淺談正態(tài)總體方差的假設檢驗與總體均值的聯(lián)系

姚小娟，呂 隴

（蘭州理工大學技術工程學院，甘肅 蘭州730050）

對總體方差的顯著性假設檢驗，是利用相應的檢驗統(tǒng)計量得出原假設的拒絕域，通過總體的樣本，使用小概率事件的實際不可能性原則［1］，最終作出拒絕或接受原假設的判斷．當然，總體均值未知時與總體均值已知時，選擇的檢驗統(tǒng)計量是不一樣的［1］，但有時會遇到總體均值未知時與總體均值已知時對原假設作出的判斷是一樣的，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？又如何解釋這種現(xiàn)象呢？

本文在樣本容量固定的雙側及單側顯著性假設檢驗下，通過討論總體均值未知時和已知時拒絕域之間的關系，對此種現(xiàn)象給出合理的解釋．

1 有關正態(tài)總體方差的假設檢驗問題

對于單個正態(tài)總體的方差進行假設檢驗時，用χ2檢驗法［2］．

已知總體X ～N（μ，σ2），σ2未知，X1，X2，Λ，Xn是來自總體X 的一組樣本．要求檢驗假設：

如果總體均值μ未知，對總體方差的雙側假設檢驗的拒絕域記為：

2）總體均值μ已知的雙側假設檢驗中，由于樣本二階中心距M2是總體方差σ2的最小方差無偏估計，所以要選擇樣本二階中心矩

作為檢驗總體方差σ2的統(tǒng)計量．由樣本觀測值 （x1，x2，…，xn）算出的樣本二階中心矩M2的觀測值為m2可類似地得到拒絕域：

由樣本觀測值 （x1，x2，…，xn）算出的統(tǒng)計量m2的值，若它小于就拒絕原假設H0，否則就接受原假設H0．

在左側假設檢驗：H0∶σ2≥σ；H1∶σ2＜σ中，當μ未知時和μ已知時的拒絕域分別為C3，C4，則

在右側假設檢驗：H0∶σ2≤σ；H1∶σ2＞σ中，當μ未知時和μ已知時的拒絕域分別為C5，C6，則

2 由兩個不等式推導出的結論

2．1 總體均值μ未知與已知時拒絕域之間的關系

為了討論總體均值μ未知和已知時拒絕域之間的關系，現(xiàn)將樣本容量n固定，考慮顯著性水平α．

參考χ2分布表并經(jīng)過計算得［3］：

當α＝0．005，0．01，0．05，0．10，0．25時，恒滿足

當1－α＝0．75，0．90，0．95，0．99，0．995時，恒滿足

顯著性水平α一般取值較小，依據(jù)小概率事件的實際不可能性原則［1］，則由 （1）（2）這兩個不等式，可得：

即，μ未知時的雙側假設檢驗下拒絕域C1包含在μ已知時的拒絕域C2內(nèi)．

同理，由 （1）（2）這兩個不等式可得，在單側假設檢驗下有以下結論：

μ未知時的左側假設檢驗下，則拒絕域C3包含在μ已知時的拒絕域C4內(nèi)

μ未知時的右側假設檢驗下，則拒絕域C5包含在μ已知時的拒絕域C6內(nèi)

2．2 結 論

根據(jù)上述分析，總結得到以下結論：

在給定顯著性水平α和樣本容量n的條件下，單個正態(tài)總體方差的假設檢驗，在總體均值μ未知的情況下得到的拒絕域是包含在μ已知的拒絕域內(nèi)．

由結論可知，若統(tǒng)計量的觀測值s2、m2都落在μ未知時的拒絕域內(nèi)，則必落在μ已知時的拒絕域內(nèi)．此時，由μ未知時作出的對原假設的判斷與μ已知時的判斷是一致的．

反之，若統(tǒng)計量的觀測值s2、m2都落在μ已知的接受域內(nèi)，由顯著性假設檢驗的接受域與拒絕域互補可知［2］，s2、m2必落在μ未知的接受域內(nèi)．此時，由μ未知時作出的對原假設的判斷與μ已知時的判斷是一致的．

2．3 例 子

下面就學生在平時練習中遇到的典型例子作具體分析：

例［4］機器包裝砂糖，規(guī)定每袋糖的標準重量為500 g，均方差不得超過10 g，假設每袋糖的重量X～N（μ，σ2），現(xiàn)從包裝好的各袋中隨機地抽出9袋，測得凈重 （g）507 497 510 475 484 488 524 491 515，問這時包裝機工作是否正常 （α＝0．05）？

如果視μ未知，那么通過樣本觀測值計算得：

由C5以及（n－1）＝（8）＝15．5得到拒絕域為：C5＝ （193．75，＋∞）

可見s2落在拒絕域內(nèi)C5，所以拒絕H0，即認為包裝機工作不正常．

如果視μ已知，即μ＝10，那么計算得檢驗統(tǒng)計量M2的觀測值m2為：

通過分析注意到，本題中的總體均值無論視為未知還是已知，對原假設作出的判斷是沒有影響的，都拒絕了原假設，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？根據(jù)本文得到的結論可知，這是由于若檢驗統(tǒng)計量S2和M2的觀測值s2、m2都落在μ未知時的拒絕域內(nèi)，此時無論總體均值μ未知還是已知，對原假設作出的判斷是一致的．

［1］ 沈恒范．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 （第四版）［M］．北京：高等教育出版社，2006：1－30

［2］ 陳希孺．概率與數(shù)理統(tǒng)計 ［M］．合肥：中國科學技術大學出版社，2004：20－65

［3］ 盛驟，謝式千，潘承毅．概率與數(shù)理統(tǒng)計 （第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2001：30－77

［4］ 陳魁．概率統(tǒng)計輔導 ［M］．北京：清華大學出版社，2004：9－60