基于灰熵方法的學(xué)生綜合評價(jià)問題

余瑞艷

（長江大學(xué)一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州434020）

1 引 言

綜合評價(jià)是一個典型的多目標(biāo)決策問題，在用灰色關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析的過程中，灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算實(shí)際上是將各項(xiàng)指標(biāo)等權(quán)劃分，這樣會因?yàn)闆]有考慮到各指標(biāo)重要性差異和允許指標(biāo)屬性之間可以相互線性補(bǔ)償，且被補(bǔ)償?shù)闹挡皇苋魏蜗拗贫鴮?dǎo)致存在信息流失、誤差大等缺陷，而采用主觀賦權(quán)法又無法消除各因素權(quán)重的主觀性［1］．引入信息熵的概念，通過其反映評價(jià)指標(biāo)信息的效用值來映射權(quán)重，這可以避免權(quán)重計(jì)算的主觀性，使評價(jià)結(jié)果更客觀、符合實(shí)際，為學(xué)生綜合評價(jià)提供一種新方法［2］．因此，算法采用基于灰色關(guān)聯(lián)度的灰色綜合評價(jià)決策模型，運(yùn)用熵來確定指標(biāo)權(quán)重．于是利用基于熵原理的灰色關(guān)聯(lián)分析方法，確定了在學(xué)業(yè)測評模式和綜合測評模式下各班的優(yōu)劣情況．很多文獻(xiàn)已經(jīng)討論了如何進(jìn)行合理的席位分配［2－5］，但還沒有相關(guān)文獻(xiàn)如何進(jìn)行獎學(xué)金分配才是最合理的，于是基于以上思想，本文提出了一類基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］的評價(jià)函數(shù)f，確定了基于綜合測評模式的獎學(xué)金分配原則是較合理的，并在文章的最后對以上模型提出了改進(jìn)方法，使得問題的分析更有合理、有效．

2 算法原理

灰色關(guān)聯(lián)分析把各項(xiàng)指標(biāo)等權(quán)劃分，無法給出各評價(jià)指標(biāo)的重要性差異，而按照信息論觀點(diǎn)，各個指標(biāo)在指標(biāo)體系中的作用，與指標(biāo)的變異度有關(guān)，指標(biāo)的變異度越大，它所攜帶和傳遞的決策信息越多，對方案的比較作用也越大．信息量的大小可用熵值來測度，熵值的減少意味著信息量的增加．熵值法根據(jù)各指標(biāo)的信息載量的大小來確定指標(biāo)權(quán)重．熵值法的最大優(yōu)點(diǎn)是其計(jì)算得到的權(quán)重完全是依據(jù)屬性矩陣所帶的信息，沒有任何主觀判斷，能夠得出較為客觀的綜合評價(jià)結(jié)果［1，6］．

2．1 指標(biāo)規(guī)范化處理

設(shè)原始指標(biāo)屬性矩陣D＝（Zij）m×n，則對效益型指標(biāo)規(guī)范化處理，有：

對成本型指標(biāo)規(guī)范化處理，有：

2．2 各指標(biāo)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算

式中Δmin＝min min｛｜x0（j）－xi（j）｜｝，Δmax＝ max max｛｜x0（j）－xi（j）｜｝分別為比較序列絕對

ijij差中的最小值和最大值，Δi0（j）＝｜x0（j）－xi（j）｜為比較序列的絕對差，ρ為分辨系數(shù)，取值范圍為ρ∈（0，1），通常取ρ＝0．5．

2．3 熵值法計(jì)算權(quán)重的步驟

（1）設(shè)原始指標(biāo)屬性矩陣D＝（Zij）m×n，其中Zij為第方案在第指標(biāo)下的指標(biāo)屬性值，則第i個方案對第j個指標(biāo)屬性的貢獻(xiàn)度Pij為：

其中取k＝1／（ln m），k＞0，Ej∈ ［0，1］，且設(shè)Pij＝0時，Pijln Pij＝0．

（3）定義第j個指標(biāo)下各方案貢獻(xiàn)度的差異系數(shù)，其計(jì)算公式為：gj＝1－Ej，（j＝1，2，…，n），則當(dāng)gj越大時，指標(biāo)越重要．

（4）將其指標(biāo)權(quán)重歸一化就得到各評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，其計(jì)算公式［8］為：

（2）對于此貢獻(xiàn)度所包含的信息內(nèi)容，可以用熵Ej來表示，所有方案對第j個指標(biāo)的貢獻(xiàn)總量，計(jì)算公式為：

2．4 計(jì)算綜合評價(jià)值

3 算例分析

3．1 班級排序

影響班級優(yōu)劣情況很多，結(jié)合每個班級的事情情況，針對以學(xué)業(yè)表現(xiàn)為基礎(chǔ)的測評，取主要的評價(jià)指標(biāo)有7個：優(yōu)秀率、良好率、中等率、及格率、不及格率、人均補(bǔ)考或重修率；而針對綜合測評，取除人均補(bǔ)考或重修率之外的其它6個指標(biāo)．具體數(shù)據(jù)見表1

表1 各班學(xué)業(yè)表現(xiàn)和綜合測評情況

根據(jù)實(shí)際情況，取指標(biāo)優(yōu)秀率、良好率、中等率為效益型指標(biāo)，而及格率、不及格率、人均補(bǔ)考或重修率為成本型指標(biāo)，根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)的計(jì)算步驟對表1中數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理后得到在學(xué)業(yè)表現(xiàn)測評和綜合測評下的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣分別為：

由表中數(shù)據(jù)，根據(jù)熵值法計(jì)算權(quán)重的步驟得到各指標(biāo)的權(quán)重為：

w1j＝ ｛0．0000，0．2407，0．1633，0．2411，0．1291，0．2257｝

w2j＝ ｛0．0000，0．2363，0．2701，0．3101，0．1836｝

用計(jì)算綜合評價(jià)值的公式計(jì)算得到各方案的綜合評價(jià)值為：

D1i＝ ｛0．2233，0．9733，0．4097，0．7260，0．5088，0．3636｝

D2i＝ ｛0．3411，0．9212，0．2787，0．8920，0．7212，0．3810｝

根據(jù)計(jì)算得到的綜合評價(jià)值，得到在學(xué)業(yè)表現(xiàn)和綜合測評下各班的優(yōu)劣順序如表2所示：

表2 不同測評模式下各班的優(yōu)劣排序情況

3．2 獎學(xué)金分配

在上一算例的分析中，借用基于熵原理的灰色關(guān)聯(lián)分析方法確定了各班在不同測評模式下的優(yōu)劣情況，但沒有相關(guān)文獻(xiàn)比較過這兩測評模式之間的優(yōu)劣程度．該問題提出了一在兩種不同測評模式下的獎學(xué)金分配原則，即每班按照5%的比例確定人選，最后取的總?cè)藬?shù)不足或超過規(guī)定人數(shù)時，采取把相關(guān)人員不同測評模式下的成績作比較．迄今還未有相關(guān)文獻(xiàn)對采用哪種分配方式更合理作出科學(xué)有效的解釋，基于此，筆者提出了一類基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］的評價(jià)函數(shù)f．

表3 基于相同分配原則的各班獎學(xué)金分配情況

在不同測評模式下筆者已求出了各班與最優(yōu)理想班級的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，如果關(guān)聯(lián)系數(shù)越大則表示該班離最優(yōu)班的距離越小，基于該思想，認(rèn)為在名額的分配過程中，如果最終總的加權(quán)灰色關(guān)系數(shù)越大則表示該中分配方案越合理、有效［7－9］．

其中ξi表示第i班的關(guān)聯(lián)系數(shù)，Ni表示第i班獲得獎學(xué)金的人數(shù)，則函數(shù)f1（N）越大越能體現(xiàn)公平性，體現(xiàn)在獎學(xué)金的分配方面就是：如果第i班的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，則該班所得的獎學(xué)金也就越多．但同時也要兼顧那些灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)較小的班級，于是為了體現(xiàn)公平性，筆者又引入了另外的一個函數(shù)f2（N）．

（8）式中，認(rèn)為在決策偏好系數(shù)β∈［0，1］不變的情況下，f（N）越大則認(rèn)為該種分配策略越好．

圖1 評價(jià)函數(shù)f（N）在不同決策偏好系數(shù)β下的變化情況曲線圖

根據(jù)從圖1中反映的計(jì)算結(jié)果，可以得到如下關(guān)系：

其中，fx（N）表示學(xué)業(yè)測評模式下的評價(jià)函數(shù)f（N），fz（N）表示綜合測評模式下的評價(jià)函數(shù)f（N）．于是，在決策者偏好系數(shù)β∈［0．16，1］時，采取綜合測評模式下的分配獎學(xué)金方式更加公平、有效；而決策者偏好系數(shù)β∈［0，0．16）時，則應(yīng)采取學(xué)業(yè)測評模式下的獎學(xué)金分配原則．

當(dāng)然，基于不同決策者偏好系數(shù)β∈［0，1］下的評價(jià)函數(shù)f（N）帶有一定的主觀性，對應(yīng)于不同的決策偏好程度．但從圖1中可知，在多數(shù)情況下綜合測評模式是優(yōu)于學(xué)業(yè)測評模式的，這與實(shí)際生活是相一致的，多數(shù)學(xué)校也正是采取該模式下的獎學(xué)金分配制度，在一定程度上也證明了該評價(jià)方法的合理性．

4 問題分析的改進(jìn)

在該模型的建立過程中，并未考慮各獲獎學(xué)生之間的成績比較情況，按正常情況來說：如果每個班獲獎同學(xué)之間的成績差距較小，則反映出該分配方案是最有效和最公平的．這里并沒有考慮這方面的影響因素，于是利用偏差平方和來反映獲獎學(xué)生之間的差別情況，假設(shè)Re sultij表示第i班第j個獲獎學(xué)生的測評成績，則總得偏差平方和為

其中ni表示第i班獲獎學(xué)生總數(shù)，E（Re sultij，表示第i班獲獎學(xué)生測評成績的期望．于是在評價(jià)函數(shù)f（N）中可以引入偏差平方和?S，并通過一些有效的方法來確定f1（N）、f2（N）與?S三者之間的權(quán)重大小，以此作為新的評價(jià)函數(shù)＾f（N），提高模型的應(yīng)用范圍和精度．

［1］ 彭志奇，戴彬．基于熵權(quán)的灰色關(guān)聯(lián)分析方法在供應(yīng)商選擇中的應(yīng)用研究 ［J］．商業(yè)研究，2008，526：49－50

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［6］ 湯麗華，趙吳靜．基于熵的水質(zhì)綜合評價(jià)的相似插值模型 ［J］．中國管理科學(xué)，2006，14（10）：91－94

［7］ 駱文輝，楊建軍．基于灰熵方法的綜合評估 ［J］．指揮控制與仿真，2008，30（02）：74－77

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