基于擬單邊Lipschitz條件的一類非線性系統(tǒng)降維觀測器設(shè)計

徐明躍，胡廣大

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.北京科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，北京 100083)

線性及非線性系統(tǒng)的觀測器設(shè)計問題十分重要，它是控制理論的核心問題，得到了廣泛應(yīng)用.諸如:輸出反饋控制、過程辨識、系統(tǒng)控制、故障診斷等.對于線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法，在文獻［1-2］中就已經(jīng)得到了完美解決.比起線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計要復(fù)雜和困難得多，至今仍有許多尚待解決的問題.近幾十年來，非線性狀態(tài)觀測器設(shè)計一直是眾多學(xué)者研究的熱點，得到了很多設(shè)計方法.如非線性坐標(biāo)變換、自適應(yīng)觀測器、高增益技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)型和輸出嵌入、光滑和非光滑技術(shù)等［3-8］.這些方法或是給出的條件比較嚴(yán)格以確保系統(tǒng)能夠轉(zhuǎn)化為便于觀測器設(shè)計的形式，或是針對特殊結(jié)構(gòu)的非線性項，或是增加假設(shè)條件已得到具有局部收斂的觀測器.所以，為了得到盡可能較少保守性的更一般的設(shè)計方法，非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計問題至今仍是許多學(xué)者研究的熱點.非線性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器可分為全維觀測器和降維觀測器兩種.降維觀測器只估計系統(tǒng)的部分狀態(tài)變量，這些變量不能從輸出中直接測量.由于降維觀測器的維數(shù)比全維觀測器的維數(shù)低，因此，構(gòu)造觀測器時可以用較少的積分儀并且整個控制系統(tǒng)更簡單.

在實際問題中遇到的系統(tǒng)大多都為 Lipschitz非線性系統(tǒng)，許多非線性系統(tǒng)的非線性項或是Lipschitz的或是局部Lipschitz的.近年來，許多學(xué)者致力于Lipschitz非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的研究，得到了大量設(shè)計方法［9-14］.但基于Lipschitz條件得到的漸近穩(wěn)定觀測器存在的充分條件，具有強的保守性，原因在于Lipschitz常數(shù)是個正數(shù).文獻［15-17］中引入比Lipschitz條件更弱的擬單邊Lipschitz條件來代替Lipschitz條件，研究了Lipschitz非線性系統(tǒng)全維觀測器的設(shè)計方法，設(shè)計方法比已有方法減少了保守性.

沿文獻［15-20］的思路，基于擬單邊、弱擬單邊Lipschitz條件，給出Lipschitz非線性系統(tǒng)的降維觀測器設(shè)計方法，得到比現(xiàn)有的設(shè)計判據(jù)減小保守性的漸近穩(wěn)定觀測器存在的判據(jù).不同于現(xiàn)有文獻的方法，使所得到的設(shè)計方法在系統(tǒng)的參數(shù)不滿足可檢測性時仍然可用.最后通過仿真算例，驗證了所得到方法的正確性.

1 模型描述

假定I代表適當(dāng)維數(shù)的單位陣，Eij表示第i行第j列元素是1其余元素是0的適當(dāng)維數(shù)方陣.

考慮如下的Lipschitz非線性系統(tǒng):

其中，x∈Rn為狀態(tài)向量，u∈Rm為輸入，y∈Rp為輸出，A∈Rn×n，C∈Rp×n為常值矩陣.Γ(y，u，t)是n維已知向量函數(shù)，φ(x，u，t)是n維已知向量函數(shù)并且關(guān)于x是非線性的.

在文獻［15-17］中引入了擬單邊Lipschitz條件:

來代替通常的Lipschitz條件.其中f(x，u，u)= Pφ(x，u，t)，P是待求正定陣，M是一個實對稱陣(不必正定或負(fù)定)，稱M為Pφ的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣.稱函數(shù)φ(x，u，t)滿足條件擬單邊Lipschitz條件.

在設(shè)計非線性系統(tǒng)觀測器時，用擬單邊Lipschitz條件(2)代替通常的Lipschitz條件的優(yōu)越性在文獻［15-17］中已經(jīng)討論.此外，易見，滿足通常Lipschitz條件的函數(shù)一定滿足擬單邊 Lipschitz條件(2).

在很多情況下，可以找到不定的甚至負(fù)定的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣M，這就使得擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣M(尤其是負(fù)的M)比通常的Lipschitz常數(shù)能更多反映非線性部分對觀測器穩(wěn)定性的貢獻.

將矩陣A和對稱正定陣P分塊如下:

式中:A11、p1∈Rp×p、A12，p2∈RP×(n－P)，A21∈

2 降維觀測器設(shè)計

基于擬單邊Lipschitz條件(2)，可以得到下列重要結(jié)果.

定理1 假定C=［Ip0］，并且系統(tǒng)(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2).如果

有正定解P，其中M為Pφ的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣.那么非線性系統(tǒng)(1)存在n－p維的降維觀測器:

式中:

用式(7)減去式(4)的第1個式子，則動態(tài)誤差滿足:

式中:

考慮Lyapunov函數(shù)

其導(dǎo)數(shù)為

因為x=T－1z，擬單邊Lipschitz條件(2)意味著

即

結(jié)合式(5)、(8)和(9)得

這就意味著式(4)是式(1)的漸近穩(wěn)定降維觀測器.

定義1 考慮非線性向量函數(shù)φ(x，u，t).如果

成立.其中P是某待求正定陣，M是一個實對稱陣(不必正定或負(fù)定)，則稱φ(x，u，t)滿足弱擬單邊Lipschitz條件.

從定理1的證明過程可見，在C=［Ip0］的情況下，定理1的條件“系統(tǒng)(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2)”可以減弱為“系統(tǒng)(1)滿足弱擬單邊Lipschitz條件(10)”.

定理2 如果非線性系統(tǒng)(1)滿足弱擬單邊Lipschitz條件(10)，C=［Ip0］，并且存在增益陣K使得

有正定解P，則系統(tǒng)(1)有形如式(4)的降維觀測器.

類似于文獻［20］的討論，如果C≠［Ip0］，但C有行滿秩，則可以得到類似定理1的結(jié)論.即利用Gram-Schmidt正交化，存在可逆陣S∈Rp×p使得C=，其中∈Rp×n且=Ip.運用輸出變換ω=S－1y=，將矩陣擴充為 n×n的正交陣通過狀態(tài)變換，式(1)變?yōu)?/p>

引理1 考慮非線性系統(tǒng)(1).如果條件(2)成立，并且可以選擇K滿足式(3)，則可以選擇WKS使得

引理1的證明完全類似于文獻［20］中引理1的證明(略).

定理3 假設(shè)C行滿秩，且非線性系統(tǒng)(1)滿足擬單邊Lipschitz條件(2).如果存在增益陣K使得(A－KC)TP+P(A－KC)+2M＜0有正定解P，則系統(tǒng)(1)有具有如下形式的降維觀測器:

事實上，注意到W是n×n的正交陣，有

由式(11)、(14)、引理1和定理1可知式(13)是系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定降維觀測器.

定理3得證.

3 觀測器漸近穩(wěn)定性的仿真試驗

下面就(A，C)可檢測與不可檢測2種情況下通過仿真實例驗證提出的降維觀測器設(shè)計方法的有效性以及所得判據(jù)比基于Lipschitz條件得到的判據(jù)減小保守性.

試驗1 考慮非線性系統(tǒng)(1)，其中

由Matlab的LMI工具箱解(17)得

圖1給出了狀態(tài)變量x2的仿真結(jié)果，從圖1可以看出所設(shè)計的非線性降維觀測器實現(xiàn)了對例1所給系統(tǒng)的狀態(tài)變量x2的漸近估計，其中初值x(0)=1，(0)=0.6.

在例1中容易求得φ(x，u，t)的Lipschitz常數(shù)，此時文獻［20］中所給方法失效.而由于設(shè)計了半負(fù)定的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣M，從而把非線性項對于觀測器漸近穩(wěn)定的貢獻充分地挖掘了出來.由此可見基于擬單邊Lipschitz條件比基于Lipschitz條件得到的觀測器設(shè)計判據(jù)大大地減小了保守性.

圖1 試驗1的狀態(tài)x2的仿真Fig.1 The simulations for state x2of experiment 1

下面的例子驗證了所給的方法即使在系統(tǒng)的參數(shù)(A，C)不可檢測時，仍然可用.

由Matlab LMI工具箱解式(18)得

圖2給出了狀態(tài)變量x2的仿真結(jié)果，從圖2可以看出所設(shè)計的非線性降維觀測器在(A，C)不可檢測情況下實現(xiàn)了對例2所給系統(tǒng)的狀態(tài)變量x2的漸近估計，其中初值

圖2 試驗2的狀態(tài)x2的仿真Fig.2 The simulations for state x2of experiment 2

4 結(jié)束語

通過設(shè)計不定、半負(fù)定或負(fù)定的擬單邊Lipschitz常數(shù)矩陣得到了一類非線性系統(tǒng)降維觀測器設(shè)計的判據(jù)，用擬單邊Lipschitz、弱擬單邊Lipschitz條件來代替通常的Lipschitz條件，給出了了該類非線性系統(tǒng)降維觀測器漸近收斂的LMI形式的充分條件.該充分條件比現(xiàn)有文獻利用Lipschitz條件給出的充分條件大大減少了保守性.同時解決了非線性系統(tǒng)的參數(shù)(A，C)不可檢測時現(xiàn)有文獻判據(jù)失效的問題.所給判據(jù)不僅適用于通常的Lipschitz非線性系統(tǒng)，也適用于非Lipschitz非線性系統(tǒng).仿真算例驗證了所給方法的有效性.

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