一種社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模糊C劃分聚類數(shù)的確定方法

賀 勇，鐘映竑

（廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，廣州 510520）

0 引言

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)建模與分析中，需要進(jìn)行系統(tǒng)分解，即目標(biāo)系統(tǒng)要?jiǎng)澐譃槿舾蓚€(gè)子系統(tǒng)。這會(huì)面臨兩個(gè)問(wèn)題：第一，如何劃分；第二，劃分多少個(gè)子系統(tǒng)。這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)聚類問(wèn)題，涉及到聚類算法的選取和聚類數(shù)的確定。模糊C均值（Fuzzy C-Mean,FCM）聚類算法[1,2]作為無(wú)監(jiān)督數(shù)據(jù)分類和分析的一個(gè)重要工具，已成功地用于模式識(shí)別及系統(tǒng)建模等領(lǐng)域。社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是個(gè)邊界不明晰的軟系統(tǒng)，相對(duì)于層次聚類法和快速聚類法等而言，模糊C均值劃分更加適合處理此類系統(tǒng)，且可以獲得更加豐富的知識(shí)。但FCM算法必須事先給定聚類數(shù)，在未知情況下，一般通過(guò)聚類有效性函數(shù)可來(lái)確定，而已提出的聚類有效性函數(shù)眾多，不同的聚類有效性函數(shù)往往得到不同的聚類數(shù)。聚類有效性函數(shù)可分為兩類：一類是以Bezdek的vPC[3]和vPE[4]為代表的基于數(shù)據(jù)集模糊劃分的觀點(diǎn)；另一類基于數(shù)據(jù)集的幾何結(jié)構(gòu)，以Xie和 Beni的vXB[5]，F(xiàn)ukuyama和 Sugeno的 vFS[6]及Kwon的vk[7]為代表。然而，對(duì)于UCI上的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集，沒(méi)有一個(gè)有效性函數(shù)能保證都得到正確的分類數(shù)。這樣，在現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，將目標(biāo)系統(tǒng)采用模糊C均值劃分為若干個(gè)子系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)選取哪個(gè)有效性函數(shù)沒(méi)有任何根據(jù)，其最佳聚類數(shù)難以確定。

在現(xiàn)實(shí)目標(biāo)系統(tǒng)中，如果僅僅依靠某個(gè)聚類有效性函數(shù)來(lái)確定聚類數(shù)，其結(jié)果可能并不理想，應(yīng)當(dāng)引入專家經(jīng)驗(yàn)?？梢赃@么認(rèn)為，一個(gè)好的聚類應(yīng)該滿足：其一，其聚類數(shù)合理，符合解決問(wèn)題的需要，這需要通過(guò)專家經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷；其二，聚類結(jié)果科學(xué)、可信，需要通過(guò)經(jīng)典的聚類有效性函數(shù)來(lái)檢驗(yàn)。將專家知識(shí)和科學(xué)計(jì)算結(jié)合起來(lái)，針對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，本文將提出一種模糊軟劃分聚類數(shù)的確定方法，主要步驟是：首先進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，幾何結(jié)構(gòu)上，觀察數(shù)據(jù)集是否可聚；其次，專家根據(jù)問(wèn)題給出聚類數(shù)集合；最后，對(duì)可供選擇的每一個(gè)聚類數(shù)，采用聚類有效性函數(shù)集來(lái)評(píng)價(jià)，滿足有效性函數(shù)最多的聚類數(shù)被認(rèn)定為最佳聚類數(shù)。

1 分類指標(biāo)的選取

若實(shí)際產(chǎn)出為Y，有n個(gè)投入要素，則生產(chǎn)函數(shù)的一般形式為[8]：

它代表產(chǎn)出與投入要素之間的某種依存關(guān)系。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)廣東省21個(gè)地區(qū)的科技進(jìn)步水平進(jìn)行軟分類，遵循柯布-道格拉斯（C.W.Cobb-D.H.Douglas）[9]：

式中α、β是常數(shù)，K,L分別代表資本投入、勞動(dòng)投入，A代表技術(shù)進(jìn)步水平。從（2）式得到：

式（3）表示一個(gè)地區(qū)的技術(shù)進(jìn)步與該地區(qū)的產(chǎn)出、資本投入、勞動(dòng)投入具有一定的依存關(guān)系。基于這種關(guān)系，這里科技進(jìn)步人均產(chǎn)出、固定資產(chǎn)投入和人力資本來(lái)反映，根據(jù)2001～2009廣東省統(tǒng)計(jì)年鑒相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到人均GDP（單位：萬(wàn)元）、人均固定資產(chǎn)（單位：萬(wàn)元）及人力資本數(shù)據(jù)（計(jì)算方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)10），得到表1。

表1 各地區(qū)指標(biāo)值

2 分類數(shù)的確定

對(duì)聚類有效性函數(shù)的研究可分為兩類：一類是基于模糊劃分的方法，認(rèn)為好的聚類對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)集是較分明、較明晰的，代表函數(shù)如Bezdek提出的分割系數(shù)vPC和分割熵vPE；另一類是基于幾何結(jié)構(gòu)的方法，認(rèn)為每個(gè)子類應(yīng)當(dāng)是緊致的，子類與子類相互間盡可能分離，代表函數(shù)有Xie和Beni的vXB，F(xiàn)ukuyama和Sugeno的vFS，Kwon的vK等。上面提到的5個(gè)有效性函數(shù)如表2所示。在評(píng)價(jià)聚類結(jié)果時(shí)，這5個(gè)有效性函數(shù)并不一定同時(shí)達(dá)到最優(yōu)?？梢赃@樣認(rèn)為：多個(gè)有效性函數(shù)取得最優(yōu)值的聚類結(jié)果為較優(yōu)的結(jié)果，該結(jié)果對(duì)應(yīng)的聚類個(gè)數(shù)為最佳的聚類數(shù)。

表2 聚類有效性函數(shù)

從圖1中，我們可看到21個(gè)地區(qū)固定資產(chǎn)、人力資本和GDP構(gòu)成的三維數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，可看出待分析的數(shù)據(jù)是存在聚類趨勢(shì)的，具有可聚性[11]。由散點(diǎn)圖及實(shí)際研究問(wèn)題的需要，我們將聚類數(shù)區(qū)間定為c={2,3,4,5,6}。在不同類別下，5個(gè)有效性函數(shù)值都在時(shí)達(dá)到最優(yōu)。由此我們可得出結(jié)論：2000～ 2008年期間廣東省各地區(qū)按科技水平劃分的最佳類別數(shù)為3類。

3 分類結(jié)果及分析

圖1 21個(gè)地區(qū)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖

設(shè)定分類數(shù)為3，對(duì)廣東省21個(gè)地區(qū)按技術(shù)進(jìn)步水平進(jìn)行軟劃分，即對(duì)三維向量集{(Yt,Kt,Lt)}模糊分類，結(jié)果如表3及圖2所示。

表3 科技進(jìn)步水平分類表

圖2 分類結(jié)果

表4 類中心矢量

可見(jiàn)，分類結(jié)果比較好地反映了廣東省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況。事實(shí)上，第一類包含兩個(gè)廣州、深圳兩個(gè)副省級(jí)城市、珠海特區(qū)及經(jīng)濟(jì)重地佛山，是珠三角的龍頭，科技進(jìn)步水平最高；第二類均為珠三角城市，區(qū)位優(yōu)勢(shì)突出，經(jīng)濟(jì)發(fā)展?jié)摿薮螅坏谌愔饕菛|西兩翼及粵北地區(qū)，雖然這些地區(qū)之間以及各個(gè)地區(qū)內(nèi)部的科技進(jìn)步有明顯差異，但它們都具有農(nóng)業(yè)人口比重大，貧困人口多，科技進(jìn)步水平整體上偏低。表4列出的是各類的類中心矢量（均為歸一化后數(shù)據(jù)），表5列出的是各個(gè)地區(qū)屬于各類的程度。

表5 隸屬度表

從隸屬度矩陣（表 5）發(fā)現(xiàn)：廣州屬于第一類的程度是0.9876，而佛山是0.7023，表明雖然它們的科技進(jìn)步水平可以認(rèn)為屬于同一類，但廣州的科技進(jìn)步水平高于佛山。中山屬于第一類及第二類的程度分別0.4031和0.5062，相對(duì)比較劃歸第二類；而江門屬于第二類及第三類的程度分別是0.6129和0.3511，相對(duì)比較劃歸第二類，但是屬于第一類程度僅為0.0360，說(shuō)明盡管中山、江門同屬第二類，但中山科技水平要比江門高。第三類地區(qū)屬于第三類的隸屬度均超過(guò)0.7以上，都劃歸第三類。可見(jiàn)表3是科技進(jìn)步的粗分類，而表5正好反映的是每一類中更細(xì)致的劃分。兩個(gè)表綜合反映了廣東省各地區(qū)科技進(jìn)步水平的分類，符合廣東省的實(shí)際情況。

4 結(jié)論

在對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行聚類時(shí)，應(yīng)將專家知識(shí)和科學(xué)計(jì)算相結(jié)合。一個(gè)好的聚類應(yīng)不僅符合客觀現(xiàn)實(shí)，即聚類數(shù)合理，而且應(yīng)盡量滿足經(jīng)典的聚類有效性函數(shù)，即聚類結(jié)果科學(xué)。本文在給定合理可行的聚類數(shù)集合的基礎(chǔ)上，采用多個(gè)聚類有效性函數(shù)對(duì)對(duì)各個(gè)聚類數(shù)進(jìn)行優(yōu)選的方法，以科技進(jìn)步水平對(duì)廣東省21個(gè)地區(qū)進(jìn)行了劃分：首先，確定衡量科技進(jìn)步水平的數(shù)據(jù)集；進(jìn)而對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析，判斷是否具有聚類趨勢(shì)；然后采用所提出方法進(jìn)行聚類，得到了滿意的聚類數(shù)及聚類結(jié)果。研究顯示，廣東省按科技進(jìn)步水平應(yīng)分為3類，分類結(jié)果符合實(shí)際。

[1]Dunn J.C.Some Recent Investigations of a New Fuzzy Partition Algorithm and Its Application to Pattern Classification Problems [J].J.Cybernetics，1974,(4).

[2]Bezdek,J.C.Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithm[M].NY：Plenum Press，1981.

[3]Bezdek J.C.Cluster Validity with Fuzzy Sets[J].J.Cybernetics，1974,3(3).

[4]Bezdek J.C.Mathematical Models for Systematic and Taxonomy [C].In:Proceedings of 8th International Conference on Numerical Taxonomy,San Francisco,1975.

[5]Xie X.L,Beni,G.A.Validity Measure for Fuzzy Clustering[J]. IEEE Trans.Pattern Anal.Machine Intell，1991,3(8).

[6]Fukuyama Y.,Sugeno,M.A New Method of Choosing the Number of Clusters for the Fuzzy C-means Method[C].In:Proceedings of 5th Fuzzy System Symposium，.1989.

[7]S.H.Kwon.Cluster Validity Index for Fuzzy Clustering[J].Electron.Lett.,1998,34(22).

[8]Solow.R.M.A Contribution to the Theory of Economic Growth [J].Quarterly Journal of Economics,1956,39(1).

[9]Rome.P.Endogenous Technological Change[J].Journal of Political Economy,1990,98(5).

[10]賀勇，諸克軍.基于軟計(jì)算的生產(chǎn)要素對(duì)地區(qū)經(jīng)濟(jì)影響分析[J].系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2009，18（3）.

[11]高新波.模糊聚類分析及其應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2004.