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    水下爆炸及隨機(jī)外力下破損艦船的傾覆概率分析

    2011-02-27 09:06:40施興華
    船舶力學(xué) 2011年4期

    張 婧,施興華

    (江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

    1 引 言

    破損艦船的生命力問題因其具有重要的軍事戰(zhàn)略意義而受到國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注。作戰(zhàn)環(huán)境中的水面艦船,除了受到風(fēng)浪等隨機(jī)擾動外,還受到其他非隨機(jī)的不規(guī)則擾動。艦船受到武器攻擊發(fā)生破損后,進(jìn)水產(chǎn)生的固定橫傾角將大大降低其在海上的戰(zhàn)斗力與生命力,在下次攻擊武器的爆炸載荷以及風(fēng)浪載荷聯(lián)合作用下,穩(wěn)性降低,可能造成其整體傾覆。從歷次世界大戰(zhàn)來看,具有強(qiáng)裝甲艦船強(qiáng)度的破壞概率遠(yuǎn)小于整船的傾覆概率,確定該隨機(jī)事件的發(fā)生概率具有重要的意義。

    艦船傾覆因涉及到外載荷的隨機(jī)性和大幅度橫搖的強(qiáng)非線性,而使問題十分復(fù)雜。波浪載荷和風(fēng)載荷均具有隨機(jī)性,這就導(dǎo)致艦船傾覆是具有一定概率的隨機(jī)事件。確定該隨機(jī)事件的發(fā)生概率,已成為急需解決的問題。許多學(xué)者在這方面做了大量的研究[1-2]。但目前尚未見到關(guān)于水下爆炸載荷和隨機(jī)風(fēng)浪聯(lián)合作用下破損艦船傾覆概率研究的文獻(xiàn)資料。

    本文推導(dǎo)了破損艦船遭受水下爆炸及有色噪聲時的橫搖微分方程??紤]到本文主要研究爆炸載荷對破損艦船橫搖的影響以及高維FPK方程求解繁瑣,故將有色噪聲過程簡化為白噪聲過程,以Gauss-Legendre路徑積分為基礎(chǔ),給出橫搖角的概率密度函數(shù)隨時間演變的計(jì)算方法,按照現(xiàn)有的傾覆準(zhǔn)則給出預(yù)報(bào)一定裝藥量下艦船傾覆概率的表達(dá)式,并進(jìn)行了實(shí)例分析,對作戰(zhàn)環(huán)境中破損艦船傾覆研究進(jìn)行有益的探索和初步嘗試。

    2 作戰(zhàn)條件下破損艦船的環(huán)境載荷

    2.1 水下爆炸載荷產(chǎn)生的傾側(cè)力矩

    沖擊波隨時間衰減規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式為[3]

    式中:θ—指數(shù)衰減的時間常數(shù),對于TNT炸藥而言,θ=(W1/3/R)-0.24W1/3×10-4;pm—壓力峰值[4],pm=53.3(W1/3/R)1.13,W—裝藥量,R—測點(diǎn)到爆炸中心的距離。

    將作用于艦船水下舷側(cè)的爆炸沖擊波載荷視為一個突加傾側(cè)力矩

    式中:A1—沖擊波作用面積,取塑性區(qū)域的面積,A1=π [(10~2 0) R0]2,R0—炸藥初始半徑;Me(t)—集中力 P(t)豎向偏心引起的傾側(cè)力矩;Δz1—集中力P(t)作用點(diǎn)離艦船重心的豎向距離。

    將(1)式代入(2)式,得到

    2.2 隨機(jī)風(fēng)浪擾動力矩

    風(fēng)擾動力矩可以看作是平均風(fēng)傾力矩Ma與脈動風(fēng)傾力矩Md(t)兩部分組成,即

    式中:ρ—空氣密度;A—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積;Δz—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水壓力作用點(diǎn)的距離;U(t)—艦船的航速;υd(z,t)—短周期內(nèi)脈動風(fēng)速,其譜密度Sυd(ω)由文獻(xiàn)[5]確定;υa(z)—平均風(fēng)速[6];Cm—風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)[7],

    式中:L—艦船結(jié)構(gòu)總長;B—艦船橫剖面寬度;z—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水線的距離。

    (6)式充分反映了船型主要因素對風(fēng)壓的影響,其變化范圍在0.955~1.418之間,如果Cm取為定值,勢必對有些船舶穩(wěn)性要求過高,而對有些船舶又會顯得不足。因此,根據(jù)船型選取不同的Cm值是較符合客觀實(shí)際的。

    波浪擾動力矩為

    航速U(t)與給定z處的平均風(fēng)速都是常數(shù),故由(4)式可知,Ma也是一常數(shù)。脈動風(fēng)的強(qiáng)度隨時間而隨機(jī)變化,是典型的隨機(jī)過程。 由(5)式可知,Md(t)是 υd(z,t)的線性函數(shù),所以可認(rèn)為Md(t)是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。同理,Mw(t)也是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。

    3 破損艦船橫搖運(yùn)動微分方程

    由于海浪及風(fēng)力均為隨機(jī)過程,即使爆炸載荷是確定性載荷,但其作用時間短暫,所以作戰(zhàn)環(huán)境中艦船的運(yùn)動也具有隨機(jī)性。由于爆炸載荷持續(xù)時間一般只有幾秒左右,平均風(fēng)傾力矩作用時間一般在10min以上,所以在爆炸載荷作用過程中,平均風(fēng)傾力矩始終作用在艦船上,可以把爆炸載荷產(chǎn)生的短時力矩及平均風(fēng)傾力矩看作定常傾側(cè)力矩。則破損艦船大幅橫搖運(yùn)動的隨機(jī)微分方程為

    初始條件為

    式中:φ01—遭多次攻擊后艦船破損進(jìn)水產(chǎn)生的初始橫傾角。這里只考慮艦船的線性橫搖阻尼系數(shù),則

    式中:BL—線性阻尼系數(shù)。

    采用線性項(xiàng)加三次項(xiàng)作為回復(fù)力矩模型,能較好地?cái)M合靜穩(wěn)性曲線[10],則

    式中:Δ—排水量;GZ( φ(t ))—回復(fù)力臂;C3—三次回復(fù)力矩系數(shù),取為負(fù)值。

    將(8)式兩邊同時除以 Jφφ+ΔJφφ,可得

    式中:ωφ—為橫搖固有頻率,

    隨機(jī)橫搖力矩Y(t)與Z(t)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可分別由Mw(t)與Md(t)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)確定,自相關(guān)函數(shù)分別為 RY(τ)和RZ(τ),功率譜密度分別為

    4 非線性隨機(jī)橫搖響應(yīng)的時域分析

    4.1 濾波系統(tǒng)的確定

    在時域內(nèi)考察一個隨機(jī)過程,Markov過程理論是一個重要方法。構(gòu)造兩個線性濾波器,其輸入為白噪聲過程,輸出則為滿足給定統(tǒng)計(jì)特征值的隨機(jī)過程。為模擬實(shí)際風(fēng)浪,取形狀濾波器分別為

    式中:α1,β1,γ1,β2,γ2—控制濾波函數(shù)特性的參數(shù);Ni(t) (i=1,2 )—單位白噪聲過程,N1(t)與N2(t)相互獨(dú)立,Ni(t)=dWi(t)/dt,Wi(t)—單位Wiener過程。

    而由(14)式和(15)式確定的譜密度分別為:

    則令(12)式與(16)式的峰值、卓越頻率、譜面積相等,就可得到濾波參數(shù) α1,β1,γ1,同理可得 β2,γ2。

    聯(lián)立(11)、(14)式與(15)式,得到一個新的擴(kuò)維運(yùn)動微分方程組為

    4.2 伊藤隨機(jī)微分方程

    將微分方程組(18)改寫為狀態(tài)方程組的形式

    這樣就建立了求解破損艦船在作戰(zhàn)環(huán)境下橫搖的隨機(jī)微分方程組。

    4.3 相應(yīng)的簡化方程

    實(shí)際隨機(jī)風(fēng)浪必須處理為有色噪聲,理論上是可以通過增加濾波系統(tǒng)并利用Markov過程理論來求解這一復(fù)雜的問題,但這將出現(xiàn)高維的FPK方程,至今超過三維的FPK方程的計(jì)算量已經(jīng)非常耗費(fèi)計(jì)算機(jī)資源??紤]到本文主要是研究爆炸載荷對艦船傾覆概率的影響,由于爆炸載荷極短時間內(nèi)就達(dá)到最大值,此時平均風(fēng)傾力矩與其相比非常小,所以只考慮脈動風(fēng)的作用,且爆炸載荷強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隨機(jī)風(fēng)浪擾動的強(qiáng)度,在不影響問題結(jié)論的基礎(chǔ)上,可將隨機(jī)風(fēng)浪的有色噪聲簡化為白噪聲過程。即將(19)式簡化為

    式中:X1(t)=φ(t );X2(t)=(t);γ—隨機(jī)擾動力矩系數(shù);N(t)—單位白噪聲過程。

    初始條件為

    通常上述方程組的求解是通過其相應(yīng)的偏微分方程進(jìn)行的, 即轉(zhuǎn)移概率密度)滿足FPK方程

    4.4 路徑積分法求解方程

    路徑積分的基本思想就是在空間和時間上分別離散化,以路徑和代替積分,即通過連接短時轉(zhuǎn)移概率密度形成全局轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。設(shè)(t)是n維狀態(tài)方程,其演化概率密度為

    路徑積分是在縮減的狀態(tài)空間Rs內(nèi)積分,Rs之外的區(qū)域轉(zhuǎn)移概率密度充分小,可忽略不計(jì),即

    Yu[11]等人將(23)式按照Gauss-Legendre積分來離散化,得到基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法。已知第(i-1)時刻的每個高斯積分點(diǎn)上的概率密度及相應(yīng)轉(zhuǎn)移概率密度時,借助離散化的概率密度表達(dá)式,可獲得第i時刻任意點(diǎn)的概率密度,因此僅需計(jì)算第i時刻相應(yīng)高斯積分點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率密度。這樣可大大減少計(jì)算量,最終可得到適合編程實(shí)現(xiàn)的表達(dá)式。對于一維的情況,即

    式中:K—子區(qū)間數(shù);Lk—第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)數(shù);δk—第k子區(qū)間的長度;xkl—高斯積分點(diǎn);ckl—相應(yīng)的權(quán)數(shù)。

    一般假設(shè)短時轉(zhuǎn)移概率密度是近似高斯分布的。Sun和Hsu[12]提出利用矩方程導(dǎo)出短時轉(zhuǎn)移概率密度的一階矩和二階矩,由于非線性隨機(jī)系統(tǒng)的矩方程一般是無窮層階次、非封閉的,可利用高斯截?cái)喾ǐ@得封閉的矩方程。因此,短時概率密度可寫為

    式中:E1(ti),E2(ti)—ti時刻X的一階、二階原點(diǎn)距,可通過封閉的矩方程組[13]解出;σ2(ti)=E2(ti)-[E1(ti)]2。

    5 破損艦船的傾覆概率分析

    艦船結(jié)構(gòu)傾覆是由于橫搖角過大引起的,當(dāng)橫搖角超過某一閾值,就將一直增大而不會回到平衡位置。艦船的穩(wěn)性消失角是這一閾值的最好近似,因此將艦船結(jié)構(gòu)傾覆定義為其橫搖角大于穩(wěn)性消失角或傾覆角,即

    處于正浮狀態(tài)下的艦船,當(dāng)回復(fù)力矩為零時,其橫搖角定義為穩(wěn)性消失角或傾覆角φv,即

    得到方程的正根與負(fù)根為:

    關(guān)于艦船傾覆問題的討論中,傾覆概率的定義不是很明確,艦船的傾覆是一個不可再現(xiàn)的事件,因此定義在某一固定時刻t,艦船結(jié)構(gòu)的傾覆概率為

    式中: f( φ,t )—橫搖角邊緣概率密度分布。

    由前面的分析可知, f( φ,t )與時間及裝藥量密切相關(guān),所以根據(jù)(26)式可預(yù)報(bào)任意裝藥量下任意時刻破損艦船的傾覆概率。

    6 計(jì)算實(shí)例及分析

    采用fortran90語言自編程序,對某艦船遭受爆炸載荷、白噪聲風(fēng)浪及平均風(fēng)傾力矩聯(lián)合作用下橫搖傾覆進(jìn)行了分析計(jì)算。爆炸沖擊載荷的參數(shù)見表1。與隨機(jī)擾動及艦船有關(guān)的參數(shù)如表2所示。

    表1 與水下爆炸載荷有關(guān)的參數(shù)Tab.1 The parameters of underwater explosions

    (1)破損艦船再次受到攻擊時橫搖角概率分布隨時間的變化

    破損艦船在裝藥量W分別為0kg,600kg,900kg時橫搖角的邊緣概率密度隨時間的演變?nèi)鐖D1-3所示。

    表2 與隨機(jī)擾動及艦船有關(guān)的參數(shù)Tab.2 The parameters of random disturbance and warship

    圖1 W=0kg時,t分別為0s,0.1s,1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.1 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=0kg)

    圖2 W=600kg時,t分別為0s,0.1s,1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.2 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=600kg)

    圖3 W=900kg時,t分別為0s,0.1s,1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.3 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=900kg)

    從圖1-3可看出,具有定常側(cè)傾力矩的艦船在隨機(jī)外力作用下橫搖角的概率分布發(fā)生漂移和擴(kuò)散,并且不再圍繞正浮位置分布,而是圍繞定常側(cè)傾力矩造成的橫傾角分布。同一裝藥量下,由于隨機(jī)外力的影響,峰值隨時間的增長而降低,但橫搖角在較大的范圍內(nèi)變化。除了t=0s時刻橫搖角的邊緣概率密度分布不受裝藥量的影響外,其它時刻的峰值隨裝藥量的增加而降低,由定常傾側(cè)力矩造成的傾角增加。

    在裝藥量W=0kg時,各分布圖所圍繞的固定橫傾角不變。其它裝藥量的情況時,同一裝藥量下,雖然隨著時間的增長,爆炸載荷產(chǎn)生的力矩減小,導(dǎo)致固定橫傾角呈減小的趨勢,但是前一時刻產(chǎn)生的橫傾角對后一時刻橫搖角的概率分布有累積影響,而且由于隨機(jī)外力的影響,橫搖角的分布逐漸擴(kuò)散。

    (2)裝藥量對破損艦船傾覆概率的影響

    由以上分析可知,裝藥量對橫搖角的概率分布有明顯的影響,即分布的峰值降低,橫傾角增大。而且裝藥量的增加即固定橫傾力矩的增加將明顯增加傾覆的可能性。按(26)式計(jì)算不同裝藥量不同時刻破損艦船的傾覆概率,結(jié)果如表3所列。

    表3 不同裝藥量不同時刻破損艦船的傾覆概率pfTab.3 The capsizing probability pfof damaged warship under different blasting charge at different time

    從表3可以看出,對已破損艦船再次受到武器攻擊時,傾覆概率明顯增加。但由于爆炸載荷作用時間很短,故其后傾覆概率有所減小。

    7 結(jié) 論

    本文對水下爆炸載荷和隨機(jī)風(fēng)浪聯(lián)合作用下破損艦船的橫搖運(yùn)動及其傾覆概率進(jìn)行了分析計(jì)算。由上述理論和實(shí)例分析,可得出如下結(jié)論:

    (1)考慮到艦船的結(jié)構(gòu)形式比較特殊,改變傳統(tǒng)的處理方法,將風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)Cm視為變化量,計(jì)入船型因素對風(fēng)擾動力矩的影響,同時考慮了航速對風(fēng)速的影響,即風(fēng)以相對風(fēng)速的形式作用于艦船,給出了計(jì)入航速影響的風(fēng)擾動力矩計(jì)算公式,更符合實(shí)際情況。

    (2)算例表明,水下爆炸載荷對橫搖角的概率分布有明顯的影響,即分布的峰值降低,橫傾角增大。而且裝藥量的增加即固定橫傾力矩的增加將明顯增加傾覆的可能性。已破損艦船再次受到武器攻擊時,傾覆概率明顯增加。

    (3)本文給出了在水下爆炸及隨機(jī)風(fēng)浪作用下破損艦船大幅橫搖運(yùn)動微分方程,研究了隨機(jī)外力作用下船舶的一維運(yùn)動。雖然這是與傾覆關(guān)系最密切的運(yùn)動模態(tài),但畢竟尚未給出船舶運(yùn)動的全面描述,和其它運(yùn)動模態(tài)耦合后的艦船橫搖的研究將作為今后進(jìn)一步的研究方向。

    (4)對于同時遭受爆炸載荷、隨機(jī)風(fēng)力及海浪的破損艦船,本文引入兩個濾波器,將隨機(jī)動力學(xué)領(lǐng)域理論上較為成熟的路徑積分法推廣應(yīng)用于求解其傾覆概率,即將隨機(jī)微分方程升到五維,通過求解相應(yīng)的FPK方程得到橫搖角的概率密度函數(shù),由于FPK方程的系數(shù)與風(fēng)浪載荷及爆炸載荷密切相關(guān),這樣便可以估計(jì)風(fēng)浪載荷及爆炸載荷對艦船傾覆概率的影響。但目前,五維FPK方程還無法求解,這里給出了分析計(jì)算傾覆概率的思路,高維FPK方程的數(shù)值求解有待于以后進(jìn)一步的研究。

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