隨機(jī)陣列誤差影響下的聲矢量陣噪聲特性和陣增益

劉凱，梁國(guó)龍，嵇建飛，張鍇

(哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001)

聲矢量陣被應(yīng)用于實(shí)際聲吶系統(tǒng)的例子已屢見(jiàn)不鮮［1-2］.相對(duì)于標(biāo)量陣，聲矢量陣突顯出來(lái)的優(yōu)勢(shì)得到眾多學(xué)者的證明［3-4］.然而很多優(yōu)勢(shì)都是在理想的假設(shè)條件下取得的，隨機(jī)陣列誤差的存在可能使得這些假設(shè)不再成立.對(duì)于聲矢量陣，主要的隨機(jī)陣列誤差包括信號(hào)通道的幅相誤差、陣元位置誤差和陣元姿態(tài)誤差等.

一切聲吶系統(tǒng)的靈魂應(yīng)該是它采用的核心算法.判斷算法在某特定噪聲環(huán)境中的性能優(yōu)劣，評(píng)定其魯棒性的強(qiáng)弱，是指導(dǎo)算法設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié).不比標(biāo)量陣［5-6］，目前有關(guān)隨機(jī)陣列誤差影響下聲矢量陣算法性能分析的文獻(xiàn)還尚不多見(jiàn).于是嘗試性的做了下列工作:1)建立了隨機(jī)陣元位置誤差和陣元姿態(tài)誤差的高斯擾動(dòng)模型;2)推導(dǎo)了隨機(jī)陣列誤差影響下聲矢量陣的噪聲時(shí)空相關(guān)矩陣;3)推導(dǎo)了MVDR波束形成器實(shí)際陣增益的解析表達(dá)式，找出了導(dǎo)致陣增益出現(xiàn)衰減的直接因素，即畸變后的噪聲協(xié)方差矩陣和失配的導(dǎo)向向量;4)結(jié)合“等間距布放的聲矢量直線陣”實(shí)例，分析了隨機(jī)陣列誤差對(duì)噪聲相關(guān)系數(shù)的影響，并考察了實(shí)際陣增益在不同的陣列誤差強(qiáng)度、訓(xùn)練數(shù)據(jù)的信噪比以及陣元間距下的統(tǒng)計(jì)特性.

1 陣列誤差的高斯擾動(dòng)模型

陣列誤差可分為2類:可預(yù)測(cè)的和隨機(jī)的.可預(yù)測(cè)的誤差可通過(guò)估計(jì)和補(bǔ)償消除，隨機(jī)誤差是很難補(bǔ)償?shù)?，因而成了限制陣列系統(tǒng)性能的最終因素.Gauss在研究誤差理論時(shí)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差服從的分布為正態(tài)分布(后來(lái)又稱為高斯分布).

1.1 陣元位置誤差模型

假設(shè)聲矢量陣的第m號(hào)基元的初始位置為

受內(nèi)波、浪涌和母船激起的水流等因素的影響，基元會(huì)作一種無(wú)規(guī)則的隨機(jī)擾動(dòng).在高斯擾動(dòng)模型下，第m號(hào)基元的實(shí)際坐標(biāo)變?yōu)?/p>

式中:Δxm、Δym和Δzm為擾動(dòng)分量，三者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立并且Δxm、Δym、ΔzmN(0，σ2r)，其中σr為標(biāo)準(zhǔn)差，并定義σλ=(2π/λ)σr.

1.2 陣元姿態(tài)誤差模型

理想條件下，可以先通過(guò)方位姿態(tài)儀等測(cè)量?jī)x器精確獲取基元的姿態(tài)參數(shù)(heading，pitch，roll)，然后旋轉(zhuǎn)其輸出使之與坐標(biāo)軸對(duì)齊［4］.在平面波的假設(shè)下，各基元的方位響應(yīng)都能夠表示為

式中:θ=［φ φ］T為聲源的入射方向(φ為方位角，φ∈(0，2π］);φ是俯仰角為矢量傳感器所在點(diǎn)指向目標(biāo)聲源的單位方向向量.

在實(shí)際應(yīng)用中，受方位姿態(tài)儀的測(cè)量精度、安裝偏差、平臺(tái)的電磁場(chǎng)以及因水流沖刷而快速旋轉(zhuǎn)等因素的影響，測(cè)得的姿態(tài)參數(shù)會(huì)存在誤差.在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，廣義歐拉角是最常用的描述剛體旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的方法［7］.為了表述陣元姿態(tài)誤差，建立了定坐標(biāo)系Oξηζ和與矢量傳感器相固結(jié)的體坐標(biāo)系Oxyz，并將原點(diǎn)O取在矢量傳感器的質(zhì)點(diǎn)上，如圖1所示.

圖1 廣義歐拉角表示陣元姿態(tài)誤差Fig.1 Attitude errors represented by generalized Euler Angle

矢量傳感器處于初始姿態(tài)時(shí)，體坐標(biāo)系Oxyz與定坐標(biāo)系Oξηζ重合.其他任意姿態(tài)都可通過(guò)3次順序轉(zhuǎn)動(dòng)獲得:1)繞z軸轉(zhuǎn)Δγm角;2)繞體軸y(在新位置)轉(zhuǎn)Δβm角;3)繞體軸x(在新位置)轉(zhuǎn)Δαm角，3個(gè)轉(zhuǎn)角(Δαm，Δβm，Δγm)統(tǒng)稱為廣義歐拉角.包含了陣元姿態(tài)誤差的方向余弦矩陣ΔΞm通過(guò)下式用廣義歐拉角表示:

式中:cΔαm、sΔβm為cosΔαm、sinΔβm的簡(jiǎn)寫.在高斯擾動(dòng)模型下，第m號(hào)基元的方向響應(yīng)變?yōu)?/p>

式中:Δαm，Δβm和Δγm表示側(cè)傾、俯仰和橫擺等擾動(dòng)分量，三者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且有Δαm，Δβm，Δγm·N(0，)，其中σξ為標(biāo)準(zhǔn)差.

2 噪聲時(shí)空相關(guān)性分析

海洋環(huán)境噪聲是聲吶設(shè)備的背景干擾之一，陣列信號(hào)處理算法的設(shè)計(jì)及性能分析與噪聲協(xié)方差矩陣密切聯(lián)系［8］.噪聲類型主要包括空間白噪聲、方向性噪聲(或稱干擾)和球面各向同性噪聲等.其中空間白噪聲在傳感器內(nèi)部噪聲起主要作用時(shí)才被認(rèn)為是有效的，后2種噪聲類型是更合乎實(shí)際應(yīng)用［9］.文獻(xiàn)［10-11］中分析了理想條件下球面各向同性噪聲中聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，下面分析隨機(jī)陣列誤差影響下的噪聲時(shí)空相關(guān)性.

2.1 方向性噪聲

式中:ρ為介質(zhì)的密度.

將該矢量傳感器在t時(shí)刻的輸出寫成以下形式

式中:ρc為波阻抗.假設(shè)噪聲為零均值的寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則(t)的自相關(guān)函數(shù)可表示為

在t1和t2時(shí)刻，位于處和處的兩矢量傳感器之間的時(shí)空互相關(guān)矩陣可表示為

2.2 球面各向同性噪聲

采用的模型和假設(shè)與文獻(xiàn)［9］中的一致，只是加入了隨機(jī)陣列誤差的影響.

推導(dǎo)得出單矢量傳感器輸出噪聲的相關(guān)矩陣為

兩矢量傳感器輸出噪聲之間的時(shí)空互相關(guān)矩陣可表示為

從(12)、(13)式可看出，對(duì)于單矢量傳感器，各分量之間的相關(guān)性并不受陣元姿態(tài)誤差的影響，仍能保持原有的特性，即所有分量的自相關(guān)函數(shù)具有相同的瞬時(shí)結(jié)構(gòu)，且聲壓通道的噪聲功率為振速通道噪聲功率的3倍.對(duì)于兩矢量傳感器的輸出，陣列誤差會(huì)改變所有分量之間互相關(guān)系數(shù)的數(shù)值大小，但不會(huì)改變其“奇偶虛實(shí)性”.

實(shí)例分析:某聲矢量直線陣，基元個(gè)數(shù)為M，處于球面各向同性噪聲場(chǎng)中.理想情況下，各基元等間距(陣元間距為)排列，陣元姿態(tài)可精確獲取.圖2給出了此時(shí)兩矢量傳感器相同分量之間的相關(guān)系數(shù)(CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy和CVz－Vz)，以及聲壓分量分量之間的相關(guān)系數(shù)恒等于0，故沒(méi)有一并顯示在圖上.從圖中看出，所有相關(guān)系數(shù)都隨陣元間距的增加而減小;CVx－Vx和CVy－Vy兩條曲線完全重合，說(shuō)明它們受陣元間距大小的影響一樣;當(dāng)陣元間距d≈0.95λ或1.5λ時(shí)，CP－P、CVx－Vx和CVy－Vy的值都接近0，說(shuō)明在此間距下由二維矢量直線陣(如DIFAR陣)的噪聲協(xié)方差矩陣近似為對(duì)角陣.

假設(shè)此陣列受陣元位置誤差影響，且設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)差σr=0.1λ，圖3(a)和圖3(b)分別顯示的是CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy和CVz－Vz以及CP－Vz的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的大小.從圖3(a)看出，各相關(guān)系數(shù)均出現(xiàn)了衰減，衰減程度與原相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大小成正比.在圖3(b)中，CP－P的標(biāo)準(zhǔn)差在附近出現(xiàn)峰值，顯然此間距對(duì)聲壓陣的性能很不利，布放陣列時(shí)與z軸振速分量之間的相關(guān)系數(shù)(CP－Vz)隨陣元間距的變化規(guī)律(已用CP－P進(jìn)行了歸一化處理)，其他應(yīng)慎重考慮;在任意陣元間距下，CVx－Vx、CVy－Vy都具有相同的統(tǒng)計(jì)特性且標(biāo)準(zhǔn)差要低于其他的相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明它們受陣元位置誤差的影響一致且最小.

圖2 理想條件下的相關(guān)系數(shù)Fig.2 The ideal correlation coefficient

圖3 陣列位置誤差影響下的相關(guān)系數(shù)Fig.3 The correlation coefficient influenced by position errors

圖3(c)和圖3(d)給出了其他分量之間相關(guān)系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.從圖3(c)可知，所有原來(lái)等于0的相關(guān)系數(shù)現(xiàn)在已不再為0，其絕對(duì)值很小，幾乎都能控制在0.004以內(nèi).但圖3(d)給出的標(biāo)準(zhǔn)差較大，與圖3(b)給出的標(biāo)準(zhǔn)差差不多在一個(gè)數(shù)量級(jí)上.

假設(shè)此陣列受陣元姿態(tài)誤差的影響，且設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)差σξ=20°.圖4(a)和圖4(b)分別給出了CP－P，CVx－Vx，CVy－Vy，CVz－Vz以及CP－Vz的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的大小.從圖4(a)中可看出CP－P不受陣元姿態(tài)的影響，其他4個(gè)相關(guān)系數(shù)的衰減程度也較小;原來(lái)重合的兩條曲線CVx－Vx和CVy－Vy，已分開，說(shuō)明陣元姿態(tài)誤差對(duì)各振速分量的影響不一致.觀察圖4(b)會(huì)發(fā)現(xiàn)，CVx－Vx、CVy－Vy、CVz－Vz的標(biāo)準(zhǔn)差隨陣元間距的變化趨勢(shì)十分接近，而且陣元間距較小時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差較大，說(shuō)明小間距布放時(shí)它們對(duì)陣元姿態(tài)誤差更為敏感.

圖4 陣列姿態(tài)誤差影響下的相關(guān)系數(shù)Fig.4 The correlation coefficient influenced by attitude errors

其他分量之間相關(guān)系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差被顯示在圖4(c)和圖4(d)中.如同圖3(c)、圖4(c)給出的均值大小也幾乎不會(huì)超過(guò)0.004;圖4(d)中的標(biāo)準(zhǔn)差要比圖4(b)中的大，因此這些原來(lái)等于0的相關(guān)系數(shù)可能會(huì)成為陣列系統(tǒng)性能波動(dòng)的主要因素.

3 矢量陣陣增益損失分析

3.1 矢量陣測(cè)量模型

陣增益能反映波束形成器抑制噪聲和干擾的能力，是評(píng)價(jià)波束形成器性能優(yōu)劣的重要指標(biāo).

MVDR具有優(yōu)于CBF的陣增益［12］.但在陣列誤差的影響下，MVDR的陣增益會(huì)急劇下降，甚至可能比CBF的陣增益還低.

假設(shè)觀察方向?yàn)棣?，窄帶假設(shè)條件下矢量陣的陣列輸出可表示為

式中:Σs和Σn分別為信號(hào)和噪聲的協(xié)方差矩陣，Jn為歸一化的噪聲協(xié)方差矩陣，可通過(guò)式(10)或者式(12)與式(13)計(jì)算得到=E［s~(t)s~*(t)］表示輸入信號(hào)的功率為輸入噪聲的功率;定義輸入信噪比為

令權(quán)矢量為W，對(duì)陣列輸出加權(quán)求和，得到矢量陣波束形成器的輸出為

進(jìn)而求得波束輸出功率為

從式(18)中可看出，陣增益不僅受實(shí)際的導(dǎo)向矢量a(θ0)和歸一化的噪聲協(xié)方差矩陣Jn的影響，而且與權(quán)矢量有關(guān).MVDR的權(quán)矢量［4］為

3.2 陣增益損失分析

利用Woodbury矩陣求逆公式得Rz的逆為

將式(22)、(23)代入式(20)，得到實(shí)際的陣增益為

定義

則式(24)可寫為

從式(26)看出，總有Gmvdr≤Gopt.陣列誤差破壞了Jn包含的噪聲相關(guān)性結(jié)構(gòu)，并引起和之間的失配，導(dǎo)致陣增益的損失.陣列誤差的強(qiáng)度越大，失配就越明顯的值就會(huì)越大，陣增益的損失也就越嚴(yán)重;在失配程度一定的情況下，輸入信噪比越小，陣增益受陣列誤差的影響就越小，MVDR的穩(wěn)健性也就越高.

實(shí)例分析:某聲矢量直線陣，垂直布放，基元個(gè)數(shù)M=12，陣元間距首先假設(shè)陣列處于方向性噪聲場(chǎng)中，3個(gè)方向性噪聲分別來(lái)自［0－30］T，［0 0］T和［0 60］T的方位，功率依次為10、5和0 dB(相對(duì)于0 dB的高斯白噪聲);總輸入信噪比ri設(shè)為－20 dB.圖5(a)和圖5(b)給出了陣元位置誤差強(qiáng)度變化時(shí)陣增益的統(tǒng)計(jì)特性(集平均和標(biāo)準(zhǔn)差);圖5(c)和圖5(d)給出了陣元姿態(tài)誤差強(qiáng)度變化時(shí)陣增益的統(tǒng)計(jì)特性.

從圖5可看出，當(dāng)觀察方向遠(yuǎn)離各噪聲入射方位時(shí)，陣增益基本上維持在一定值;而一旦接近某噪聲入射方位，陣增益會(huì)明顯下降，而且該方位的噪聲功率越大，陣增益下降得越嚴(yán)重.MVDR的設(shè)計(jì)原理是“讓觀察方向的信號(hào)無(wú)失真的輸出，而使波束輸出總功率最小”，當(dāng)觀察方向靠近噪聲方向時(shí)，噪聲會(huì)被誤當(dāng)做信號(hào)而無(wú)失真的輸出，引起陣增益的衰減.同時(shí)看出，不管是陣列位置誤差還是陣元姿態(tài)誤差，隨著其強(qiáng)度的增大，陣增益都會(huì)逐漸變小，其標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)相應(yīng)升高，并在噪聲入射方位附近升高得較為明顯，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)健性較差.通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，陣增益對(duì)陣列位置誤差的影響更為敏感.這是因?yàn)殛囋藨B(tài)誤差只能影響到陣列輸入信號(hào)的幅度，而陣元位置誤差會(huì)同時(shí)改變其幅度和相位的大小.接著考察陣列處于球面各向同性噪聲場(chǎng)中的情形.假設(shè)各向同性噪聲的功率為20 dB(相對(duì)于0 dB的高斯白噪聲)，ri仍設(shè)為－20 dB.圖6(a)和6(b)分別給出了不同強(qiáng)度陣元位置誤差影響下陣增益的統(tǒng)計(jì)特性，圖6(c)和圖6(d)給出了不同強(qiáng)度陣元姿態(tài)誤差影響下陣增益的統(tǒng)計(jì)特性.

圖5 方向性噪聲場(chǎng)中的陣增益Fig.5 Array gain in directional noise field

從圖6可以看出，在理想條件下，當(dāng)觀察方向位于區(qū)間［－50°，50°］時(shí)，陣增益與白噪聲背景下獲得的陣增益相似，同時(shí)端射方向附近的陣增益要略高于正橫方向附近的陣增益，此現(xiàn)象是由各向同性噪聲的相關(guān)性結(jié)構(gòu)以及有效的噪聲功率隨方位角的變化規(guī)律引起的，文獻(xiàn)［9］中用CBF方法仿真得到了相同結(jié)論并給出了相關(guān)解釋.隨著陣列誤差強(qiáng)度的增加，陣增益出現(xiàn)整體下降，均方差也相應(yīng)升高.有趣的是，在陣元位置誤差影響下，端射方向附近的陣增益變化得較明顯，而在陣元姿態(tài)誤差的影響下，正橫方向附近的陣增益擾動(dòng)幅度會(huì)較大;若要利用此陣列測(cè)量海底目標(biāo)［13］(此時(shí)要求的仰角會(huì)比較大)，建議盡量控制陣元位置誤差的大小以保證足夠精度，例如為了保證70°方位上的陣增益損失不低于6.5 dB，就應(yīng)使得σr＜0.05λ.表1的首列數(shù)據(jù)表示陣元間距，第2列數(shù)據(jù)表示各方向最優(yōu)陣增益的均值，即.可看出，在各項(xiàng)同性噪聲場(chǎng)中，陣增益會(huì)隨陣元間距的增大而增加，當(dāng)d＞0.5λ后基本趨于穩(wěn)定.表中其他部分的數(shù)據(jù)等于E(GMVDR(θ))}，反映了不同陣列誤差和輸入信噪比ri變化時(shí)的陣增益損失量.可以看出，信噪比越大，陣增益對(duì)陣列誤差越敏感，這與式(26)給出的結(jié)論吻合.同時(shí)隨著陣元間距的增加，陣增益損失量會(huì)逐漸減小，當(dāng)后基本趨于穩(wěn)定.原因之一是當(dāng)后幾乎所有的相關(guān)系數(shù)受陣列誤差的影響程度都被控制在一個(gè)很小范圍內(nèi)(見(jiàn)圖3、4).聲矢量陣具有“抗柵瓣模糊”的能力，因此在實(shí)際布放過(guò)程中，可以適當(dāng)?shù)卦龃箨囋g距以提高陣列系統(tǒng)的魯棒性，但是增大陣元間距也勢(shì)必會(huì)使得陣列孔徑過(guò)大，需在兩者之間尋求折衷.

圖6 各向同性噪聲場(chǎng)中的陣增益Fig.6 Array gain in spherically-isotopic noise field

表1 陣增益損失量Table 1 Loss of the array gain

4 結(jié)論

針對(duì)處于方向性噪聲場(chǎng)和各向同性噪聲場(chǎng)中的聲矢量陣，通過(guò)建立陣元位置誤差和陣元姿態(tài)誤差的高斯擾動(dòng)模型，研究了隨機(jī)陣列誤差對(duì)噪聲相關(guān)性結(jié)構(gòu)和MVDR波束形成器陣增益的影響.研究結(jié)果表明:

1)陣列誤差會(huì)改變相關(guān)系數(shù)的數(shù)值大小而不改變其奇偶虛實(shí)性，會(huì)導(dǎo)致原來(lái)不為0的相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)波動(dòng)和衰減，且程度與陣列誤差的強(qiáng)度成正比;會(huì)使原來(lái)恒等于0的相關(guān)系數(shù)不再為0，而這些相關(guān)系數(shù)可能會(huì)成為造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素;

2)陣增益的損失由噪聲相關(guān)性的破壞和導(dǎo)向矢量的失配引起，同時(shí)還受輸入信噪比的影響.陣列誤差的強(qiáng)度越大，導(dǎo)向矢量的失配程度越明顯，陣增益就衰減得越嚴(yán)重;訓(xùn)練數(shù)據(jù)的輸入信噪比越大，陣增益對(duì)陣列誤差會(huì)越敏感;

3)相比于陣元姿態(tài)誤差的影響，噪聲的時(shí)空相關(guān)性和MVDR的陣增益都更易受到陣元位置誤差的影響，因此有效的陣形估計(jì)方法變得很有意義.在各向同性噪聲場(chǎng)中，陣增益對(duì)陣列誤差的敏感度還與觀察方向和陣元間距的大小有關(guān).

文中的分析結(jié)果可為聲矢量陣列系統(tǒng)的布放、相關(guān)算法的設(shè)計(jì)以及魯棒性能的評(píng)估提供參考.

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