基于樣本空間排序法的剩余壽命評(píng)估

顧華海，劉雨時(shí)，呂永佳

（第二炮兵工程學(xué)院陜西西安710025）

近些年，隨著人們對(duì)于CBM維護(hù)的重視及智能預(yù)診技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的方法被用于面向預(yù)診的壽命預(yù)測(cè)，國(guó)內(nèi)外常見的有基于時(shí)間序列的ARMA模型[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2]、灰色理論模型[3]、馬爾可夫模型[4]，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（Bayesian Network）模型[5]等。ARMA模型只適用于平穩(wěn)的時(shí)間序列，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，對(duì)樣本量較小的數(shù)據(jù)不適用，GM（1，1）灰色理論模型預(yù)測(cè)效果在很大程度上取決于原始數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，要求時(shí)間序列近似呈指數(shù)規(guī)律變化，或者說(shuō)要求數(shù)據(jù)總體上呈單調(diào)較平緩變化，馬爾可夫模型需要知道事物從一種狀態(tài)變換到另一種狀態(tài)的概率，Bayes方法的關(guān)鍵是必須確定有關(guān)參數(shù)的先驗(yàn)分布，并受先驗(yàn)偏差影響較大。

本文采用樣本空間排序法[6]計(jì)算可靠性參數(shù)的置信限，并進(jìn)一步建立剩余壽命評(píng)估模型。

1 基本概念

1.1 不同定時(shí)截尾數(shù)據(jù)

從某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件進(jìn)行檢測(cè)，這n個(gè)子樣投入貯存的時(shí)間不一定相同，觀測(cè)截止時(shí)間也不一定相同。設(shè)n個(gè)子樣從開始貯存至觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間間隔分別是t1，…，tn，觀測(cè)結(jié)果用z1，…，zn表示；當(dāng)?shù)趇件產(chǎn)品在時(shí)刻ti觀測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)失效，結(jié)果記為zi=0；若發(fā)現(xiàn)未失效，結(jié)果記為zi=1。此數(shù)據(jù)稱為不同定時(shí)截尾數(shù)據(jù)，表達(dá)式為：

1.2 指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（t）滿足：

則稱X服從指數(shù)分布。其中：θ是平均壽命，未知的正數(shù)。

1.3 威布爾分布

若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（t）滿足：

則稱X服從威布爾分布。其中：β是形狀參數(shù)，未知參數(shù)；η是刻度參數(shù)，未知參數(shù)。

2 樣本空間排序法

1）在樣本空間中，隨機(jī)向量（z1，…，zn）所可能取的值組成集合E，E={（i1，…，in）:ik=0或1，k=1，2，…，n}，在E中定義次序如下：設(shè)x=（x1，x2，…，xn）∈E，y=（x1，y2，…，yn）∈E，若下列條件之一成立：

則稱x≥y。令，

2）設(shè)g（θ）是Θ上任一實(shí)值函數(shù)，給定0＜α＜1，對(duì)任何的y∈E，令，

則gL（Z）是g（θ）的1-α置信水平下限，即：

3）gL（Z）是單調(diào)的，即若h（z）是g（θ）的任何1-α水平的單調(diào)的置信下限，則，

用G（z1，…，zn，θ）表示觀測(cè)結(jié)果（y1，…，yn）不次于給定的（z1，…，zn）的概率。

3 貯存壽命評(píng)估模型

3.1 指數(shù)分布評(píng)估模型

設(shè)產(chǎn)品的貯存壽命服從指數(shù)分布，n個(gè)產(chǎn)品對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)（t1，z1），（t2，z2），…，（tn，zn）為不等定時(shí)截尾數(shù)據(jù)。則貯存可靠度為:

指數(shù)分布情形下產(chǎn)品的貯存壽命為：

式（10）中：R0是規(guī)定的貯存可靠度，θL是θ的估計(jì)值。顯然求出未知的正數(shù)θL，即可得到產(chǎn)品貯存壽命。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征，分以下幾種情況討論：

1）有失效情形

由樣本空間排序法理論知，Gn（z，θ）=Pθ（Z≥z），即：

從數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于一切z≠（0，0，0…），Gn是θ的嚴(yán)格增連續(xù)函數(shù)，且，

于是對(duì)于任何給定0＜α＜1，方程（12）

有唯一根。這個(gè)根就是θ的1-α水平置信下限θL。則由式（10）可得產(chǎn)品的貯存壽命TA。

2）零失效情形

當(dāng)Zi=1時(shí)，由式（11）和（12）可得出：

從而有，

將θL代入公式（10）便得到1-α水平的貯存壽命。

3.2 威布爾分布評(píng)估理論模型

已知產(chǎn)品的貯存壽命服從威布爾分布，n個(gè)產(chǎn)品對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)（t1，z1），（t2，z2），…，（tn，zn）為不等定時(shí)截尾數(shù)據(jù)。則貯存可靠度為：

威布爾分布情形下產(chǎn)品的貯存壽命為：

式（16）中：R0是規(guī)定的貯存可靠

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征，可分以下幾種情況討論：

本文只討論數(shù)據(jù)類型為有失效情形的情況，對(duì)于無(wú)失效情形這里不做考慮。當(dāng)zi不恒為1，也不恒為0時(shí)，利用樣本空間排序法理論可推出1-α水平貯存可靠度置信下限為:

的唯一根。式中G（z1，z2，…，zn，η，β）是η的嚴(yán)格增連續(xù)函數(shù)。

4 實(shí)例分析

下面應(yīng)用樣本空間排序法進(jìn)行模擬計(jì)算。模擬數(shù)據(jù)如下：

表1 指數(shù)型產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)Tab.1Lifetime of one exponential component

采用蒙特卡羅方法仿真威布爾壽命型產(chǎn)品數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 威布爾型產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù)Tab.2Lifetime of one weibull component

由這些數(shù)據(jù)，用樣本空間排序法可計(jì)算出β的估計(jì)為β^=1.451，帶入式（20）可得η^=1.325，則由式（16）得TA=0.471。

5 結(jié)論

由以上計(jì)算可知，運(yùn)用樣本空間排序法計(jì)算指數(shù)型和威布爾型產(chǎn)品壽命，計(jì)算方法較簡(jiǎn)潔，誤差較小。特別在樣本量較少的情況下，運(yùn)用樣本空間排序法也有較好的精度。

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