多邊形孔奇異性應(yīng)力干涉問題的研究

陳夢成，平學成，劉萬輝，謝 政

（華東交通大學1.土木建筑學院；2.機電工程學院，江西南昌 330013）

多邊形孔奇異性應(yīng)力干涉問題的研究

陳夢成1，平學成2，劉萬輝2，謝 政2

（華東交通大學1.土木建筑學院；2.機電工程學院，江西南昌 330013）

采用一種新型雜交元方法研究了多邊形孔相互干涉條件下的奇異性應(yīng)力場問題。首先運用多變量變分原理構(gòu)造一種超級切口尖端單元，其中，假定的應(yīng)力場和位移場變量是利用奇異性場數(shù)值特征解推導出來的。爾后將該超級切口尖端單元與傳統(tǒng)4節(jié)點雜交應(yīng)力元耦合在一起，即可建立起一種分析含任意多邊形孔彈性結(jié)構(gòu)分析的新型有限元模型。最后用該模型考察了雙菱形孔和雙正方形孔的奇異性應(yīng)力干涉問題。結(jié)果表明：本模型使用單元數(shù)少且精度高，與傳統(tǒng)有限元法和積分方程方法相比，該模型更具有通用性和高效性。

彈性體；雙多邊形孔；廣義應(yīng)力強度因子；雜交元法

復合材料中常存在不規(guī)則形狀夾雜和孔洞，準確計算夾雜和孔洞周邊應(yīng)力是復合材料力學中的一個重要問題。復合材料中微缺陷處的應(yīng)力集中或應(yīng)力奇異性場是建立復合材料強度理論的必要基礎(chǔ)。從斷裂力學的角度看，多邊形夾雜角尖奇異性應(yīng)力場強度與材料的物理屬性、幾何形式和夾雜間距等有關(guān)，因此，研究多邊形夾雜的奇異性應(yīng)力干涉問題并提出相應(yīng)的研究方法具有重要意義。

目前，人們對多邊形夾雜力學行為進行了一些研究。Kohno[1]利用保角映射技術(shù)將多邊形夾雜轉(zhuǎn)換為圓夾雜，并求解夾雜角尖附近應(yīng)力奇異性和應(yīng)力場強度。Ukadgaonker[2]研究了不規(guī)則形狀孔周邊的應(yīng)力分布，發(fā)現(xiàn)了孔角尖端部具有應(yīng)力奇異性，但并沒有求解廣義應(yīng)力強度因子。董春迎[3]計算了含多邊形夾雜復合材料的等效彈性模量。Noda[4-5]則采用體積力法專門研究了多邊形孔奇異性應(yīng)力干涉的問題。作者與其他學者[6-9]采用一種特殊雜交元法研究各向同性材料和壓電材料中多邊形夾雜奇異性應(yīng)力干涉的問題。

該文擬利用作者過去開發(fā)的計算夾雜角端部奇異應(yīng)力場的方法延伸到多邊形孔角端部奇異應(yīng)力場分析領(lǐng)域。首先運用多變量變分原理構(gòu)造一種超級切口尖端單元，爾后將該超級切口尖端單元與傳統(tǒng)4節(jié)點雜交應(yīng)力元耦合在一起，最終建立起一種分析任意多邊形孔角端部奇異應(yīng)力場的新型雜交有限元方法。用該方法考察雙菱形孔和雙正方形孔的奇異性應(yīng)力干涉問題，并討論孔形狀、孔間距和相對位置對多邊形孔角端部奇異應(yīng)力場的影響。

1 切口尖端單元的建立

如圖1（a）所示的含多邊形孔角部的二維區(qū)域的單元劃分，其單元類型可分為兩部分，即圖1（b）所示的切口尖端單元和圖1（c）所示的傳統(tǒng)4節(jié)點單元。這樣，新型雜交元模型的建立可從兩個子邊值問題的分析入手：1切口尖端單元區(qū)域Ωt，與傳統(tǒng)單元接壤的邊界為Γ1：2傳統(tǒng)4節(jié)點單元區(qū)域Ωc，其加載邊界為Γ2。根據(jù)Hellinger-Reissner變分原理[10]，我們可以在區(qū)域Ωt和Ωc分別定義如式（1）和式（2）所示的兩個變分泛函

式中：πt和πc分別表示區(qū)域Ωt和Ωc內(nèi)的Γ泛函；下標t和c是為了區(qū)分在區(qū)域Ωt和Ωc內(nèi)的應(yīng)力和位移矢量；D為聯(lián)系位移和應(yīng)變的微分算子；d和s分別為笛卡爾坐標系中的位移和應(yīng)力向量；帶“～”的向量表示在邊界上的定義；S為材料柔度矩陣；n為單位外法向量[nx，ny]T構(gòu)成的矩陣。

如果直接用泛函式（1）建立切口尖端單元，將不得不在區(qū)域Ωc內(nèi)進行面積分。為了避開奇異項在域內(nèi)積分時遇到的困難，可應(yīng)用散度定理，將式（1）中的域內(nèi)積分轉(zhuǎn)化為如下邊界積分

式中：d?t則需要滿足位移的邊界條件且還要滿足單元之間的位移的C0連續(xù)條件，可采用與該單元周圍的普通有限元單元的位移場相協(xié)調(diào)的插值函數(shù)，即

式中：L為一維Lagrange單元插值函數(shù)矩陣；qt為單元節(jié)點位移向量。在切口角部o點周圍，根據(jù)奇異性場特征解的定義，笛卡爾坐標系下的位移dt和應(yīng)力st可以表達為[9]

式中：T1和T2為極坐標和直角坐標之間的轉(zhuǎn)換矩陣；根據(jù)奇異性場特征解的定義，Un是包含r，λn和uˉn(θ)等參數(shù)或變量的 (2×1)階矩陣；Σn是包含r，λn和σˉn(θ)等參數(shù)或變量的 (3×1)階矩陣；（N+M）分別為截取的復特征值和實特征值的數(shù)量，這里規(guī)定前N項為復數(shù)項，后M項為實數(shù)項；βn為待定系數(shù)。

將式（4）～（6）代入式（3）得到

2 算例

式中：θ0為切口角部鄰域角平分線與x軸的夾角。算例中，假定為平面應(yīng)變問題，泊松比ν=0.3。

2.1 雙菱形孔水平分布

如圖2所示，考慮受遠場拉伸載荷σ∞

y的無限大體含有水平分布的雙菱形孔。菱形孔中心的間距為2d，菱形邊在x軸上的投影長為l，菱形左右兩角度為α。為了考察菱形孔切口角部o附近的奇異性應(yīng)力場，可采用1個切口尖端單元，在其他部分采用傳統(tǒng)4節(jié)點單元。由于對稱性，僅對右半部分進行網(wǎng)格劃分。切口尖端單元的尺寸用hx和hy，切口尖端單元的節(jié)點數(shù)可以根據(jù)需要而變化。從表1看出，與Noda[4]結(jié)果相比，當hx=hy=0.1l，0.2l和0.5l時，本文解均能精確到小數(shù)點后第2位，可以認為，hx=hy≤0.5l的情況下，切口尖端單元的尺寸對計算結(jié)果的影響不明顯。表2考察了l/d和α對廣義應(yīng)力強度因子的影響，Noda[4]的結(jié)果一并給出?？梢钥闯?，當前解與參考解吻合，誤差在2.87%以內(nèi)；隨著兩孔距離減少和孔角增大，應(yīng)力場干涉也增大。圖3中，l/d=0.67時菱形孔o點左延長線上的周向應(yīng)力σθθ（r/l，180°）的當前解與Ansys解做了對比。可以看出，當前解的相對誤差只有2.2%。值得一提的是，新型雜交元法只用了893個單元，而Ansys軟件則用了5 186個單元。

表1 切口尖端單元尺寸對廣義應(yīng)力強度因子結(jié)果的影響Tab.1 Influence of noteh tip element size on the generalized stress intensity factor

表2 水平分布雙菱形孔角端部o的廣義應(yīng)力強度因子Tab.2 Generalized stress intensity factor at corner tip o of double diamond hole in horizontal distribution

2.2 雙正方形孔水平分布

考慮如圖4所示的受遠場拉伸載荷的無限大體含有水平分布的雙正方形孔。正方形孔中心的間距為2d，邊長為2l。正方形孔切口角部o附近的奇異性應(yīng)力場，可采用1個7節(jié)點切口尖端單元，尺寸為hx=hy=0.2l，在其他部分采用傳統(tǒng)4節(jié)點單元。表3考察了孔間距和相互位置關(guān)系對正方形角部o廣義應(yīng)力強度因子的影響，括號內(nèi)數(shù)值為使用單元數(shù)。結(jié)果表明：本文解與 Ansys解吻合，和的相對誤差均低于2.1%；從括號中的單元數(shù)看出，當前方法能夠大幅度降低單元數(shù)；對水平方向和45°方向分布的雙正方形孔問題，隨著兩孔之間距離的減少，孔角o周邊應(yīng)力場干涉增大；但對垂直方向分布的雙正方形孔問題，隨著兩孔之間距離的減少，孔角o周邊應(yīng)力場干涉也減少；KI,λ1/σy∞l-λ1的最大干涉達到59.1%（出現(xiàn)于位置Ⅱ），而KII,λ2/σy∞l-λ2的最大干涉達到45.5%（出現(xiàn)于位置Ⅲ）。

表3 不同位置分布雙正方形孔問題的廣義應(yīng)力強度因子Tab.3 Generalized stress intensity factor of double square hole in different position distribution

3 結(jié)語

該文提出了一種求解多邊形孔角部奇異性場的新型雜交元模型。通過兩個數(shù)值算例分析，可以得到以下結(jié)論：

1）新型雜交元法計算結(jié)果精度高且使用單元數(shù)少。

2）隨著兩水平分布的雙菱形孔距離減少和孔角增大，孔角o周邊應(yīng)力場干涉也增大。

3）對水平方向和45°方向分布的雙正方形孔問題，隨著兩孔之間距離的減少，孔角o周邊應(yīng)力場干涉增大：但對垂直方向分布的雙正方形孔問題，隨著兩孔之間距離的減少，孔角o周邊應(yīng)力場干涉也減少。

5）新型雜交元法可以用于分析各向異性材料的細觀力學問題，其簡便性、準確性和高效性使其較傳統(tǒng)有限元法和積分方程方法更具有優(yōu)勢。

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On Interference of Singularity Stress of the Polygonal Holes

Chen Mengcheng1，Ping Xuecheng1，Liu Wanhui2，Xie zheng2
（1.School of Civil Engineering and Architecture；2.School of Mechanical and Electrical Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

A new hybrid finite element method is proposed to compute singular field near the hole corner of two interaction polygonal holes in an infinite elastic plate.Firstly，a super corner element is constructed to determine the strength of the singular field by using the varied principle of functional in which independently assumed stress and displacement variables are extracted from numerical eigensolusions.Then，the super corner tip element is conjunction with the conventional 4-node quadrilateral elements to establish a new FEM model.Finally，two numerical examples are given for an infinite plate containing interacting double diamond or square holes.The numerical results show that present method，which has its popularity and efficiency，gains satisfactory results with fewer elements and higher accuracies.

elasticity；double polygonal holes；generalized stress intensity factors；hybrid finite element method

O346.1

A

1005-0523（2011）03-0026-05

2011-04-19

國家自然科學基金項目（10662004，51065008）；江西省自然科學基金項目（2010GZW0013）

陳夢成（1962－），男，教授，博士，研究方向為重大工程材料和結(jié)構(gòu)耐久性與安全性基礎(chǔ)問題。