信用支付條件下變質(zhì)商品的最優(yōu)生產(chǎn)-庫存模型

閔 杰，陳邦考，俞能福，歐 劍

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)理系,合肥 230601)

0 引言

在傳統(tǒng)的庫存模型中，通常假設(shè)零售商一旦收到所訂購的物品則立即向供應(yīng)商付清這些物品的款項(xiàng)。但實(shí)際上，一些供應(yīng)商為提升自己的市場競爭力，愿意提供給零售商一定時(shí)期的免息信用時(shí)間，即允許零售商延期付款。在信用期結(jié)束前，零售商可以通過商品銷售以增加收入和獲利。近二十年來，延期支付對(duì)最優(yōu)庫存策略的影響已引起了許多研究者的關(guān)注。

本文發(fā)展了一個(gè)更為一般的允許滯后支付的庫存模型，以彌補(bǔ)已有相關(guān)研究的不足。本模型假定物品補(bǔ)貨率或者生產(chǎn)速度有限，庫存發(fā)生時(shí)即發(fā)生變質(zhì)?？紤]到實(shí)際情形，本文以系統(tǒng)的平均利潤最大化作為目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，給出一個(gè)簡單的定理幫助確定系統(tǒng)的最優(yōu)補(bǔ)貨或者生產(chǎn)周期。數(shù)值算例和參數(shù)靈敏度的分析進(jìn)一步地驗(yàn)證了本文模型的有效性，得到了一些有意義的結(jié)論和管理啟示。

1 假定與記號(hào)

為了便于建立具體的決策模型，首先作以下假定與符號(hào)的說明：

(1)系統(tǒng)的訂貨速度或者生產(chǎn)率為常數(shù)P；

(2)庫存的物品為具有常數(shù)變質(zhì)率θ的物品，且物品變質(zhì)后無殘值；

(3)不允許缺貨；

(4)K表示零售商每次訂購物品的固定訂貨費(fèi)用或者加工生產(chǎn)物品的準(zhǔn)備費(fèi)用，h表示單位商品單位時(shí)間的庫存保管費(fèi)用，c表示單位物品購買費(fèi)用或者生產(chǎn)成本，s表示單位物品的銷售價(jià)格，且c≤s；

(5)T為每個(gè)訂貨或者生產(chǎn)周期的長度(決策變量)；Q是每周期的訂貨量或者生產(chǎn)量；

(6)t1表示每個(gè)周期中用于訂購或者生產(chǎn)物品的時(shí)間長度；

(7)I1(t)表示系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間(0,t1)內(nèi)t時(shí)刻的庫存水平,而I2(t)表示系統(tǒng)在(t1,T)內(nèi)的庫存水平；

(8)單位時(shí)間內(nèi)的需求量為D,D＞0；

(9)M為允許的滯后支付期。允許的滯后支付期未到期時(shí)零售商可以免除利息且可以利用所得銷售收入賺取一定的利息，而到期后則要支付相應(yīng)的利息；

(10)TM表示t1恰好等于M時(shí)整個(gè)周期T的長度(常量),顯然有TM＞M；

(11)Ip為單位庫存單位時(shí)間的支付利息，Ie為單位庫存單位時(shí)間的收益利息。

(12)Π(T)則表示在T≥0時(shí)該庫存系統(tǒng)的平均利潤。

2 模型建立

基于上面的分析與假定，整個(gè)庫存系統(tǒng)運(yùn)行過程如下：首先在每個(gè)訂貨或者生產(chǎn)周期初即t=0時(shí)刻，系統(tǒng)開始以常數(shù)速度生產(chǎn)物品，直到t1時(shí)刻生產(chǎn)停止，這時(shí)系統(tǒng)達(dá)到最大庫存水平；從t=t1開始系統(tǒng)中所庫存的物品量由于銷售和變質(zhì)而在T時(shí)刻降為零。可見在時(shí)間區(qū)間(0,t1)內(nèi),系統(tǒng)中庫存水平的變化歸因于生產(chǎn)、需求和變質(zhì)，所以在此區(qū)間內(nèi)庫存水平變化的狀態(tài)方程為

邊界條件為I1(0)=0.

另一方面，在時(shí)間區(qū)間(t1,T)內(nèi)系統(tǒng)庫存水平的變化只歸因于需求和變質(zhì)，所以在此區(qū)間內(nèi)庫存水平變化的狀態(tài)方程為

邊界條件為I2(T)=0.

易求出微分方程(1)和(2)的解分別為

和

因?yàn)橄到y(tǒng)的庫存水平是連續(xù)變化的，所以有I1(t1)=I2(t1),聯(lián)立(3)和(4)可得

和

其中

(6)式表明生產(chǎn)區(qū)間長度t1是整個(gè)周期T的函數(shù)。

設(shè)t1=M,可得TM的表達(dá)式為

顯然系統(tǒng)在一個(gè)周期內(nèi)的利潤函數(shù)由以下幾個(gè)部分組成：

(1)每周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用或者訂貨費(fèi)用為K.

(2)每周期的庫存費(fèi)用為

(3)每周期的購買費(fèi)用或者生產(chǎn)成本為cQ=cPt1.

(5)每周期在允許的滯后支付期限到期后，零售商為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付的利息，分為以下兩種情形：

①當(dāng)T≤M時(shí)

因?yàn)橛嗀浕蛘呱a(chǎn)周期小于允許固定的滯后支付期，顯然此時(shí)要付的利息為0.

②當(dāng)T＞M時(shí)

這時(shí)因?yàn)門M＞M，所以又可分為以下兩種情形：

i)當(dāng)M＜T≤TM時(shí),這表示t1≤M＜T,即允許的滯后支付期到期時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)停止生產(chǎn)，所以零售商在時(shí)間區(qū)間[M,T]內(nèi)要為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付利息，其值為

(ii)當(dāng)T＞TM時(shí)，這表示M＜t1＜T,即允許的滯后支付期到期時(shí)系統(tǒng)還處于生產(chǎn)階段，所以零售商在時(shí)間區(qū)間[M,t1]和[t1, T]內(nèi)要為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付利息，其值為

(6)每周期零售商賺取的銷售收入的利息，也可分為以下兩種情形：

①當(dāng)T≤M時(shí)

既然t1≤T≤M，從時(shí)刻0到時(shí)刻M零售商總共所賺取的利息為

②當(dāng)T＞M時(shí)，進(jìn)一步有

i)當(dāng)M＜T≤TM時(shí),意味著t1≤M＜T,所以在整個(gè)周期內(nèi)所賺取的利息為：

ii)當(dāng)T＞TM時(shí)，由于允許的滯后支付期到期時(shí)系統(tǒng)還處于生產(chǎn)階段，從時(shí)刻0到時(shí)刻M零售商可以一邊銷售一邊持續(xù)地利用所得收入來賺取利息，其值為

綜合以上分析可知零售商單位時(shí)間內(nèi)的平均利潤函數(shù)可以表示為：

Π (T)={銷售收入+賺取利息-訂貨/生產(chǎn)費(fèi)用-存儲(chǔ)費(fèi)用-購買成本-支付利息}/T,

由于TM＞M，所以此利潤函數(shù)可分為以下三種情形

經(jīng)過化簡和計(jì)算可得：

和

容易驗(yàn)證Π1(M)=Π2(M)，Π2(TM)=Π3(TM)。

3 模型求解

不妨先分別研究函數(shù)Πi(T)(i=1,2,3)在(0,+∞)內(nèi)的性質(zhì)。對(duì)Π1(T)求一階導(dǎo)數(shù)可得

為討論方便，設(shè)

于是dΠ1(T)/dT和f1(T)有相同的定義域和符號(hào)。進(jìn)一步對(duì)f1(T)求導(dǎo)可得

而由(6)式可知t1是T的函數(shù)，所以t1關(guān)于T的一、二階導(dǎo)數(shù)分別是

由于0＜r＜1,所以d2t1/dT2＞0.對(duì)(15)式分析可知df1/dT＜0.這表明f1(T)在(0,+∞)內(nèi)是嚴(yán)格遞減的.

同樣地，可以通過對(duì)Π2(T)求導(dǎo)來尋找其最優(yōu)值點(diǎn)。顯然

若設(shè)

進(jìn)一步對(duì)f2(T)求導(dǎo)可得

若f2(0)＞0，則由介值定理知f2(T)=0,即dΠ2(T)/dT=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)2取正值，而在區(qū)間(,+∞)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π2(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，因此Π2(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；但是如果f2(0)≤0，則f2(T)在(0,+∞)內(nèi)始終非正，因此Π2(T)將在(0,+∞)內(nèi)保持遞減。

同樣地，Π3(T)取得最優(yōu)值的必要條件是dΠ3(T)/dT=0,對(duì)Π3(T)求一階導(dǎo)數(shù)可得：

設(shè)

于是有

若f3(0)＞0，則f3(T)=0即dΠ3(T)/dT=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)取正值，而在區(qū)間(,+∞)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(，+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，因此(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；但是如果f3(0)≤0，則f3(T)在(0,+∞)內(nèi)始終非正，因此Π3(T)將在(0,+∞)內(nèi)遞減。

綜上所述，可得如下引理：

引理1.

(1)Π1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，即Π1(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值。

(3)若f3(0)＞0，則Π3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，即Π3(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；否則Π3(T)將在(0,+∞)內(nèi)遞減。

基于引理1可以來尋找Π(T)的最優(yōu)值點(diǎn)T*。由(14)、(19)和(23)可得

和

為簡化表達(dá)，不妨設(shè)△1=f1(M)=f2(M)，△2=f2(TM)=f3(TM).由于f2(T)在(0,+∞)內(nèi)遞減，所以有△1≥△2。 通過分析，可得下面的定理1來尋找模型的最優(yōu)解T*.

定理1.

證明：(1)因?yàn)閒1(T)在(0,M)內(nèi)f1(T)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)f1(0)=K＞0，若△1≤0即f1(M)≤0，所以在(0,M)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)取正值，而在區(qū)間(,M)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,M)內(nèi)嚴(yán)格遞減。

而f2(T)在(M,TM)內(nèi)f2(T)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)△2＜0即f2(M)≤0，f2(TM)≤0。也就是說f2(T)在區(qū)間(M,TM)內(nèi)取負(fù)值，這意味著Π2(T)在區(qū)間(M,TM)內(nèi)嚴(yán)格遞減。

又因?yàn)閒3(T)在(TM,+∞)內(nèi)f3(T)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)△2=f3(TM)＜0，即在(TM,+∞)內(nèi)f3(T)＜0，此時(shí)Π3(T)在(TM,+∞)內(nèi)遞減。

(2)、(3)證明類似，從略。

根據(jù)定理1，容易求得系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨或者生產(chǎn)周期T*，從而系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)區(qū)間（每周期的最優(yōu)生產(chǎn)量或者訂貨量Q*）也能夠根據(jù)Q=cp求出。因此，系統(tǒng)的最大平均利潤Π(T*)也可根據(jù)(9)求出。

5 數(shù)值例子

為了說明上面的理論結(jié)果，本文用兩個(gè)實(shí)例來分析模型的實(shí)際應(yīng)用。

例1.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用K=200元/次，單位時(shí)間的固定需求量D=5000單位/年，庫存費(fèi)用h=10元/單位/年，支付利率IP=0.15元/元/年，獲利利率Ie=0.05元/元/年，允許滯后支付期M=0.10年，單位成本價(jià)c=10元/單位，單位售價(jià)s=12元/單位，變質(zhì)率?=0.10，單位時(shí)間的P=1500單位/年,計(jì)算系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)－庫存策略以及最大利潤值。

在本例的情況下，對(duì)不同的M，K取值可能對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)策略造成的影響進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示。

表1 M的變化對(duì)最優(yōu)策略的影響

表2 K的變化對(duì)最優(yōu)策略的影響

由表1和表2可以得到如下結(jié)論：

（1）隨著允許滯后支付期M的增加，系統(tǒng)的T*和以及Π(T*)都在隨之增加，這與實(shí)際情況是相符合的。當(dāng)M的值增大時(shí)，生產(chǎn)時(shí)間增大，即生產(chǎn)（訂貨量）也會(huì)隨之增加，這是因?yàn)樵谠试S滯后時(shí)間變大的情況下，零售商或者生產(chǎn)商有更長的時(shí)間用于資金積累，而對(duì)于供應(yīng)商可以達(dá)到促銷的作用。

例2.假設(shè)每次訂貨或者生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用K=50元/次，單位時(shí)間的固定需求量D=1000單位/年，庫存費(fèi)用h=5元/單位/年，單位支付利率Ip=0.1元/元/年，單位獲利利率Ie=0.07元/元/年，允許滯后支付期M=0.10年，單位購買或者生產(chǎn)成本c=10元/單位，單位售價(jià)s=15元/單位，變質(zhì)率θ=0.2，單位時(shí)間的P=2000單位/年,計(jì)算系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)－庫存策略以及最大利潤值。

計(jì)算得 TM=0.1980年,進(jìn)而判斷 △1=27.2509＞0,△2=-38.6054＜0,據(jù)定理1可知，Π(T*)=Π2()，T*=，且T*= 0.1487，由T*計(jì)算出=0.0749，由M,T可以直接計(jì)算得到此時(shí)的生產(chǎn)—庫存系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最大平均利潤為Π (T*)=4422.0元

進(jìn)一步對(duì)不同的θ值可能對(duì)系統(tǒng)最優(yōu)策略造成的影響進(jìn)行詳析，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 θ的變化對(duì)最優(yōu)策略的影響

由表3可以得到結(jié)論如下：當(dāng)商品變質(zhì)率θ的值增大時(shí)，系統(tǒng)最優(yōu)策略T*和以及Π(T*)都在隨之減小，即系統(tǒng)會(huì)減少生產(chǎn)（訂購）的產(chǎn)品數(shù)量。由以上分析可知，既然變質(zhì)率的增加會(huì)對(duì)最優(yōu)策略造成影響，導(dǎo)致最優(yōu)利潤的減少，所以系統(tǒng)必須盡可能的保證變質(zhì)率在較低的水平才可能實(shí)現(xiàn)利潤的最大化。

5 結(jié)論

本文研究了變質(zhì)性物品在允許滯后支付條件下的最優(yōu)生產(chǎn)—庫存模型。和已有研究的主要區(qū)別是本模型從以下五個(gè)方面推廣了傳統(tǒng)的EOQ模型：(1)物品的補(bǔ)充速度假設(shè)是有限的，(2)物品的零售價(jià)格高于物品的購買成本，(3)物品具有常數(shù)變質(zhì)速度，(4)供應(yīng)鏈中上游供應(yīng)商給下游零售商一個(gè)固定的滯后支付期，(5)平均利潤最大化作為模型的目標(biāo)函數(shù)去尋找最優(yōu)的訂貨策略。另外，本文詳細(xì)地討論了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，得到了簡單的尋找模型最優(yōu)訂貨策略的方法。最后，通過數(shù)例說明了模型的應(yīng)用，通過靈敏度分析得到了一些有益的管理啟示。當(dāng)然，本文中的模型也可以進(jìn)一步推廣到實(shí)際的供應(yīng)鏈中。

[1]C.K.Jaggi,S.K.Goyal,S.K.Goel.Retailer’s Optimal Replenishment Decisions with Credit-linked Demand under Permissible Delay in Payments[J].European Journal of Operational Research，2008，190.

[2]L.Y.Ouyang,J.T.Teng,S.K.Goyal,C.T.Yang.An Economic OrderQuantity ModelforDeteriorating Items with Partially Permissible Delay in PaymentsLinked to OrderQuantity[J]. European Journal of Operational Research，2009，194.

[3]C.T.Chang,J.T.Teng,S.K.Goyal,Inventory Lot-Size Models under Trade Credits:A Review[J].Asia Pacific Journal of Operational Research，2008，25.

[4]K.J.Chung,Y.F.Huang.The Optimal Cycle Time for EPQ Inventory Model under Permissible Delay in Payments[J].International Journal of Production Economics，2003，84.

[5]Y.F.Huang.Optimal Retailer’s ReplenishmentPolicy for the EPQ Model under the Supplier’s Trade Credit Policy[J].Production Planning and Control，2004，15.

[6]J.T.Teng, L.Y.Ouyang, L.H.Chen.Optimal Manufacturer’s Pricing and Lot-sizing Policies under Trade Credit Financing[J]. International Transactions in Operational Research，2006，13.

[7]Y.F.Huang.Optimal Retailer’s Replenishment Decisions in the EPQ Model under Two Levels of Trade Credit Policy[J].European Journal of Operational Research，2007，176.

[8]J.T.Teng,C.T.Chang.Optimal Manufacturer’s Replenishment Policies in the EPQ Model under Two Levels of Trade Credit Policy[J].European Journal of Operational Research，2009，195.