框剪結構動力時程分析的精細積分法

胡啟平,王穎

(河北工程大學土木工程學院,河北邯鄲056038)

近年來,隨著建筑的高度不斷增加,建筑結構在地震作用下的變形越來越大。目前,國內外許多學者普遍采用動力時程分析法對高層建筑結構的地震響應進行研究[1-3],然而在求解過程中,一方面采用有限單元法計算單元剛度矩陣時,通常會產生較大的累計誤差;另外在求解結構的動力方程時,采用只具有一階或二階精度的傳統(tǒng)Newmark-β和Wilson-θ法,往往導致計算結果精度較低,尤其是在高頻階段。對此,鐘萬勰等[4-6]提出了哈密頓對偶體系及求解動力方程的精細積分法,并得到地震反應下的高精度數(shù)值解。在此基礎上,本文采用哈密頓體系中的區(qū)段混合能矩陣推導結構的層單元剛度矩陣,利用有限元剛度集成法形成總剛矩陣,并采用初值問題的精細積分法求解結構地震作用下的動力方程,以進一步提高得到的地震響應數(shù)值解的計算精度。

1 基本假定

框剪結構是以框架和剪力墻兩種類型的抗側力單元組成的結構體系,在高層建筑結構中應用非常廣泛?？蚣艚Y構一般看作是平面結構,將同一方向布置的所有框架合并成綜合框架,所有剪力墻合并成綜合剪力墻?？蚣艚Y構中的綜合框架和綜合剪力墻通過樓板協(xié)同工作,共同抵抗水平力。假定框剪結構由綜合框架和綜合剪力墻兩個抗側力單元構成,每個抗側力單元都具有彎曲和剪切變形,可看成豎放的鐵摩辛柯梁,樓板是剛性的,樓板的作用沿高度連續(xù)化[7-8]。

計算模型如圖1所示,共有綜合框架和綜合剪力墻2個抗側力單元,其抗彎剛度分別為D1= E1I1和D2=E2I2,抗推剛度為 C1和C2,綜合框架和綜合剪力墻的截面轉角為θ1和θ2,側移為v1和v2,由于剛性樓板的作用,綜合框架和綜合剪力墻協(xié)同工作,v1=v2=v?？箓攘Y構上作用的總的水平外載集度為q=q1+q2。

2 框剪結構協(xié)同分析的哈密頓體系

框剪結構協(xié)同分析[6]時的拉格朗日函數(shù)為

通過引入q的對偶變量p=K22﹒q+K21q,可導出哈密頓函數(shù)[9-10]：

3 框剪結構的剛度矩陣

框剪結構被看作頂部自由,底部固定的并聯(lián)懸臂鐵摩辛柯梁模型[8],結構的單元剛度矩陣利用兩端邊值問題精細積分法中區(qū)段混合能矩陣F,G,Q來表示[6]。

將結構沿高度按樓層分為若干單元(區(qū)段),通過精細積分法中區(qū)段混合能矩陣與哈密頓常數(shù)矩陣A,B,D的關系,得到第j個單元(區(qū)段)的混合能矩陣Fj,Gj,Qj。

通過混合能矩陣與節(jié)點位移和力的關系,可得到每層樓(結構單元)的剛度矩陣

利用有限元剛度集成法形成總剛矩陣,并引入頂部自由,底部固定的邊界條件,則結構整體剛度矩陣為K=

4 質量及阻尼矩陣

建立結構的動力方程,必須考慮結構的質量分布及阻尼。

4.1 質量矩陣

本文采用多質點體系模型,將結構的質量集中于樓層處,其特點是質量矩陣與位移向量相對應且是對角矩陣,每一層有3個自由度。則

其中,Mj=diag(ρ Ajhj,ρ INjhj,ρ Ifjhj);ρ—結構材料密度;N—結構總層數(shù)。

4.2 阻尼矩陣

計算中采用瑞雷(Rayleigh)阻尼,結構阻尼矩陣的計算公式為

5 數(shù)值計算

利用初值問題的精細積分法進行框剪結構的地震反應分析,由以上分析可得框剪結構的動力方程

將上式進行降階處理,轉化為

若將荷載作用時間分成時間步長為地震波時間步長η的若干時間間隔,則式 (9)的解可表示為

上面具體的降階轉化及式(10)中指數(shù)矩陣和特解的計算參見文獻[12-14],將初值v(t0)代入,采用迭代法可依次求出每時刻tk對應的未知量。

6 算例驗證

某一框剪結構平面圖如圖2所示：層高均為3m,共19層,總高度為57m,1～5層柱取700mm× 700mm,剪力墻厚度300mm,混凝土強度等級為C35;6-12層柱取600mm×600mm,剪力墻厚取250mm,混凝土強度等級為C30;13～19層柱取500mm×500mm,剪力墻厚200mm,混凝土強度等級為C25;梁截面分別為250mm×500mm,300mm× 600mm,混凝土強度等級為 C25;樓層板厚為120mm,混凝土強度等級為C20;結構的材料密度取為2.5×103kg/m3。

對上述框剪結構進行動力時程分析。地震波采用美國加利福尼亞州EI-Centro地震記錄,峰值為341.7cm/s2,在本例中,地震波沿x方向作用于結構上,持續(xù)時間0～8s,時間步長為 Δ t=0.02s,在常遇烈度7度下,選定加速度峰值為35cm/s2。

利用本文編制的MATLAB語言程序對上述框剪結構進行動力時程分析。在多遇地震作用下,頂層時程位移最大值為35.47mm,發(fā)生在2.26s,結構位移在平衡位置附近上下變化(圖3);圖4是任意選擇的兩個時刻各樓層的位移時程曲線,結構位移變化符合結構的地震動時刻反應情況;圖5中a圖表明結構的整體位移曲線呈現(xiàn)彎剪型,符合框剪結構的變形特點;而從b圖可得出結構的層間最大位移角為1/1 329,滿足現(xiàn)行規(guī)范中規(guī)定的高度不大于150m的框架-剪力墻高層建筑結構彈性層間位移角限值(1/800)的要求,且結構沒有出現(xiàn)明顯的薄弱層,表明整個結構是處在彈性工作的狀態(tài)。

7 結論

1)運用兩端邊值問題精細積分法中的區(qū)段混合能概念推導結構的單元剛度矩陣,避免了傳統(tǒng)有限單元法中誤差積累的現(xiàn)象,得到的結果更符合實際。

2)初值問題的精細積分法,比傳統(tǒng)的Newarkβ,Wilson-θ離散積分法得到的結果精度更高。

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