塑性區(qū)模型損傷修正及其對聲發(fā)射活動的影響

王慧晶，林 哲

（大連理工大學船舶工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引 言

塑性區(qū)尺寸是描述金屬材料斷裂行為的重要參數(shù)之一，它在材料裂紋尖端塑性變形、裂紋擴展及斷裂過程中起著重要的作用。通過對含切口試件的聲發(fā)射檢測發(fā)現(xiàn)：塑性區(qū)的擴展是主要的聲發(fā)射源，這說明塑性區(qū)尺寸與聲發(fā)射之間存在關系。本文通過引入損傷概念對塑性區(qū)模型進行了修正，考慮材料中分布的細觀缺陷的發(fā)展演化對塑性區(qū)的影響，并在塑性區(qū)參數(shù)與聲發(fā)射參數(shù)之間建立聯(lián)系。

2 損傷演變方程及塑性區(qū)修正模型

2.1 損傷變量與有效應力

損傷變量[1]定義為

β反映了材料面積衰減的實際情況，可稱之為真實損傷變量或對數(shù)損傷變量。式中A為無損狀態(tài)時橫截面積，Ae為損傷后有效承載面積，相應的有效應力為

式中σy為屈服應力。

2.2 損傷演變方程

Dugdale[2]通過拉伸試驗，提出了裂紋尖端的窄塑性區(qū)沿裂紋線向兩邊延伸并呈尖劈帶狀的假設，如圖1所示。文獻[3]假設窄塑性區(qū)中的損傷β是與新裂尖距離x′=x-a有關的函數(shù)：

式中R是塑性區(qū)的長度。文獻[4]提出窄塑性區(qū)中的損傷與裂紋尖端應變存在關系

Davidson和Lankford[5]的實驗結果表明塑性區(qū)內(nèi)應變變化遵循：當x>a 時，ε∝（x- a）-1/2。 設

圖1 Dugdale損傷模型Fig.1 Dugdale’s damage model

由（4）式簡化后得

2.3 塑性區(qū)修正模型

考慮到在x=c處應力強度因子為零，有

由于塑性區(qū)內(nèi)存在孔洞，dσy′可通過dσy乘以權函數(shù)得到

為方便計算，采用如下簡化權函數(shù)：

由圖2可以看出，簡化的權函數(shù)與原權函數(shù)基本吻合。

將（2）式和（10）式代入（7）式得：

圖 2 ω（x ）與（x）的比較圖Fig.2 Comparison of ω（x）and （x）

其中，B（ p,q）為 beta 函數(shù)，F(xiàn)（ α， β；γ；z）為超幾何函數(shù)[7]。 即

圖3為外加載荷與屈服應力不同應力比情況下，由上式計算的塑性區(qū)與Dugdale模型、Irwin模型[2]之間的比較。其中，Irwin模型塑性區(qū)尺寸與裂紋長度之比為

Dugdale模型為

可以看出，Dugdale模型的塑性區(qū)大于本文提出的損傷修正Dugdale模型，而損傷塑性區(qū)修正模型又大于線彈性Irwin模型的塑性區(qū)。據(jù)文獻[8]指出，實際測量的R值均比大范圍塑性屈服區(qū)的Dugdale模型值小。這表明，本文的修正使得裂尖塑性區(qū)長度的計算值更接近實際。工程中常采用Irwin模型計算塑性區(qū)尺寸。為方便工程應用，本文基于損傷修正的Dugdale模型對Irwin模型作出修正，如圖4所示，修正的Irwin模型與損傷的修正Dugdale模型吻合較好。修正的Irwin模型的塑性區(qū)尺寸為

圖3 塑性區(qū)長度參數(shù)的比較Fig.3 Comparison of the length parameters of plastic zone

與原Irwin模型比較，有

圖4 裂紋尖端塑性區(qū)示意圖Fig.4 Schematic illustration of plastic zone at crack tip

3 塑性區(qū)參數(shù)與聲發(fā)射參數(shù)的關系

切口或含裂紋試件裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)的變形和斷裂活動是主要聲發(fā)射源，產(chǎn)生聲發(fā)射AE的應力級遠遠低于總屈服應力，故AE活動與裂紋尖端周圍的塑性應變有關，而裂紋尖端應變與塑性區(qū)半徑及應力強度因子有關，所以聲發(fā)射活動與塑性區(qū)半徑和應力強度因子有關?？紤]損傷對裂紋尖端塑性區(qū)的影響，通過上述修正Irwin模型的方程可求出塑性區(qū)的尺寸。塑性區(qū)尺寸和半徑分別為

由于塑性區(qū)內(nèi)應變變化遵循[5]：當x′>0時，ε∝（x′）-1/2，x′為距新裂尖的長度。根據(jù)假設聲發(fā)射計數(shù)率與屈服應變εy和最終拉伸強度εu之間的材料塑性區(qū)體積增長率成正比[9]，即N∝Vp。

其中B為板厚。比較假設N∝Vp，則

4 計算結果與實驗數(shù)據(jù)比較

從（15）式可以看出，聲發(fā)射總計數(shù)N與塑性區(qū)半徑ry的函數(shù)關系為N∝，與應力強度因子K的函數(shù)關系為N∝K4。文獻[10]對兩組單邊切口拉伸試件核級不銹鋼（σy=232MPa）和工業(yè)級不銹鋼（σy=207MPa）做拉伸實驗，根據(jù)試驗建立的聲發(fā)射總計數(shù)與塑性區(qū)半徑、應力強度因子間的定量關系為N∝、N∝K2.1，這與由（15）式建立的關系 N∝、N∝K2m近似一致。

圖5 Trip鋼的理論結果與試驗值的比較Fig.5 Comparison of theoretical and experimental results for trip steel

圖6 Trip鋼裂紋長度與聲發(fā)射總計數(shù)之間的關系Fig.6 Relationship between AE total counts and crack length of trip steel

聲發(fā)射總計數(shù)N與應力強度因子K的理論關系為N∝K4。在多數(shù)試驗過程中，材料內(nèi)形成的微裂紋和裂紋的突進現(xiàn)象引起試樣塑性變形，使指數(shù)超出理論值。例如，文獻[11]中承受楔力張開加載（WOL）的trip鋼，試驗測得N與K之間的關系為N=3.96×10-5K4.62，相應的關系如圖5所示，可以看出采用本文提出的塑性區(qū)損傷簡化模型得出的計算結果更接近試驗值。由于K=，其中σ為應力，a為裂紋尺寸，當確定應力和幾何因素后，K代入（15）式后，得到聲發(fā)射總計數(shù)N與裂紋長度之間的關系為N∝a2，即裂紋越長，聲發(fā)射總計數(shù)越多，如圖6所示。

5 結 論

（1）基于Dugdale塑性區(qū)模型，研究裂尖塑性區(qū)的損傷分布，存在的孔洞通過權函數(shù)表征損傷的演變。修正的塑性區(qū)模型能更好地詮釋材料由于微缺陷的產(chǎn)生和發(fā)展而引起的逐步劣化。

（2）通過修正的塑性區(qū)模型，提出聲發(fā)射總計數(shù)N與應力強度因子K及塑性區(qū)半徑ry之間的關系，與實驗結果一致。說明考慮損傷的塑性區(qū)模型，更好地反映聲發(fā)射活動中損傷材料破壞的實際過程，有利于從力學行為和物理過程進一步闡述聲發(fā)射源機制。

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