基于改進(jìn)背景值算法的優(yōu)化GM(1,1)模型及其應(yīng)用

毛文晉，冉 璐

（1.西南石油大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，成都 610500；2.重慶三峽學(xué)院，重慶 萬州 404000）

0 引言

由于GM(1,1)模型能用較少的數(shù)據(jù)序列建立模型去反映系統(tǒng)的主要?jiǎng)討B(tài)特性，在顯著不確定性和缺乏數(shù)據(jù)信息的領(lǐng)域得到了成功的應(yīng)用,但同時(shí)也存在一些預(yù)測偏差過大的情況,反映了GM(1,1)模型的實(shí)用性有待提高[1][2]。在研究和應(yīng)用灰色系統(tǒng)模型過程中，GM(1,1)模型的缺陷不斷被發(fā)現(xiàn)，模型的不足之處不改進(jìn)[3～10]。文獻(xiàn)[3]提出預(yù)測公式中的以x(0)(1)為已知條件不合理；文獻(xiàn)[4]指出灰微分方程參數(shù)方程組病態(tài)的問題；文獻(xiàn)[5～10]指出導(dǎo)致GM(1,1)模型誤差偏大的原因是該模型中背景值的構(gòu)造方法不當(dāng)所致，并給出了各自的改進(jìn)方法。

而其中背景值的構(gòu)造方法成為影響GM(1,1)模型精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，文獻(xiàn)[9]的背景值構(gòu)造方法具有更高的精度，同時(shí)既適用于低增長指數(shù)的數(shù)據(jù)列進(jìn)行GM(1,1)預(yù)測，也適用于高增長指數(shù)的數(shù)據(jù)列進(jìn)行GM(1,1)預(yù)測。但該文獻(xiàn)中推導(dǎo)背景值計(jì)算公式時(shí)，假定，此與GM(1,1)預(yù)測公式相比少了常數(shù)項(xiàng)，導(dǎo)致在增長指數(shù)較小時(shí)反而不如傳統(tǒng)GM(1,1)的擬合精度高。本文擬在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，重新推導(dǎo)背景值的計(jì)算公式；同時(shí)，考慮到最優(yōu)的擬合曲線不一定經(jīng)過歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，利用誤差最小的方法求解得到預(yù)測公式中最優(yōu)C值。

1 改進(jìn)背景值計(jì)算的GM(1,1)模型

x(1)序列滿足下述一階線性微分方程模型：

其中a為發(fā)展系數(shù)（增長指數(shù)），反映了數(shù)據(jù)序列x(1)及原始數(shù)據(jù)序列x(0)的發(fā)展趨勢；u為灰作用量。其解為：

并稱（1）式為（3）式的白化方程。

其中z(1)(k)為背景值，一般z(1)(k)=0.5x(1)(k-1)+0.5x(1)(k)(k= 2,3,…,n)。采用最小二乘算法求解估計(jì)a和u，可得：

其中

在區(qū)間[k-1,k]上對（1）式兩邊同時(shí)求積分可得：

已知x(1)(u)-x(1)(u-1)=x(0)(u)，比較（3）式和（7）式可知應(yīng)滿足：

不妨假定x(1)(t)=CeAt+B，而x(0)(t)=ceait，離散化有：

比較可得：

把x(1)(t)=CeAt+B帶入（8）式，可得：

可見關(guān)鍵是確定A和B，由前定義可得：

又因x(0)(1)=CeA(1-1)+B=C+B

則可求得：

故可得新的背景值計(jì)算公式為：

基于新的背景值計(jì)算公式并由（4）式求解得到a和u，并代入（2）式并離散化，假定(k)代表原始累加數(shù)據(jù)x(1)(k)的預(yù)測值，則有：

在傳統(tǒng)GM(1,1)預(yù)測公式中：

累減生成還原得到原始數(shù)據(jù)序列的灰色預(yù)測模型為：

2 優(yōu)化初始值G

考慮到最優(yōu)的擬合曲線不一定經(jīng)過歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，基于（16）式選擇的初始值G不一定是最優(yōu)的，即G的選取是影響GM(1,1)模型建模精度的又一個(gè)重要因素.為了獲得最優(yōu)的擬合曲線,提高模型的建模精度,需要對G進(jìn)行優(yōu)化。

定義：

把（17）式代入（18）式可得：

求滿足擬合值和原始值平方和誤差最小的得：

簡化后可得最有的G值為：

3 預(yù)測步驟和實(shí)例應(yīng)用

3.1 預(yù)測步驟

由上面分析可總結(jié)預(yù)測步驟如下：

（1）由原始數(shù)據(jù)生成x(1)(k)，基于(13)式計(jì)算z(1)(k)，并基于(5)(6)式生成Yn和Bn；

（2）基于(4)式計(jì)算發(fā)展系數(shù)a和灰作用量u；

3.2 實(shí)例及應(yīng)用

3.2.1 實(shí)例

為使結(jié)果有可比性，采用與文獻(xiàn)[9]中相似的數(shù)據(jù)x(0)(k)-ea(k-1)(k=0,1,2,3,4,5)來建模預(yù)測，其中-a=0.05,1.5,2.5。把文獻(xiàn)[9]中所提出模型稱為模型[9]，本文模型稱為新模型。由于在文獻(xiàn)[9]中已經(jīng)證明了模型[9]比其它改進(jìn)背景值方法的模型有效，所以不在選用其它模型分析。但是，在-a=0.05時(shí)，model[9]的擬合和預(yù)測誤差比傳統(tǒng)的GM(1,1)模型（稱為原模型）大，也采用了傳統(tǒng)模型進(jìn)行了分析和比較。定義殘差ξ(k)為：

擬合和預(yù)測結(jié)果見表1～4。表1的結(jié)果表明傳統(tǒng)GM (1,1)模型的結(jié)果比文獻(xiàn)[9]模型的結(jié)果精度高，其原因在于模型[9]中忽略的常量在發(fā)展系數(shù)小時(shí)較大，不考慮就帶來了較大誤差。但是從表1～4可見，不關(guān)發(fā)展系數(shù)小（-a=0.05）還是大（-a=2.5），新模型的預(yù)測和擬合結(jié)果的精度都遠(yuǎn)高于另外兩種模型，顯示了其有效性。

3.2.2 應(yīng)用

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文的算法，選用了文獻(xiàn)[8]中的英國市場研究機(jī)構(gòu)Analysys Ltd的一份研究報(bào)告預(yù)計(jì)的2004～2008年歐洲手機(jī)游戲市場規(guī)模進(jìn)行了仿真建模分析。

定義相對誤差為：

擬合結(jié)果見表5，從表中可見，當(dāng)采用平均殘差作為模型精度判斷依據(jù)時(shí)，原模型、模型[9]、新模型的平均殘差分別為0.4674、0.0993和0.0826，即新模型最好。

表1 -a=0.05時(shí)三種模型的擬合結(jié)果

表2 -a=1.5時(shí)模型[9]和新模型的擬合結(jié)果

表3 -a=2.5時(shí)模型[9]和新模型的擬合結(jié)果

表4 -a=0.05,1.5,2.5和k=6,7時(shí)模型 [9]和新模型的預(yù)測結(jié)果

當(dāng)采用平均相對誤差作為模型精度判斷依據(jù)時(shí)，原模型、模型 [9]、新模型的平均相對誤差分別為 2.3743%、1.2113%和0.8697%，新模型最好。

當(dāng)采用相對誤差最大值作為模型精度判斷依據(jù)時(shí)，原模型、模型 [9]、新模型的相對誤差最大值分別為3.9801%、3.9909% 和1.8983%，也是新模型最好。本實(shí)例應(yīng)用同樣顯示出了新模型的有效性。

表5 三種模型的擬合結(jié)果(億歐元)

4 結(jié)論

本文分析了GM(1,1)模型背景值的構(gòu)造方法，并基于文獻(xiàn)[9]提出了一種改進(jìn)的構(gòu)造計(jì)算方法。并對GM(1,1)模型的初始條件進(jìn)行了優(yōu)化，利用誤差平方和最小的方法求解得到了其最優(yōu)值，從而擺脫了原有模型的初始值經(jīng)過了歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)的束縛。同時(shí)，相較傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模方法，本文提出的優(yōu)化模型并沒有變復(fù)雜，同時(shí)也繼承了灰色模型所需歷史數(shù)據(jù)少的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)和計(jì)算簡單。從實(shí)例模擬及分析可見，本文提出的優(yōu)化GM(1,1)模型使得擬合、預(yù)測精度更高，適合范圍寬。本文的研究具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

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