軌道動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法研究進(jìn)展

雷曉燕

（華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌 330013）

軌道動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法研究進(jìn)展

雷曉燕

（華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西南昌 330013）

隨著列車速度的提高和軸重的增加，車輛與軌道之間的相互作用更加激烈。深入開展輪軌動(dòng)態(tài)作用機(jī)理研究，對(duì)高速重載鐵路安全平穩(wěn)運(yùn)行具有重要意義。文章回顧了軌道動(dòng)力學(xué)模型的研究進(jìn)展，重點(diǎn)介紹了五種軌道動(dòng)力學(xué)模型及算法，即車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)交叉迭代算法，新型車輛單元和軌道單元模型，列車軌道系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的移動(dòng)單元法，移動(dòng)荷載作用下軌道動(dòng)力學(xué)分析的多層梁模型，及軌道－路基－大地系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的有限元與邊界元耦合法，并討論了各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這些模型和算法是研究軌道動(dòng)力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)和工具。為了提高計(jì)算精度和計(jì)算效率，根據(jù)分析問題的特點(diǎn)可以選擇不同的模型和算法。

軌道動(dòng)力學(xué)；交叉迭代法；車輛單元；軌道單元；移動(dòng)單元法；有限元與邊界元耦合法

隨著列車速度的提高，軸重的增加，行車密度的加密以及新型車輛和新型軌道結(jié)構(gòu)的大量工程應(yīng)用，使車輛與軌道間的相互作用更加復(fù)雜，動(dòng)應(yīng)力增大，影響列車運(yùn)行的安全與穩(wěn)定。列車作用在軌道上的動(dòng)荷載可分為三類：移動(dòng)的軸荷載、固定作用點(diǎn)的動(dòng)荷載、移動(dòng)的動(dòng)荷載。軸荷載的作用與車輛動(dòng)力學(xué)無關(guān)，其大小不變，但由于其作用點(diǎn)是移動(dòng)的，故對(duì)軌道－路基－大地系統(tǒng)的作用為動(dòng)荷載作用。當(dāng)移動(dòng)軸荷載的速度接近軌道的臨界速度時(shí)，軌道將產(chǎn)生劇烈振動(dòng)。固定作用點(diǎn)的動(dòng)荷載來自車輛通過固定不平順（如鋼軌接頭、無縫鋼軌焊縫及道岔岔心）引起的撞擊。移動(dòng)動(dòng)荷載則由輪軌接觸表面的不平順而產(chǎn)生。進(jìn)行列車－軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析是研究復(fù)雜輪軌關(guān)系和相互作用機(jī)制的基礎(chǔ)，也是指導(dǎo)和優(yōu)化車輛、軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必不可少的內(nèi)容。

1 軌道動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法研究回顧

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在該領(lǐng)域做了許多工作，并取得了一定的研究成果。軌道動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法的研究經(jīng)歷了一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的發(fā)展過程，從歷史上看，移動(dòng)載荷/車輛結(jié)構(gòu)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)尤其是列車軌道系統(tǒng)中最早的實(shí)際問題之一。Knothe和Grassie等[1-3]系統(tǒng)地介紹了頻域內(nèi)軌道動(dòng)力學(xué)和車輛－軌道相互作用的研究進(jìn)展。Mathews[4-5]采用傅里葉變換的方法（FTM）和移動(dòng)的坐標(biāo)系統(tǒng)，解決了任意移動(dòng)荷載作用在彈性基礎(chǔ)無限長(zhǎng)梁上的動(dòng)力問題。傅里葉變換方法屬于頻域分析法。運(yùn)用傅里葉變換的方法Trochanis[6]，Ono和Yamada[7]也做了一些類似的研究工作。Jezequel[8]將軌道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)上無限長(zhǎng)的歐拉－伯努利梁，考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)和橫向剪切效應(yīng)，列車荷載為勻速運(yùn)動(dòng)的集中力。Timoshenko[9]通過模態(tài)疊加，在時(shí)域內(nèi)解決了移動(dòng)荷載作用于簡(jiǎn)支梁上的控制微分方程的求解。Warburton[10]用解析的方法分析了相同的問題，并且發(fā)現(xiàn)了移動(dòng)荷載在特定的速度下梁的撓曲量將達(dá)到最大。Cai等[11]運(yùn)用模態(tài)疊加法研究了移動(dòng)荷載作用于周期滾動(dòng)支座上無限長(zhǎng)梁的動(dòng)力響應(yīng)問題。

以上工作都是將軌道梁視為連續(xù)體，并且用解析法求解控制微分方程。這些方法雖然簡(jiǎn)單，但不適合考慮整車多自由度的車輛軌道系統(tǒng)，因而在車輛軌道動(dòng)力學(xué)中的作用是有限的。近年來，有限元法在實(shí)際工程中的應(yīng)用越來越廣泛。有限元法是通過將軌道離散為有限個(gè)單元、假設(shè)位移函數(shù)得到單元矩陣，從而形成有限元求解方程。Filho[12]綜述了用有限元法求解移動(dòng)荷載作用于均質(zhì)梁上的動(dòng)力分析方法。有限元法是一種流行的解決車輛軌道動(dòng)力學(xué)問題的方法。Olsson[13]采用有限元法，考慮了不同的車輛模型，不同的振動(dòng)模態(tài)和表面不平順的影響，用板柱單元模擬橋梁振動(dòng)的問題。Fryba等[14]提出了適合勻速移動(dòng)荷載作用于彈性基礎(chǔ)梁的隨機(jī)有限元分析法。Thambiratnam和Zhuge[15-16]建立了任意長(zhǎng)度的彈性基礎(chǔ)簡(jiǎn)支梁分析的有限元模型。Nielsen和Igeland[17]建立了包含轉(zhuǎn)向架、鋼軌、軌枕和路基為一體的有限元模型，運(yùn)用復(fù)模態(tài)疊加技術(shù)分析了軌道磨耗、車輪扁平和軌枕懸空等因素的影響。Zheng和Fan[18]研究了列車－軌道系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。Koh等[19]提出了新型移動(dòng)單元法，這種單元是建立在一個(gè)隨列車一起運(yùn)動(dòng)的相對(duì)坐標(biāo)系上，而普通的有限元法是建立在固定的坐標(biāo)系中。Auersch[20]在三維空間建立了用有限元和邊界元聯(lián)合求解法分析有砟、無砟墊的軌道結(jié)構(gòu)模型，并對(duì)道砟墊的剛度、車輛簧下質(zhì)量、軌道質(zhì)量和路基剛度等進(jìn)行了參數(shù)分析。Clouteau等[21]基于有限元－邊界元耦合法提出了分析地鐵振動(dòng)的有效算法，該算法的核心是運(yùn)用Floque變化以考慮沿隧道方向軌道的周期性。Andersen和Jones[22-23]運(yùn)用耦合的有限元－邊界元法研究并比較了二維與三維模型的差異，他們工作的一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)就是二維模型適合于定性分析，且能快速得到分析結(jié)果。Thomas[24]建立了多剛體車輛－軌道模型研究側(cè)風(fēng)對(duì)高速列車在曲線地段蛇形運(yùn)動(dòng)的作用，分析了側(cè)風(fēng)強(qiáng)度、車輛參數(shù)對(duì)列車動(dòng)力響應(yīng)的影響。Ganesh Babu等[25]運(yùn)用有限元法，考慮路基、道砟和鋼軌墊板等參數(shù)的變化，對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土軌枕和木枕軌道結(jié)構(gòu)的軌道模量進(jìn)行了分析。Cai[26]將大地處理成多孔彈性半無限域介質(zhì)，基于Biot多孔彈性動(dòng)力學(xué)理論，研究了列車通過時(shí)輪軌相互作用對(duì)大地環(huán)境振動(dòng)的影響。

自上世紀(jì)90年代初起，國(guó)內(nèi)眾多鐵路科研人員陸續(xù)開展了車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的理論與應(yīng)用研究。翟碗明[27-28]就車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)原理開展研究[27]。2002年翟碗明發(fā)表了一篇《車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)研究的新進(jìn)展》一文[29]，回顧了車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)的研究歷史，并對(duì)國(guó)內(nèi)外研究進(jìn)展作了概要介紹。雷曉燕[30-32]帶領(lǐng)的課題組也較早地開展了軌道動(dòng)力學(xué)模型與數(shù)值方法研究，于1998年出版了《軌道結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法》專著，系統(tǒng)介紹了單輪附有簧上質(zhì)量軌道模型，半車和整車附有二系彈簧質(zhì)量軌道模型，及求解軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的數(shù)值方法[33]。國(guó)內(nèi)在本研究領(lǐng)域的研究工作還有：徐志勝等[34-35]運(yùn)用車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，編制了基于Timoshenko梁鋼軌模型的車輛－軌道耦合振動(dòng)分析軟件，分析了車輛－軌道系統(tǒng)的垂向振動(dòng)特性，并與基于Euler梁模型的軟件的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明：兩者的仿真結(jié)果基本一致，但在較高頻域，兩種分析方法得到的固有頻率差異較大，Timoshenko梁模型能更好地反映輪軌系統(tǒng)的高頻特性。謝偉平、鎮(zhèn)斌[36]運(yùn)用傅里葉變換和留數(shù)理論得到了變速移動(dòng)荷載下無限長(zhǎng)Winkler梁穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)的解析表達(dá)式，與Kenney的經(jīng)典解求解過程相比，文中給出的求解過程具有更加明確的物理意義。羅雁云等[37]通過建立無縫線路有限元?jiǎng)恿Ψ治瞿Ｐ?，研究了鋼軌自振頻率和溫度力之間的關(guān)系。該動(dòng)力模型包括鋼軌、扣件和軌枕，考慮了鋼軌斷面特性、鋼軌磨耗、軌下剛度以及扣件的彈性剛度和扭轉(zhuǎn)剛度等因素對(duì)動(dòng)力模型計(jì)算的影響，計(jì)算結(jié)果表明該模型可以更準(zhǔn)確地分析無縫線路軌道結(jié)構(gòu)中鋼軌縱向力與振動(dòng)特性的內(nèi)在聯(lián)系。魏慶朝等[38]建立了直線電機(jī)地鐵系統(tǒng)橫、垂向車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)仿真模型，計(jì)算了不同的軌道結(jié)構(gòu)形式（長(zhǎng)枕埋入式與板式）和不同板下支承剛度和阻尼情形下，直線電機(jī)車輛與軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，并進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明：長(zhǎng)枕埋入式軌道結(jié)構(gòu)的車體垂向加速度略大于板式軌道，而板式軌道的鋼軌橫向加速度以及鋼軌垂向位移則要略大于長(zhǎng)枕埋入式，板下阻尼值的增大有利于軌道板減振，板下剛度對(duì)輪軌力、鋼軌位移和電機(jī)氣隙影響較小，當(dāng)板下剛度增加時(shí)，軌道板的位移值變小但軌道板的加速度值變大。高亮等[39]根據(jù)道岔、橋梁結(jié)構(gòu)和布置形式，建立了橋上無縫道岔空間耦合模型，從溫度荷載、豎向荷載、鋼軌橫向變形等方面對(duì)空間力學(xué)特性進(jìn)行了分析。馮青松等[40]采用傅里葉變換和傳遞矩陣的方法推導(dǎo)了有砟軌道－路基－地基系統(tǒng)在輪軌接觸點(diǎn)處的柔度矩陣，建立了考慮軌道不平順的車輛－有砟軌道－路基－層狀地基垂向耦合振動(dòng)解析模型，分析了單臺(tái)TGV高速動(dòng)車引起路堤本體－地基系統(tǒng)的振動(dòng)，研究了列車速度、軌道不平順、基床剛度和路堤土體剛度對(duì)路堤本體振動(dòng)的影響。研究結(jié)果表明：路堤本體垂向位移主要由移動(dòng)的列車軸荷載引起；隨著列車速度的提高，路堤振動(dòng)的“波動(dòng)性”明顯增加；基床剛度和路堤土體剛度對(duì)路堤振動(dòng)影響顯著。邊學(xué)成、陳云敏[41-42]采用動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法研究了移動(dòng)荷載作用下軌道與層狀大地的耦合振動(dòng)，模型中考慮了軌枕的離散支承影響，后來又采用分層傳遞矩陣方法研究了大地振動(dòng)問題[43]。謝偉平[44-45]、聶志紅[46]、雷曉燕[47-50]、和振興[51]、李志毅[52]等也都采用解析的波數(shù)－頻域法建立了軌道結(jié)構(gòu)單層或多層梁模型，分析了高速列車引起的軌道和大地振動(dòng)。研究表明：列車速度越高，軌道和大地的振動(dòng)響應(yīng)越大；當(dāng)列車速度低于、接近和高于大地中表面波波速時(shí)，大地振動(dòng)呈現(xiàn)出不同的特性；當(dāng)列車速度達(dá)到某種臨界速度時(shí)，將引起軌道和大地的強(qiáng)烈振動(dòng)，當(dāng)高速列車通過軟土地基線路時(shí)可能發(fā)生這種強(qiáng)振動(dòng)現(xiàn)象。臺(tái)灣大學(xué)的吳演聲、楊永斌[53]提出半解析模型分析高架鐵路移動(dòng)荷載引起的大地振動(dòng)，由移動(dòng)軸荷載作用下的彈性支承梁模型求得列車引起的橋墩頂支反力，通過集總參數(shù)模型求出橋墩基礎(chǔ)與周圍土層間的相互作用力；由此作用力求出彈性半空間大地的振動(dòng)水平。北京交通大學(xué)夏禾、曹艷梅等[54]利用解析的波數(shù)－頻域法建立了列車－軌道－大地耦合模型，將軌道－大地系統(tǒng)考慮為三維層狀大地上周期性支撐的歐拉梁模型，也分析了移動(dòng)列車軸荷載和軌道不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌力作用下大地的振動(dòng)響應(yīng)。

劉學(xué)毅等[55]認(rèn)為，許多情況下輪軌振動(dòng)表現(xiàn)為耦合性較強(qiáng)的空間振動(dòng)，因而有必要發(fā)展輪軌系統(tǒng)空間耦合振動(dòng)模型。李德建和曾慶元[56]采用車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)的方法，建立了車輛－直線軌道空間耦合振動(dòng)分析模型，其特點(diǎn)在于將軌道離散成30個(gè)自由度的空間軌道單元段，并采用構(gòu)架人工蛇行波作為激振源。梁波[57]和蘇謙[58]詳細(xì)考慮了路基結(jié)構(gòu)的參振作用，開展了車輛－軌道－路基垂向耦合動(dòng)力學(xué)研究。王其昌[59]、羅強(qiáng)[60-61]運(yùn)用文獻(xiàn)[27-28]的車輛－軌道垂向統(tǒng)一模型，分別研究了高速、提速或快速鐵路列車通過路基－橋梁過渡段時(shí)的動(dòng)力學(xué)問題，為高速鐵路路橋過渡段的路基加固、變形控制及過渡段合理長(zhǎng)度的確定等提供了理論依據(jù)。王平[62]和任尊松[63]采用車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論分別開展了車輛與道岔相互作用研究，并應(yīng)用于我國(guó)提速道岔動(dòng)力分析，對(duì)我國(guó)鐵路提速中道岔的改進(jìn)設(shè)計(jì)具有重要意義。

列車對(duì)軌道的動(dòng)力作用是一個(gè)隨機(jī)過程，對(duì)車輛－軌道系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析能夠更全面地了解輪軌作用機(jī)制。研究車輛－軌道耦合隨機(jī)振動(dòng)一般采用兩種激勵(lì)模型：定點(diǎn)激勵(lì)模型和動(dòng)點(diǎn)激勵(lì)模型。定點(diǎn)激勵(lì)模型是假設(shè)車輛與軌道固定不動(dòng)，軌道不平順激勵(lì)以一定速度向后運(yùn)動(dòng)。動(dòng)點(diǎn)激勵(lì)模型假設(shè)車輛以一定的速度在軌道上運(yùn)行，其做法是首先根據(jù)軌道不平順功率譜反演出一條軌道不平順樣本，然后利用數(shù)值積分方法求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，最后對(duì)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換，得到系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜。陳果[64]、雷曉燕[65-66]等曾采用動(dòng)點(diǎn)激勵(lì)模型求解車輛－軌道耦合系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。這種方法可考慮輪軌接觸力的非線性，但由于存在積分環(huán)節(jié)，計(jì)算量較大，另外利用軌道譜反演的軌道不平順的時(shí)域樣本以及通過時(shí)域分析結(jié)果進(jìn)行響應(yīng)的功率譜估計(jì)可能會(huì)導(dǎo)致一定的分析誤差。Lu等[67]建立了車輛－軌道隨機(jī)振動(dòng)分析模型，提出了用虛擬激勵(lì)法和對(duì)偶算法求解的方法，車輛考慮豎向振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，共有10個(gè)自由度，軌道被模擬成包含鋼軌、軌枕和道砟無限長(zhǎng)的成周期變化的歐拉梁。假設(shè)車輛不動(dòng)，對(duì)軌道施加一激勵(lì)，考慮軌道表面有一運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)不平順譜，該隨機(jī)不平順譜是以列車速度向反方向運(yùn)動(dòng)的。

2 車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)交叉迭代算法

建立車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)分析模型如圖1所示，將整個(gè)耦合系統(tǒng)分為上部車輛系統(tǒng)和下部軌道系統(tǒng)兩個(gè)子結(jié)構(gòu)[68-69]。在車輛系統(tǒng)模型中，考慮車體和轉(zhuǎn)向架的沉浮振動(dòng)和點(diǎn)頭振動(dòng)，整車模型有10個(gè)自由度，用矩陣形式表示，上部車輛系統(tǒng)振動(dòng)方程為式中：Mu為車輛的質(zhì)量矩陣；Cu為車輛的阻尼矩陣；Ku為車輛的剛度矩陣；Qu為車輛的等效荷載向量；au，a˙u和a¨u分別表示車輛的位移、速度和加速度向量。

下部軌道結(jié)構(gòu)包括鋼軌、彈性扣件、軌枕、道咋和路基，如圖2所示，其中，ui，vi（i=1，2，3，…，6）分別表示軌道單元第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向位移；θi（i=1，2，3，…，6）表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角；ky1，ky2，ky3和cy1，cy2，cy3分別表示有砟軌道扣件、道砟和路基的剛度及阻尼；ksy1，ksy2，ksy3和csy1，csy2，csy3分別表示無砟軌道扣件、CA砂漿和防水層的剛度及阻尼。鋼軌被離散為梁?jiǎn)卧?，軌枕和道咋的質(zhì)量作為集中質(zhì)量處理并僅考慮豎向振動(dòng)效應(yīng)，扣件和墊層、道咋及路基的彈性及阻尼分別用彈簧和阻尼器表示。軌道結(jié)構(gòu)的有限元方程為

式中：Ml，Cl，Kl，Ql分別是下部軌道結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)荷載向量；al，a˙l和a¨l分別表示軌道結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度向量。

車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可運(yùn)用迭代法對(duì)兩系統(tǒng)分別交叉迭代獨(dú)立求解，兩系統(tǒng)間通過位移相容和相互作用力的平衡條件聯(lián)系。有限元?jiǎng)恿Ψ匠痰那蠼獠捎肗ewmark直接積分法，其主要步驟如下[68-69]。

初始計(jì)算，在起始第一時(shí)間步和首次迭代時(shí)，假設(shè)輪軌接觸力初始值，根據(jù)非線性赫茲公式計(jì)算輪軌間相對(duì)位移。

對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)循環(huán)：

1）在每一時(shí)間迭代步內(nèi)交叉對(duì)下部結(jié)構(gòu)和上部結(jié)構(gòu)求解動(dòng)力方程，即可得到該時(shí)刻結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。

2）根據(jù)得到的車輛、軌道動(dòng)力響應(yīng)，按非線性輪軌接觸力公式（3）計(jì)算輪軌相互作用力

式中：vwi，vxi分別為車輪和鋼軌在xi點(diǎn)的位移；ηi為鋼軌表面的不平順；G為輪軌接觸撓度系數(shù)。

3 車輛單元和軌道單元模型

雷曉燕、張斌[70-72]根據(jù)列車－軌道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，提出了適合該問題動(dòng)力分析的新型車輛單元和軌道單元，運(yùn)用有限元方法和Lagrange方程，推導(dǎo)了兩種單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。運(yùn)用車輛單元和軌道單元模型，進(jìn)行了軌道過渡段動(dòng)力特性有限元分析，對(duì)軌道剛度突變、剛度階梯變化、剛度線性變化和剛度余弦變化四種工況進(jìn)行了參數(shù)分析，得到剛度呈余弦變化的過渡方式引起車輛和軌道的動(dòng)力響應(yīng)最小。圖3為車輛單元模型[70]，在整車模型中，車體和轉(zhuǎn)向架考慮沉浮振動(dòng)和點(diǎn)頭振動(dòng)，車輪考慮沉浮振動(dòng)。該模型共有26個(gè)自由度，與傳統(tǒng)車輛模型不同之處在于每個(gè)車輪下面附有一跨鋼軌，鋼軌的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮豎向位移和轉(zhuǎn)角。附加的鋼軌僅用于車輛與軌道之間的耦合，不計(jì)其質(zhì)量和剛度。針對(duì)這種新型的車輛單元，建立了將運(yùn)動(dòng)的車輛與軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行耦合的顯示算法，從而避免了復(fù)雜的程序編制工作。

式中：v（ii=1，2，3，…，8）分別表示鋼軌第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向位移；θ（ii=1，2，3，…，8）表示鋼軌第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角；v9，θ9分別表示車體沉浮振動(dòng)的豎向位移、車體點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移；vi，θ（ii=10，11）為前、后轉(zhuǎn)向架沉浮振動(dòng)的豎向位移、點(diǎn)頭振動(dòng)的角位移；v（ii=12，13，14，15）為第i個(gè)車輪的豎向位移；vc（ii=1，2，3，4）為第i個(gè)輪軌接觸處鋼軌的豎向位移。通過列出車輛單元的彈性勢(shì)能、動(dòng)能和耗散能可推導(dǎo)出車輛單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。新型車輛單元的有限元方程在形式上同式（1）。軌道單元見圖2，其中圖2（a）和圖2（b）分別為有砟軌道單元和板式無砟軌道單元。

運(yùn)用新型車輛單元進(jìn)行仿真分析時(shí)，整個(gè)列車－軌道系統(tǒng)只需離散成車輛單元和軌道單元，軌道系統(tǒng)離散成軌道單元，一節(jié)車輛為一個(gè)車輛單元，計(jì)算時(shí)只需形成一次軌道系統(tǒng)的總剛度矩陣、總質(zhì)量矩陣和總阻尼矩陣，以后在每一時(shí)步的計(jì)算中，只需組集車輛單元的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣，因而極大地提高了計(jì)算效率。由于控制方程的建立是基于能量原理，所得到的剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣都是對(duì)稱的，又由于整個(gè)列車－軌道系統(tǒng)只包含車輛和軌道兩種單元，使得程序編制特別容易。該方法具有程序編制容易，計(jì)算精度高，尤其適合分析整趟列車通過時(shí)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的特點(diǎn)。

4 列車軌道系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的移動(dòng)單元法

Koh C.G.[19]提出了一種新的有限單元，這種新型單元是建立在一個(gè)隨列車一起運(yùn)動(dòng)的相對(duì)坐標(biāo)系上，而普通的有限元法是建立在固定的坐標(biāo)系中。這種新型單元被稱為移動(dòng)單元。這種單元不是依附于材料的物理單元，而是一種隨著移動(dòng)列車運(yùn)動(dòng)的概念單元。其主要優(yōu)點(diǎn)是不同于普通有限單元法，這種單元由于隨列車一起運(yùn)動(dòng)車輛永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)邊界；其次，移動(dòng)車輛不需從一個(gè)單元過渡到另一個(gè)單元，從而避免了因單元上接觸點(diǎn)變化引起力和位移向量的更新；第三，允許不同長(zhǎng)度的單元以解決多重接觸點(diǎn)（車輪）間不同距離的問題。

圖4為車輛軌道模型，車輛簡(jiǎn)化為移動(dòng)的軸荷載，假設(shè)以勻速V在x方向行駛。鋼軌模擬為無限長(zhǎng)的歐拉-伯努利梁，鋼軌豎向撓度為w，彈性模量為E，截面慣性矩為I，單位長(zhǎng)度軌道質(zhì)量為mr。軌道基礎(chǔ)單位長(zhǎng)度剛度和阻尼分別為ks和cr，ai為初始時(shí)刻第i個(gè)車輪距原點(diǎn)的距離。

軌道梁的控制方程為

式中：w表示鋼軌位移；F表示列車的軸荷載；δ表示狄拉克函數(shù)。為方便起見，原點(diǎn)選擇在當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)x=0的接觸點(diǎn)處。

圖5為用移動(dòng)單元離散化的軌道梁模型。軌道梁的左右邊界都離列車作用點(diǎn)足夠的遠(yuǎn)，從而使得模型邊界條件的影響足夠的小。考慮一個(gè)長(zhǎng)度為l，包含節(jié)點(diǎn)I和J的典型移動(dòng)單元，定義移動(dòng)坐標(biāo)如下

式中：xI是節(jié)點(diǎn)I固定的坐標(biāo)。相應(yīng)的，r坐標(biāo)的原點(diǎn)隨移動(dòng)列車荷載運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，這個(gè)移動(dòng)單元的控制方程為

注意到多數(shù)單元沒有和車輛系統(tǒng)接觸，對(duì)于這些單元，式（7）右邊的力是0。式（7）乘以加權(quán)函數(shù)w并對(duì)單元長(zhǎng)度積分，可得到控制方程的弱形式如下

式中：w1，w2和θ1，θ2分別表示單元節(jié)點(diǎn)I，J的位移和轉(zhuǎn)角。

單元中任一點(diǎn)的位移可用鋼軌兩端的位移通過插值表示

式中：N為位移形函數(shù)；ae為單元節(jié)點(diǎn)位移向量。

采用Galerkin方法，取加權(quán)函數(shù)w為插值函數(shù)N，并對(duì)單元長(zhǎng)度積分，可得到單元質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣如下

式中：符號(hào)（），r表示對(duì)r的偏導(dǎo)數(shù)。

由單元質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣可以集合得到車輛－軌道系統(tǒng)的總質(zhì)量、總阻尼和總剛度矩陣，用普通有限元方法即可求得解答。上述方法也適用更復(fù)雜的軌道結(jié)構(gòu)模型。

5 移動(dòng)荷載作用下軌道動(dòng)力學(xué)分析的多層梁模型

根據(jù)軌道結(jié)構(gòu)的類型和研究目的可將軌道簡(jiǎn)化成多層梁模型，如圖6所示，圖中，w，z，y和g分別為鋼軌、軌枕、道床和瀝青墊層的撓度；mr，mt，mb和ms分別為單位長(zhǎng)度的鋼軌質(zhì)量、軌枕質(zhì)量、道床質(zhì)量和瀝青墊層的質(zhì)量；kp，kb，ks和kg分別為單位長(zhǎng)度軌下墊板和扣件的剛度、道床剛度、瀝青剛度和路基剛度；cr，cb，cs和cg分別為單位長(zhǎng)度軌下墊板和扣件的阻尼、道床阻尼、瀝青阻尼和路基阻尼。圖6（a）為雙層梁模型[59]，可用于模擬隧道或橋梁上的無砟軌道結(jié)構(gòu)，圖6（b）為三層梁模型[73-74]，適用于有砟軌道，圖6（c）為四層梁模型[75]，可用于分析特殊軌道結(jié)構(gòu)，如瀝青基礎(chǔ)有砟軌道。同樣，將列車簡(jiǎn)化為一列以速度V運(yùn)動(dòng)的軸荷載。除此，還考慮軌道表面的隨機(jī)不平順。該方法具有計(jì)算效率高，尤其適合分析單節(jié)和多節(jié)組合車輛通過時(shí)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[69，73]運(yùn)用該方法研究了高速列車誘發(fā)地面波與軌道強(qiáng)振動(dòng)機(jī)理，分析了高速軌道交通無砟軌道、客貨混運(yùn)鐵路專線及瀝青軌道基礎(chǔ)的振動(dòng)響應(yīng)特性和軌道臨界速度。

針對(duì)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的雙層梁、三層梁和四層梁模型，列出移動(dòng)荷載作用下軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，運(yùn)用傅里葉變換法，對(duì)振動(dòng)微分方程進(jìn)行傅里葉變換，求解傅氏變換域中的軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程，得到鋼軌、軌枕、道砟和路基位移，再運(yùn)用快速離散傅里葉逆變換算法，即可求得時(shí)域中的鋼軌、軌枕、道砟和路基的動(dòng)力響應(yīng)。例如，對(duì)軌道結(jié)構(gòu)三層梁模型，振動(dòng)微分方程為

（a）雙層梁模型

（b）三層梁模型

式中：δ為Dirac函數(shù)；V為列車運(yùn)行速度；Fl為第l個(gè)軸荷載；mw為輪對(duì)質(zhì)量；al為t=0時(shí)第l個(gè)車輪距原點(diǎn)的距離；M為輪對(duì)總數(shù)；η(x=Vt)為軌道隨機(jī)不平順值。

車輛－軌道耦合系統(tǒng)的振源考慮了運(yùn)動(dòng)的列車軸荷載的影響和由于軌道幾何隨機(jī)不平順η引起的附加動(dòng)荷載，后者也是影響軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要激振源。根據(jù)實(shí)測(cè)得到的軌道幾何隨機(jī)不平順功率譜密度函數(shù)，采用如下三角級(jí)數(shù)法

式中：Nk為級(jí)數(shù)求和項(xiàng)數(shù)；ηk是平均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σk的高斯隨機(jī)變量，對(duì)于k=1,2,…,Nk來說，是互相獨(dú)立的，φk是與ηk獨(dú)立的，0～2π范圍內(nèi)的同一隨機(jī)變量，φk本身對(duì)于k=1,2,…,Nk來說也是互相獨(dú)立的；ωk為空間頻率。模擬獲得軌道幾何隨機(jī)不平順樣本，將軌道不平順值η代入振動(dòng)微分方程（15）和輪軌接觸力計(jì)算公式即可求得軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)和輪軌接觸力[75]。

6 軌道－路基－大地系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的有限元與邊界元耦合法

上述介紹的模型對(duì)路基和大地的處理做了較大的簡(jiǎn)化，通常簡(jiǎn)化成彈簧和阻尼器，這與實(shí)際情況是有差異的。如需要詳細(xì)分析軌道－路基－大地系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，細(xì)化大地結(jié)構(gòu)是必須的。本節(jié)介紹用有限元與邊界元耦合法分析軌道－路基－大地系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的有效算法。將軌道－路基－大地系統(tǒng)分成軌道－路基子系統(tǒng)和大地子系統(tǒng)，如圖7所示，其中軌道－路基子系統(tǒng)用有限元法求解，大地子系統(tǒng)用邊界元法求解，充分發(fā)揮有限元法在分析非線性問題和邊界元法在處理無限域和半無限域問題的優(yōu)點(diǎn)，有限元與邊界元之間的耦合利用接觸界面的位移和接觸力的相容條件來實(shí)現(xiàn)[76]。

軌道－路基子系統(tǒng)時(shí)域中的振動(dòng)方程為

式中：P(t)為作用在軌道結(jié)構(gòu)上的外荷載；Q(t)為軌道路基與大地之間接觸界面的作用力。設(shè)作用于軌道結(jié)構(gòu)上的荷載為簡(jiǎn)諧力P(t)=P^eiωt，則軌道結(jié)構(gòu)的響應(yīng)亦具有簡(jiǎn)諧性質(zhì)，即

7 結(jié)論

以上介紹的車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)交叉迭代算法，新型車輛單元和軌道單元模型，列車軌道系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的移動(dòng)單元法，移動(dòng)荷載作用下軌道動(dòng)力學(xué)分析的多層梁模型，及軌道－路基－大地系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的有限元與邊界元耦合法，都是研究軌道動(dòng)力學(xué)問題的重要基礎(chǔ)和有效數(shù)值方法?，F(xiàn)將它們的特點(diǎn)總結(jié)歸納如下：

1）車輛－軌道－路基非線性耦合系統(tǒng)交叉迭代算法可模擬輪軌接觸之間及材料的非線性行為，同時(shí)避免了求解方程系數(shù)矩陣的非對(duì)稱性，具有求解精度高、可對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)獨(dú)立求解的優(yōu)點(diǎn)。由于采用了交叉迭代算法，其不足之處是計(jì)算效率偏低。

2）采用新型車輛單元和軌道單元模型可以建立將運(yùn)動(dòng)的車輛與軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行耦合的顯示算法，因而該方法具有計(jì)算精度高、程序編制容易，尤其適合分析整趟列車通過時(shí)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的特點(diǎn)。

3）運(yùn)用列車軌道系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的移動(dòng)單元法，可以使運(yùn)動(dòng)的列車始終處于軌道的中央，遠(yuǎn)離邊界，因而可以最大限度地消除模型的邊界效應(yīng)，減小模型規(guī)模，提高計(jì)算效率。其不足之處是必須假定軌道基礎(chǔ)是連續(xù)、均勻支撐的，這與多數(shù)情況下屬于點(diǎn)支撐的實(shí)際軌道結(jié)構(gòu)是有差別的。

4）軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的雙層梁、三層梁和四層梁模型考慮了移動(dòng)車輛的軸荷載和因軌道隨機(jī)不平順引起的簧下質(zhì)量的動(dòng)荷載，采用快速離散傅里葉變換算法求解，具有計(jì)算效率高，尤其適合分析多節(jié)組合車輛通過時(shí)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的特點(diǎn)。其不足之處也是必須假定軌道基礎(chǔ)是連續(xù)、均勻支撐的。

5）有限元與邊界元耦合法是分析軌道－路基－大地系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的有效數(shù)值方法，運(yùn)用邊界元法可以精確滿足半無限域邊界條件和分析路基－大地系統(tǒng)的動(dòng)力特性。

在了解了上述各種方法的特點(diǎn)后，為了提高計(jì)算精度和計(jì)算效率，根據(jù)分析問題的特點(diǎn)可以選擇不同的模型和算法。

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Progress in the Development of Track Dynamic Models andAssociated Numerical Methods

Lei Xiaoyan
（Engineering Research Center of Railway Environment Vibration and Noise，Ministry of Education，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

With increase of train speeds and axle loads，interactions between the vehicle and the track are being intensified.Studying wheel/rail interaction mechanism thoroughly is very important to safety and stability of high speed and heavy railways in operation.In this paper，a brief literature review is given for the progress of numerical models employed in track dynamics，followed by introductions of five track dynamic models and associated numerical methods，i.e.，crossing and iterative algorithm for non-linear vehicle，track and subgrade coupling system，new types of vehicle element and track element，moving element method for train-track dynamics，multi-layer beam models subjected to moving loads at constant velocity along an infinite track，and dynamic analysis of track，subgrade and soil system by coupling finite elements with boundary elements.Merits and drawbacks for above five approaches are discussed.These models and numerical approaches are important basis and means in analyses of track dynamics.In order to improve computational accuracy and efficiency，suitable approaches should be chosen based on characteristics of the concerned problem.

track dynamics；crossing and iterative algorithm；vehicle element；track element；moving element；coupling finite elements with boundary elements

U213.212

A

1005-0523（2011）03-0001-12

2011-02-21

國(guó)際科技合作與交流專項(xiàng)項(xiàng)目（2010DFA82340）；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（50978099）

雷曉燕（1956－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楦咚勹F路軌道動(dòng)力學(xué)。

book=10,ebook=215