妙用微積分知識(shí)解決一個(gè)物理疑難

李小棣

（安徽省巢湖一中 安徽 巢湖 238000）

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課本選修內(nèi)容中已有了導(dǎo)數(shù)與微積分知識(shí)．筆者在物理教學(xué)和競(jìng)賽輔導(dǎo)中用微積分知識(shí)為學(xué)生解決疑難，收到了非常好的效果；同時(shí)也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在解決物理問(wèn)題中的重要作用．本文僅舉兩例說(shuō)明．

【例1】在光滑的水平面上放著一個(gè)上部為半圓形光滑槽的木塊，開始時(shí)木塊是靜止的，把一個(gè)小球放到槽邊從靜止開始釋放，關(guān)于兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是

A．當(dāng)小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，木塊有最大速率

B．當(dāng)小球的速率最大時(shí)，木塊有最大速率

C．當(dāng)小球再次上升到最高點(diǎn)時(shí)，木塊的速率為最大

D．當(dāng)小球再次上升到最高點(diǎn)時(shí)，木塊的速率為零

筆者所見(jiàn)的資料中給出的答案都是A，B，D．筆者認(rèn)為此題的B選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，下面作一推導(dǎo)．

圖1

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，可假設(shè)小球和木塊質(zhì)量相等均為m，如圖1．小球下滑至某點(diǎn)B時(shí)相對(duì)木塊的速度為v2，木塊對(duì)地速度為v3，小球?qū)Φ厮俣葹関1．由系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒知小球此時(shí)對(duì)地水平分速度大小亦為v3，小球與球心連線與豎直方向夾角為θ，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得

又由幾何關(guān)系易知

聯(lián)立（1）、（2）兩式得小球?qū)Φ厮俾?/p>

將（4）式求導(dǎo)數(shù)并令導(dǎo)數(shù)為零，即

由此可見(jiàn)在小球和滑塊質(zhì)量相等時(shí)，小球速率最大是下滑至如圖1所示θ≈35．26°位置，原題B選項(xiàng)錯(cuò)誤．本題中小球下滑至底部時(shí)木塊的速率最大，而小球速率不是最大．故此題正確答案應(yīng)為A，D．

下面一題是筆者在競(jìng)賽輔導(dǎo)中遇到的，用常規(guī)解法十分復(fù)雜，學(xué)生也容易出錯(cuò)，筆者用微積分知識(shí)給出題解非常簡(jiǎn)潔．

【例2】由粗細(xì)均勻的同一種電阻絲制成的半徑為R的圓環(huán)置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向與環(huán)面垂直，并指向紙面內(nèi)．現(xiàn)以速度v將環(huán)以垂直于磁場(chǎng)方向勻速拉出磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界圖中用虛線表示，v的方向與邊界垂直，如圖2所示．求此過(guò)程中環(huán)中發(fā)熱量為多少．設(shè)電阻絲單位長(zhǎng)度的電阻值為r0，環(huán)電感忽略不計(jì)．

解析：設(shè)圓環(huán)勻速拉出在時(shí)間t～t＋d t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，則此時(shí)環(huán)切割磁感線的有效長(zhǎng)度為，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

回路中感應(yīng)電流

由焦耳定律，利用微積分知識(shí)易知以速度v將環(huán)以垂直于磁場(chǎng)方向勻速拉出磁場(chǎng)過(guò)程中環(huán)的發(fā)熱量為

圖2

這一結(jié)果說(shuō)明：

（1）若用相同的電阻絲制成的圓環(huán)，且B，v相同，則Q∝R2；

（2）若為同一電阻絲圓環(huán)，且B相同，則Q∝v．

1 程稼夫．中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程·電磁學(xué)篇．合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009．341