變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小研究

蔣 政，錢學(xué)明

（1．無(wú)錫科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇 無(wú)錫214028；2．無(wú)錫科技職業(yè)學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無(wú)錫214028）

等價(jià)無(wú)窮小替換是極限運(yùn)算中簡(jiǎn)化函數(shù)的一種重要方法．適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)無(wú)窮小替換可以使極限計(jì)算化繁為簡(jiǎn)，事半功倍．因此，該方法廣泛應(yīng)用于各類極限計(jì)算問題，受到廣大師生的青睞．但是，在等價(jià)無(wú)窮小替換中，有一類函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小鮮有討論，即變上限積分的等價(jià)無(wú)窮?。墨I(xiàn)［1］中首先提出了變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小，但僅僅給出了一些特殊情形下的等價(jià)無(wú)窮小替換公式，并未從理論上詳加論證．文獻(xiàn)［2］給出了較文獻(xiàn)［1］一般的公式，并給予了簡(jiǎn)單的證明，但其中定理的論述有誤，且公式仍有其局限．

本文擬通過(guò)引入帶有Peano型余項(xiàng)的Taylor公式，來(lái)獲得一類變上限積分等價(jià)無(wú)窮小的一般公式，并給予證明．其結(jié)果具有一般性，現(xiàn)有文獻(xiàn) ［1－2］的結(jié)果，都可看作本文結(jié)果的特殊情形．最后，將舉例說(shuō)明本文提出公式的有效性．

1 預(yù)備知識(shí)

α，β都是在同一自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小 （量），且α≠0．而lim表示的則是該變化過(guò)程的極限．

引理1［3］在自變量的同一變化過(guò)程中，α～β的充分必要條件是β＝α＋ο（α）．

引理2［3］等價(jià)無(wú)窮小的等價(jià)替換定理：在自變量的同一變化過(guò)程中，α，α′，β，β′都是無(wú)窮小，且α～α′，β～β′，如果

2 主要方法及證明

以下，就來(lái)討論變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小，并給出相關(guān)的一般性定理．

定理1 若函數(shù)f（t）在t＝t0處n階可導(dǎo)，則

的圖像，直觀、明了．因此，定理1的

結(jié)論在變上限積分的教學(xué)中具有重要的作用．

而在含有變上限積分的極限問題中，通常會(huì)有其它一些約束條件．這些條件的引入，可以獲得以下結(jié)論．

進(jìn)一步，特殊地取φ（x）＝x，則可得到以下定理4．

定理4 若函數(shù)f（t）在t＝0處n階可導(dǎo)，且f（0）＝f′（0）＝f″（0）＝ … ＝f（n－1）（0）＝0，f（n）（0）≠0，則當(dāng)x→0時(shí)有

于是，可得以下結(jié)論［3］．當(dāng)x→0時(shí)，

顯然，文獻(xiàn) ［1］中的諸多結(jié)論，均可由本文定理4獲得．

3 應(yīng)用舉例

上述定理在含變上限積分的極限問題中，結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換，可以極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算．

［1］ 于延榮．關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小代換的若干結(jié)論 ［J］．工科教學(xué)，2001，（04）：100－102

［2］ 楊爽．一類變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小量研究 ［J］．科技信息，2010，23（04）：117

［3］ 楊春玲，張傳芳．變上限積分的等價(jià)無(wú)窮小 ［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2004，（06）：43－44