從一道題的錯(cuò)解說彈簧振子

馮德強(qiáng) 黃 雄

（江陰市南菁高級(jí)中學(xué) 江蘇 江陰 214400）

1 對(duì)原題分析

【原題】如圖1（a）所示，一根輕彈簧左端固定，右端系一物塊，物塊置于摩擦不能忽略的水平面上．現(xiàn)將彈簧壓縮到A點(diǎn)后釋放，物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度變?yōu)榱?，O為彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)的位置，AB距離為x0．物塊從A到B的過程中，彈簧彈力的大小F，物塊加速度的大小a，物塊速度的大小v，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能E隨物塊的位移x變化的圖像可能是圖1（b）中的

圖1

原答案為選項(xiàng)B，C，D．

解析：事實(shí)上正確答案只有D．

以彈簧為原長(zhǎng)時(shí)物塊的位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，物塊運(yùn)動(dòng)軌跡為x軸，向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊在O1處所受合外力為零；向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊在O2處所受合外力為零．當(dāng)物塊處于O1O2之間的區(qū)域時(shí)，所受彈力的大小應(yīng)小于最大靜摩擦力，在此區(qū)域物塊一旦速度為零，便永久停止在那里．

現(xiàn)在，物塊由A處?kù)o止釋放向右運(yùn)動(dòng)，由于滑動(dòng)摩擦力應(yīng)為常量，物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中心點(diǎn)為O1，設(shè)為x＝－x0，如圖2所示（圖像中的箭號(hào)表示過程進(jìn)行方向）．物塊一直運(yùn)動(dòng)到最右端B1，這時(shí)其速度變?yōu)榱?，B1和A關(guān)于O1對(duì)稱．

圖2

物塊由B1向左運(yùn)動(dòng)時(shí)不再是上述的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫@時(shí)摩擦力反向，平衡位置變?yōu)镺2，其坐標(biāo)x＝x0，直到運(yùn)動(dòng)到左端B2．依此類推，直至速度為零時(shí)，物塊落在O1O2之間．由于最大靜摩擦力通常大于滑動(dòng)摩擦力，所以物塊最后靜止不動(dòng)時(shí)所處的范圍通常大于O1O2．

物塊每次振動(dòng)過程均為周期相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一部分，一個(gè)振動(dòng)過程歷時(shí)半個(gè)周期；每次單向振動(dòng)的振幅遞減2x0．物塊加速度與位移的關(guān)系圖像如圖2所示．無論物塊最后停在彈簧原長(zhǎng)O的左側(cè)抑或右側(cè)，圖線總關(guān)于過O1（O2）的縱軸對(duì)稱，故原圖B不成立．

若取平衡位置O1為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)物塊在位置x時(shí)的速度為v，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為A，則由動(dòng)能定理得

顯然物塊的速度v和位置坐標(biāo)x的關(guān)系不是線性的，不論坐標(biāo)原點(diǎn)取在哪里，都不會(huì)改變速度與位置坐標(biāo)兩者的非線性關(guān)系，如圖3所示，其中ω2＝．故原圖C不可能成立．

圖3

2 彈簧振子

水平方向的彈簧振子，物體所受回復(fù)力與位移成正比．豎直方向的彈簧振子，系統(tǒng)雖受恒力（重力）作用，但仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．如果以靜平衡位置為原點(diǎn)，則振動(dòng)系統(tǒng)如同沒受重力作用的水平方向的彈簧振子．該題雖有摩擦力作用，但單向運(yùn)動(dòng)可等效于豎直向的彈簧振子，從全過程看僅是平衡位置不斷變換，振幅不斷減弱，振動(dòng)周期保持不變．

以下再看雙振子的彈簧振子．

【例1】一輕彈簧兩端固連著兩個(gè)小球A和B（圖4），若將小球B固定，測(cè)得小球A的振動(dòng)頻率為fA．若將小球A固定，測(cè)得小球B的振動(dòng)頻率為fB．現(xiàn)將此系統(tǒng)自由地放在光滑水平面上，則此系統(tǒng)的自由振動(dòng)頻率為多大？

圖4

解析：假如兩小球的距離在初始時(shí)刻偏離一下平衡位置，以后不再加外力，那么兩個(gè)小球就會(huì)振動(dòng)起來，兩個(gè)小球振幅不同（與其質(zhì)量成反比），以質(zhì)心為基準(zhǔn)，以同頻率做反相的振動(dòng)．

設(shè)兩小球質(zhì)量分別為mA和mB，引入系統(tǒng)的折合質(zhì)量μ，令

當(dāng)mAmB，質(zhì)心基本上與mA重合，只看到mB在振動(dòng)，而其折合質(zhì)量μ→mB，這就回到了一端固定的單振子的情形．

單振子的振動(dòng)頻率

因此雙振子的振動(dòng)頻率

3 彈簧振子與碰撞

【例2】如圖5所示，一個(gè)彈簧的兩端分別固定著質(zhì)量為m的物體A和質(zhì)量為2m的物體B，置于光滑水平面上．水平向左的力F把它們擠在豎直墻邊．撤去F，在相對(duì)地面靜止的坐標(biāo)系中，物體B首先開始運(yùn)動(dòng)，后來物體A也開始運(yùn)動(dòng)．此后，當(dāng)A的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到最大值時(shí)

A．彈簧的彈性勢(shì)能是零

B．物體A和B的速度相等

C．物體B的速度最小

D．處在彈簧的長(zhǎng)度正在縮短的過程中

圖5

解析：撤去F，物體B首先開始運(yùn)動(dòng)，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)其速度為v，這時(shí)A離開豎直墻邊開始運(yùn)動(dòng)，以后A，B和彈簧組成雙振子系統(tǒng)．與上述同頻率反相的諧振動(dòng)不同的是，系統(tǒng)的質(zhì)心速度不為零

物體A開始運(yùn)動(dòng)后，由于系統(tǒng)不受外力作用，質(zhì)心速度保持不變．以質(zhì)心為參考系，A，B仍是同頻率反相的諧振動(dòng)，且在此參考系中，系統(tǒng)的總動(dòng)量恒等于零，兩物體的速度與質(zhì)量成反比．據(jù)此作出地面參考系下，物體A和B的速度圖像，如圖6所示．從圖像可得到如下的信息：

（1）物體A，B振動(dòng)周期，由前述（3）式?jīng)Q定；速度的最值由對(duì)質(zhì)心系的零動(dòng)量確定；以及每一時(shí)刻物體A，B在地面參考系中的速度．

（2）系統(tǒng)在某一時(shí)刻，彈簧對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，拉伸或是壓縮，原長(zhǎng)、最長(zhǎng)還是最短．

這樣容易得到本題的正確答案為A，C，D．

圖6

還可引發(fā)碰撞問題的類比思考．如圖6所示，從t＝0到t＝t1，彈簧由原長(zhǎng)到最長(zhǎng)，如果此刻彈簧鎖定，就相當(dāng)于兩個(gè)相互碰撞的物體，在碰撞后結(jié)合在一起，并以一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能損失最大，這部分動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?shì)能，形變完全不恢復(fù)，形成完全非彈性碰撞．從t＝0到t＝t2，彈簧由原長(zhǎng)到原長(zhǎng)，如果此刻兩物體分離，相當(dāng)于物體碰撞時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能在分離時(shí)又全部釋放出來，形成彈性碰撞．實(shí)際碰撞應(yīng)在t1t2之間某時(shí)刻鎖定形變，形變部分得到恢復(fù)，損失一部分動(dòng)能．

4 偶極振子與電磁波及光的散射

設(shè)有兩個(gè)小球質(zhì)量各為mA，mB，分別帶有相反的等量電荷，之間有一個(gè)“虛擬”的彈簧相連，這個(gè)系統(tǒng)稱偶極振子，如圖4所示．偶極振子是一個(gè)最簡(jiǎn)單的發(fā)射電磁波的“天線”模型．帶電小球的振動(dòng)形成頻率f的周期振蕩，f由（1）、（3）式?jīng)Q定．這時(shí)便會(huì)向空間發(fā)射電磁波．

天空為什么是亮的？因?yàn)榇髿獍殃?yáng)光向四面八方散射；組成大氣的分子中的電子受到強(qiáng)回復(fù)力的作用，就有一個(gè)確定的固有頻率，這個(gè)固有頻率，一般在紫光和紫外線的范圍內(nèi)．在可見光的驅(qū)動(dòng)下，這些電子做受迫振動(dòng)，藍(lán)光的頻率比紅光的頻率更接近束縛電子的固有頻率，因此藍(lán)光的散射更強(qiáng)．所以天空看起來是藍(lán)色的．而在清晨或傍晚，陽(yáng)光穿過較厚的大氣層，一路上那些藍(lán)、紫光都被散射了，透射過來的主要是紅光，所以我們才能看到絢麗似火的朝霞或晚霞．

可見，一個(gè)簡(jiǎn)單的彈簧振子模型，可推廣到不同的題型，應(yīng)用到不同的領(lǐng)域．