公路車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算方法對(duì)比研究

陳水生

（華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌 330013）

公路車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算方法對(duì)比研究

陳水生

（華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌 330013）

使用有限單元方法，分別建立了橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)計(jì)算模型和車(chē)輛的振動(dòng)計(jì)算模型，考慮車(chē)橋接觸點(diǎn)的位移連續(xù)，分別提出了考慮橋梁全自由度的車(chē)橋耦合振動(dòng)模型和使用橋梁振動(dòng)模態(tài)的模態(tài)綜合計(jì)算模型。將橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算轉(zhuǎn)化為求解模態(tài)廣義坐標(biāo)，并結(jié)合車(chē)輛振動(dòng)與橋面的耦合，建立結(jié)構(gòu)模態(tài)廣義坐標(biāo)和車(chē)輛振動(dòng)自由度耦合的系統(tǒng)方程，使用Newmark-β數(shù)值積分方法對(duì)時(shí)變耦合系統(tǒng)進(jìn)行求解。為了驗(yàn)算方法的有效性和可靠性，分別計(jì)算了平面梁在集中力作用下，空間板結(jié)構(gòu)在整車(chē)模型作用下的振動(dòng)響應(yīng)，研究結(jié)果表明，使用模態(tài)綜合法求解公路橋梁車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的結(jié)果可靠，并有很高的計(jì)算效率，該方法具有廣泛的適用性。

公路橋梁；車(chē)橋耦合；振動(dòng)響應(yīng)；對(duì)比研究

在移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)研究是經(jīng)典的力學(xué)問(wèn)題，尤其對(duì)于梁結(jié)構(gòu)的研究成果較多，但是大都集中在移動(dòng)集中力、簡(jiǎn)單移動(dòng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的研究，結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)位移大小與荷載的移動(dòng)速度和橋梁的固有振動(dòng)周期有關(guān)，最大動(dòng)位移可以達(dá)到靜態(tài)位移的1.743倍[1]。當(dāng)然實(shí)際的橋梁結(jié)構(gòu)只用簡(jiǎn)單的梁模型是不能真實(shí)模擬橋梁結(jié)構(gòu)的三維空間特性的，尤其當(dāng)車(chē)輛位于橋梁不同橫向位置通過(guò)橋梁時(shí)的振動(dòng)情況。近幾十年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的車(chē)輛振動(dòng)問(wèn)題做了大量的研究工作[2-5]，自上世紀(jì)50年代，美國(guó)國(guó)家公路委員會(huì)對(duì)大量橋梁進(jìn)行了振動(dòng)響應(yīng)測(cè)試工作[2]，并提出沖擊系數(shù)的大概范圍：結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)應(yīng)變沖擊系數(shù)為3%～25%，結(jié)構(gòu)的撓度沖擊系數(shù)為2%～42%，英國(guó)的某道路研究實(shí)驗(yàn)室也對(duì)30座橋梁進(jìn)行了測(cè)試，得到的沖擊系數(shù)在9%～75%之間[2]。而我國(guó)對(duì)移動(dòng)荷載作用下橋梁的振動(dòng)研究主要集中在鐵路橋梁[6]，對(duì)公路橋梁的研究則起步較晚，尤其對(duì)計(jì)算方法的系統(tǒng)研究較少。

目前在車(chē)橋耦合振動(dòng)分析中使用最廣泛的是有限單元方法，通常有兩種方法考慮車(chē)橋耦合振動(dòng)，他們都是分別將橋梁結(jié)構(gòu)和車(chē)輛建立有限元模型，然后考慮兩者在接觸點(diǎn)的耦合作用，把接觸點(diǎn)的相互作用力采用位移形函數(shù)分配到有限元模型的相關(guān)節(jié)點(diǎn)上，在建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，其中一種方法是直接建立全自由度的車(chē)橋耦合振動(dòng)方程進(jìn)行求解，這種方法稱(chēng)為全自由度耦合振動(dòng)法（full-size method）；而另一種方法是采用結(jié)構(gòu)模態(tài)正交特性，使用振型疊加技術(shù)，得到橋梁結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)方程，然后和車(chē)輛的振動(dòng)方程耦合，形成橋梁結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)和車(chē)輛自由度同時(shí)存在的模態(tài)綜合方程，這種方法稱(chēng)為模態(tài)綜合法（modal general method）。兩種方法都可以采用直接積分方法求解，而模態(tài)綜合法的計(jì)算簡(jiǎn)單，工作量大大減少，而對(duì)于振動(dòng)響應(yīng)主要由較少的低階模態(tài)組成的橋梁結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以得到足夠精度的計(jì)算結(jié)果。如何獲得有效的計(jì)算方法，科學(xué)的計(jì)算公路橋梁的車(chē)橋耦合振動(dòng)響應(yīng)，科學(xué)計(jì)算橋梁的車(chē)輛荷載沖擊系數(shù)，為橋梁設(shè)計(jì)提供可靠依據(jù)，仍然是我國(guó)科研工作者需要努力的基礎(chǔ)工作。

該文分別采用兩種方法建立耦合系統(tǒng)的振動(dòng)合方程，建立了車(chē)輛系統(tǒng)的統(tǒng)一計(jì)算模型，分別針對(duì)公路橋梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，對(duì)梁結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)計(jì)算了各種荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，并與其它計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，說(shuō)明模態(tài)綜合法的通用性和有效性。

1 橋梁模型

橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元模型可以表示如下

式中：φi為結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)各節(jié)點(diǎn)自由度值；ωi為結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)圓頻率；ξi為結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)阻尼比；qi()

t為第i階模態(tài)t時(shí)刻的廣義坐標(biāo)值；φ是由各階模態(tài)向量組成的模態(tài)矩陣，它是一個(gè)R×n的矩陣；R是結(jié)構(gòu)的總自由度個(gè)數(shù)；n為計(jì)算所取的模態(tài)階數(shù)。通常橋梁結(jié)構(gòu)可以采用梁?jiǎn)卧桶鍐卧?，?duì)于平面梁?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，空間梁?jiǎn)卧?個(gè)自由度，板單元也常取6個(gè)自由度。

2 車(chē)輛模型

公路重載汽車(chē)車(chē)輛形式多樣，目前三軸卡車(chē)在我國(guó)最為常見(jiàn)，三軸車(chē)輛總體分為整體式車(chē)廂和分體式車(chē)廂，它們的動(dòng)力計(jì)算模型如圖1所示，圖中的參數(shù)k表示對(duì)應(yīng)部分結(jié)構(gòu)的彈性剛度系數(shù)，c表示結(jié)構(gòu)的阻力系數(shù)，m表示對(duì)應(yīng)部分結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，其中分體車(chē)輛模型有12個(gè)獨(dú)立自由度，整體車(chē)廂模型有9個(gè)獨(dú)立自由度，該文分別建立了兩種車(chē)輛的空間有限元?jiǎng)恿τ?jì)算模型（計(jì)算以9自由度模型為例）。而兩軸車(chē)輛模型和車(chē)輛的平面計(jì)算模型均可以由空間三軸車(chē)輛模型簡(jiǎn)化得到。

由d'Alembert原理，可以得到車(chē)輛各獨(dú)立自由度的有限元振動(dòng)方程式中：Mv，Cv，Kv分別是車(chē)輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fg是車(chē)輛的重力荷載列陣；Fvbint是橋梁對(duì)車(chē)輛的作用力列陣；z是車(chē)輛振動(dòng)獨(dú)立自由度列陣，對(duì)于整體車(chē)廂模型

車(chē)橋之間的相互作用力分別施加在橋梁上和車(chē)輛上，它們的大小相等方向相反，但是它們分配到有限元模型節(jié)點(diǎn)自由度方向上的力是不同的（分別如方程（1）和方程（7）所示），之間的相互作用力可表示為（第i個(gè)車(chē)輪位置處）

式中：kti，cti分別為第i個(gè)車(chē)輪對(duì)應(yīng)的剛度和阻尼系數(shù)；Δi是第i個(gè)車(chē)輪與橋梁表面之間的相對(duì)位移；v是車(chē)輛的行駛速度；zi是車(chē)輪的豎向振動(dòng)位移；ri是第i個(gè)車(chē)輪位置處的橋梁表面不平順值；Nj是j節(jié)點(diǎn)單元位移形函數(shù)值；NN是第i個(gè)車(chē)輪接觸的單元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù);N?i是擴(kuò)充到結(jié)構(gòu)全體自由度的單元位移形函數(shù)。由（10）～（12）式可知，車(chē)橋之間的相互作用力可以表示為

其中nt是車(chē)輛輪胎個(gè)數(shù)。

各車(chē)輪受到的相互作用力為

3 耦合系統(tǒng)及求解

將式（14），（15）分別代入方程（1），（9），則可以建立車(chē)橋耦合的全自由度振動(dòng)模型，這個(gè)模型直接對(duì)有限元的節(jié)點(diǎn)各自由度進(jìn)行求解，但是當(dāng)橋梁振動(dòng)自由度較多時(shí)，則計(jì)算花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)；而將式（14），（15）式分別代入方程（4），（9），則可以建立車(chē)橋耦合的模態(tài)綜合振動(dòng)模型，模型中既包含有廣義模態(tài)坐標(biāo)又包含有車(chē)輛的振動(dòng)自由度。該文將采用兩種模型分別計(jì)算，限于篇幅，只建立模態(tài)綜合振動(dòng)模型。

方程（17）即為車(chē)橋相互作用的模態(tài)綜合振動(dòng)模型，方程的系數(shù)矩陣是時(shí)間的函數(shù)，它是一個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)，該文采用Newmark-β方法進(jìn)行數(shù)值積分，認(rèn)為在每個(gè)積分時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)是線性時(shí)不變系統(tǒng)。

4 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本算法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性，以下分別計(jì)算了簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)集中力作用和兩軸車(chē)輛平面振動(dòng)的響應(yīng)，以及板橋受兩軸空間模型車(chē)輛作用的耦合振動(dòng)響應(yīng)。

4.1 簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)受移動(dòng)荷載作用的振動(dòng)響應(yīng)

式中：T1是結(jié)構(gòu)的第一階固有振動(dòng)周期；τ是移動(dòng)荷載通過(guò)橋梁的時(shí)間；Rd是跨中振動(dòng)響應(yīng)最大值；Rs是跨中最大靜態(tài)位移；I稱(chēng)為荷載位移沖擊系數(shù)。

為了與其它研究結(jié)果對(duì)比，計(jì)算了圖2（a）所示簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)受移動(dòng)集中力作用，梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，不計(jì)結(jié)構(gòu)阻尼，集中力以各種ζ值通過(guò)時(shí)，簡(jiǎn)支梁跨中節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)沖擊系數(shù)，結(jié)果如圖3和表2所示。圖3示出了各種速度情況下，簡(jiǎn)支梁跨中振動(dòng)位移與靜態(tài)位移比值時(shí)程曲線，當(dāng)速度很小時(shí)（ζ=0.1），振動(dòng)響應(yīng)位移曲線與靜態(tài)位移很接近，當(dāng)移動(dòng)速度進(jìn)一步減小，則振動(dòng)響應(yīng)曲線將收斂到靜態(tài)位移曲線。表2列出了圖3結(jié)果的沖擊系數(shù)值，并列出了已有研究的相應(yīng)結(jié)果，其中文獻(xiàn)[1]的結(jié)果是僅考慮一級(jí)振動(dòng)模態(tài)的理論值（這對(duì)于跨中節(jié)點(diǎn)具有足夠高的精度，而當(dāng)ζ=2時(shí)，它是精確解），其中ansys結(jié)果是由商用軟件ansys 11.0計(jì)算得到，full-size結(jié)果是采用全自由度直接耦合方法計(jì)算得到，而modal method結(jié)果是采用模態(tài)綜合發(fā)計(jì)算得到。從表2可知，所有研究結(jié)果都表明，當(dāng)ζ=1.234時(shí)，也即當(dāng)力通過(guò)時(shí)間等于梁的一級(jí)固有振動(dòng)周期的0.810 4倍時(shí)，跨中豎向振動(dòng)位移取得最大值，模態(tài)綜合法計(jì)算得到的沖擊系數(shù)為1.734，與文獻(xiàn)[1]的比較表明，模態(tài)綜合法的計(jì)算效果良好，最大差別小于1%，與其他結(jié)果比較也是吻合很好，說(shuō)明了本計(jì)算方法的有效性。

表1 簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)參數(shù)和車(chē)輛參數(shù)Tab.1 Beam structure parameters and vehicle parameters

如圖2（b）所示簡(jiǎn)支梁受到兩軸車(chē)輛作用，梁結(jié)構(gòu)和車(chē)輛參數(shù)如表1所示，為了和已有研究結(jié)果比較，有關(guān)參數(shù)和文獻(xiàn)[1]相同，表1中的車(chē)輪質(zhì)量均為一小值，表示車(chē)輛退化為一個(gè)只有車(chē)廂豎向和旋轉(zhuǎn)振動(dòng)的兩自由度系統(tǒng)，為了分析結(jié)構(gòu)和車(chē)輛阻尼的影響，分為有阻尼（工況1）和無(wú)阻尼（工況2）兩種工況。圖4給出了工況1，車(chē)輛以不同速度通過(guò)時(shí)（無(wú)量綱參數(shù)ζ表示），梁的跨中節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)時(shí)程曲線，結(jié)果表明，當(dāng)ζ=2時(shí)，也就是車(chē)輛通過(guò)梁的時(shí)間是梁的一階振動(dòng)周期的一半時(shí)，跨中位移沖擊系數(shù)最大，約為1.7。與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果比較說(shuō)明，兩者的最大差值不超過(guò)1%，與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果也吻合較好，本文采用的兩種計(jì)算方法得到的結(jié)果也很接近。圖5給出了工況1和工況2的梁跨中位移沖擊系數(shù)與車(chē)輛行駛速度的關(guān)系，并和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，有阻尼的工況2比無(wú)阻尼的工況1得到的沖擊系數(shù)小，同時(shí)也說(shuō)明了本算法得到的結(jié)果和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果是很吻合的。

表2 移動(dòng)集中力作用，使用不同方法計(jì)算的跨中位移沖擊系數(shù)對(duì)比表Tab.2 Contrast table of displacement impact coefficient of the beam with mobile concentration force and different calculating ways

4.2 簡(jiǎn)支板結(jié)構(gòu)受移動(dòng)兩軸空間車(chē)模型作用振動(dòng)響應(yīng)

如圖6所示的簡(jiǎn)支板結(jié)構(gòu)受勻速移動(dòng)的三維兩軸車(chē)輛作用，為了比較計(jì)算結(jié)果，模擬中采用的結(jié)構(gòu)和車(chē)輛參數(shù)與文獻(xiàn)[4]一致，板的長(zhǎng)度L=80m，寬度W=8 m，厚 度h=0.8 m，彈 性 模 量E=3.0×1010N·m-2，ρ=3 500 kg·m-1，板的一階模態(tài)頻率為0.52 Hz，車(chē)輛參數(shù)如表3所示，表中各與圖1（b）相同，其中的第5、6號(hào)車(chē)輪質(zhì)量定義為一小值，對(duì)應(yīng)的剛度定義為一大值，則相應(yīng)的模型就兩軸車(chē)輛，車(chē)輛的一階模態(tài)頻率為2.31 Hz。使用4節(jié)點(diǎn)板單元模擬板結(jié)構(gòu)，沿板縱向劃分為10個(gè)單元，橫向劃分為4個(gè)單元，共40個(gè)單元，55個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，不考慮結(jié)構(gòu)阻尼，車(chē)輛沿板中線縱向行駛，模態(tài)綜合法計(jì)算中取前10階模態(tài)參與振動(dòng)，車(chē)輛以不同的均勻速度通過(guò)結(jié)構(gòu)，分別采用全自由度直接耦合方法（full-size）和模態(tài)綜合法（modal method）計(jì)算得到板中央點(diǎn)的振動(dòng)位移響應(yīng)，模態(tài)綜合法計(jì)算結(jié)果如圖7所示，表4列出了兩種計(jì)算方法得到的中點(diǎn)豎向振動(dòng)位移最大值，并與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。分析結(jié)果表明，模態(tài)方法得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果很接近，最大差別不超過(guò)1%，直接耦合和模態(tài)耦合方法的結(jié)果也吻合很好，理論上采用直接耦合方法是包括結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)，得到的結(jié)果更可靠。

表3 等效兩軸整車(chē)模型參數(shù)Tab.3 Parameters of equivalent two axis vehicle model

應(yīng)該指出，采用直接耦合方法需要求解的自由度個(gè)數(shù)是所有未知位移的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)，共計(jì)315個(gè)，加上車(chē)輛自由度共計(jì)322個(gè)未知量；而模態(tài)求解取前10階模態(tài)，有10個(gè)廣義坐標(biāo)未知量，加上車(chē)輛自由度共計(jì)只有17個(gè)未知量，由于系統(tǒng)的振動(dòng)方程是隨時(shí)間變化的，每個(gè)積分步均需重新計(jì)算系統(tǒng)特性矩陣的逆矩陣，本full-size方法計(jì)算時(shí)間約5 min，而modal general method方法計(jì)算時(shí)間約6 sec，顯然，采用模態(tài)綜合法是更加有效的，對(duì)于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)直接耦合法很不經(jīng)濟(jì)。

表4 簡(jiǎn)支板受兩軸整車(chē)作用，板中節(jié)點(diǎn)位移最大值Tab.4 Node displacement maximum of simply-supported board with two axis vehicle

5 結(jié)論

采用全自由度耦合和模態(tài)綜合兩種方法建立了公路車(chē)橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程，建立了車(chē)輛系統(tǒng)的統(tǒng)一計(jì)算模型，分別針對(duì)公路橋梁結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，對(duì)梁結(jié)構(gòu)和板結(jié)構(gòu)計(jì)算了各種荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，并與其它計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，研究結(jié)果表明，全自由度的耦合振動(dòng)方法，求解時(shí)間很長(zhǎng)，對(duì)長(zhǎng)跨橋梁幾乎是不現(xiàn)實(shí)的，而模態(tài)綜合法具有較好的通用性和準(zhǔn)確性，并且效率很高，可以求解長(zhǎng)跨和多車(chē)耦合振動(dòng)響應(yīng)的求解。

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Comparative Research on the Calculating Methods for Coupling Highway Vehicle-bridge System

Chen Shuisheng
（School of the Civil Enginneering andArchitecture，East China Jiaotng University，Nanchang 330013，China）

According to the displacement continuum condition of the vehicle-bridge contacting point，the calculating models for bridges structure vibration and the vehicle structure vibration are established，by using the finite element method.Both of the full size method and modal general method are provided for coupling vehicle and bridge vibration.Based on the coupling the vehicle and the bridges surface，the vibration system in which the calculating of the bridge structure vibration responses is transformed into the elevating of the generalized coordinate is obtained.And theNewmark-βdirect integration strategy is adopted to solve the coupling system.In order to check the accurateness and effectiveness，some numerical examples are performed and the results are well satisfied with other method.The research results demonstrate that the modal general method is effective and accurate.

highway bridges；coupling vehicle-bridge；vibration response；comparative research

U213

A

1005-0523（2011）03-0018-08

2011-04-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50868007）

陳水生（1968－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)橥聊竟こ探Y(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制。