門式起重機防擺控制系統(tǒng)模型

何孔德 方子帆 楊蔚華

(三峽大學機械與材料學院,湖北宜昌 443002)

門式起重機被大量應用于制造業(yè)、港口運輸業(yè)及大型精密裝備的裝配中,其吊運空間有限、吊重大、吊裝位置要求精確,稍有不慎,就會造成貨物解體或損害其自身結構[1].而且隨著懸吊鋼絲繩長度的增大,門式起重機的負載在快速定位上要花費較長時間,影響了生產(chǎn)效率,因此有必要研究如何快速穩(wěn)定吊重,并設計其控制系統(tǒng),有效提高工作效率和安全性.本文通過建立門式起重機動力學模型及其狀態(tài)空間方程,利用LQR線性二次最優(yōu)控制方法對其擺動進行了分析,采用Matlab對其進行仿真.結果表明,這種控制方法能有效降低門式起重機的擺動時間,提高定位精度和工作效率,對作業(yè)安全性具有重要意義[2].

1 門式起重機力學模型

門式起重機是靠兩個水平往復運動的綜合來完成重物吊運的,將吊重水平方向運動的運行機構和吊重上下運動的起升機構組合起來,就能使門式起重機為一個長方形面積及其上空的空間服務.為了便于分析影響門式起重機吊重擺動的本質(zhì),根據(jù)工作中的實際情況對其作簡化處理:門式起重機在作業(yè)過程中,大車一般處于靜止狀態(tài),因此不考慮大車的運動;小車在行走的過程中忽略起升鋼絲繩的長度變化;吊重始終處于水平狀態(tài)且只在垂直于水平的平面內(nèi)運動,這樣吊具和吊重可以簡化為無體積的質(zhì)點;忽略風力和空氣阻力,不計系統(tǒng)的彈性變形;忽略電機、減速器等傳動機構的非線性影響;假設小車與軌道之間的摩擦力和小車速度成線性關系[3];忽略鋼絲繩與小車連接處的摩擦力,通過以上的假設可得到簡化后的力學模型,如圖1所示.

圖1 小車-吊重系統(tǒng)力學模型

本文以MG型門式起重機為例進行研究,其參數(shù)及圖1中各符號所表示的意義見表1[4].

表1 模型參數(shù)及符號意義

2 門式起重機系統(tǒng)動力學方程

2.1 系統(tǒng)運動微分方程

依據(jù)圖1,系統(tǒng)受到的力有小車和吊重的自身重力,小車的驅(qū)動力,小車與軌道的阻力.由于假設L不變,則此系統(tǒng)具有兩個自由度,取圖1中X,Y所示的方向為正向,以小車A的坐標 x和纜繩的擺角θ為廣義坐標,建立廣義坐標下的系統(tǒng)運動學方程.

小車和吊重的速度分別表示如下:

系統(tǒng)的動能:

可得其運動微分方程為

2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程

由于門式起重機吊重過程中鋼絲繩的長度比吊重擺動幅度要大得多,所以θ很小,線性化處理,sinθ =θ,cosθ=1,則其運動微分方程可寫為

對式(6)、(7)進行拉氏變換得:

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

依據(jù)式(6)、(7),取θ,˙θ,x,˙x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量, x,θ為系統(tǒng)輸出,F為系統(tǒng)的輸入,則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中,X=[θ,˙θ,x,˙x],u=F,Y=[θ,x]T,則將式(6), (7)改寫為矩陣形式:

即

2.3 模型參數(shù)確定

依據(jù)表1,帶入具體參數(shù),得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

3 LQR線性二次型最優(yōu)控制原理

文中控制系統(tǒng)設計的目標是使起重機在最短時間內(nèi)定位于指定位置,即此時載荷無擺動.由于性能指標均為控制變量的二次型函數(shù)積分,故該系統(tǒng)可以視作二次型性能指標的最優(yōu)控制問題[5].線性二次型最優(yōu)問題的最優(yōu)解可以以統(tǒng)一的解析形式表示,可求得狀態(tài)線性反饋控制規(guī)律,由此而構成一個閉環(huán)最優(yōu)反饋系統(tǒng).其狀態(tài)方程性能指標為

其實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件為

(1)狀態(tài)方程:

(2)協(xié)態(tài)方程:

(3)邊界條件:

(4)橫截條件:

(5)極值條件:

由式(25)得輸入為

即為使性能指標達到最小的最優(yōu)控制輸入函數(shù).其中,λ(t)可由式λ(t)=P(t)x(t)求出.因此

由于R、B均為已知,所以求最優(yōu)控制u*(t)的問題就等效于求解矩陣P,由龐特李雅金極大值原理知,存在矩陣P滿足靜態(tài)黎卡提方程為

解方程求得P,從而得到最優(yōu)控制規(guī)律:

4 LQR控制系統(tǒng)設計與仿真

4.1 系統(tǒng)在未進行LQR控制之前的仿真

利用Matlab軟件進行仿真分析,求解起重機吊重在未進行LQR控制之前擺角的仿真曲線,如圖2所示.

圖2 未控制前吊重擺角響應曲線

從圖2可以看出小車在到達指定位置的過程中,由于小車與軌道間存在阻尼,吊重擺動角度隨著時間的推移而衰減,但是衰減速度較慢且衰減過程中其振蕩頻率高,不利于起重機的實際操作.

4.2 LQR控制系統(tǒng)分析與設計

從圖3～4可以看出,門式起重機運行小車的位移達到預設位置10m處花費的時間是11s,此時小車速度趨于穩(wěn)定.從圖5～6可以看出,吊重擺角達到穩(wěn)定位置花費的時間是12s,此時擺角接近于0,角速度趨于穩(wěn)定,說明該控制器能夠使控制方程的狀態(tài)變量在很短的時間內(nèi)達到期望值,即實現(xiàn)小車在到達預定位置的同時消除負載的擺動.

5 結 論

本文應用拉格朗日方程建立了門式起重機系統(tǒng)的數(shù)學模型,并推導出其運動微分方程及狀態(tài)空間方程,對采用控制器前和采用LQR最優(yōu)控制方法后起重機防擺問題進行了仿真研究,并在Matlab環(huán)境下進行了仿真.可以看出,LQR控制器能夠使狀態(tài)方程的狀態(tài)變量在要求時間內(nèi)達到零,即在運行小車達到既定位置時快速消除吊重的擺動,使吊重精確定位.在此基礎上可以進一步進行控制器硬件的設計,設計出控制系統(tǒng).這種方法也可以推廣運用到其它起重機的防擺控制系統(tǒng)設計上.

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