速度越大梁中點撓度越大.在同一初速度情況下，移動小車加速運動時梁中點撓度比勻速運動時梁中點撓度大，且加速度越大，梁中點最大撓度越大;而移動小車減速運動時梁中點撓度比勻速行駛時梁中點撓度小，且加速度絕對值越大，梁中點最大撓度就越小.其他條件不變情況下，擺載荷重量越大，梁跨中的位移響應(yīng)越大.由于梁自重對振動頻率的影響，單位長度質(zhì)量越大，其振動響應(yīng)越大.文中簡支梁在不同工況和不同參數(shù)作用下的數(shù)值仿真結(jié)果，可用于實際工程優(yōu)化設(shè)計.

［1］YAU D T W，F(xiàn)UNG E H K.Dynamic response of a rotating flexible arm carrying a moving mass［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，257(1):107-117.

［2］LEE H P.Dynamic response of a Timoshenko beam on a Winkler foundation subjected to a moving mass［J］.Applied Acoustics，1998，55(3):203-215.

［3］SIDDIQUI S A Q，GOLNZRAGHI M F，HEPPLER G R.Dynamics of a flexible beam carrying a moving mass using perturbation，numerical and time-frequency analysis techniques［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，229 (5):1023-1055.

［4］ICHIKAWA M，MIYAKAWA Y，MATSUDA A.Vibration analysis of the continuous beam subjected to a moving mass［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，230(3): 493-506.

［5］FRYBA L.Vibration of solids and structures under moving loads［M］.3rd ed.London:Thomas Telford，1999:65-85.

［6］夏禾.車輛與結(jié)構(gòu)動力相互作用［M］.北京:科學出版社，2002:140-153.

［7］彭獻，劉子建.勻變速移動質(zhì)量與簡支梁耦合系統(tǒng)的振動分析［J］.工程力學，2006，23(6):25-29.

PENG Xian，LIU Zijian.Vibration analysis of a simply supported beam under moving mass with uniformly variable speeds［J］.Engineering Mechanics，2006，23(6):25-29.

［8］盧勝文.車橋耦合非線性振動研究［D］.天津:天津大學，2005:13-15.

LU Shengwen.Non-linear vibration study of coupled vehicle and bridge［D］.Tianjin:Tianjin Univesity，2005:13-15.