投影變換過程的可靠性評價＊

李 卉 鐘 成 李德仁 邵振鋒

(中國地質(zhì)大學(武漢)空間科學技術(shù)研究中心1) 武漢 430074)

(中國地質(zhì)大學(武漢)教育部長江三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害研究中心2) 武漢 430074)

(武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室3) 武漢 430079)

關(guān)于各個坐標系之間的變換方法,前人提出了解析變換法、數(shù)值變換法和數(shù)值解析變換法等方法[1].解析法需要確切的知道兩投影間坐標變換的解析計算公式,以及橢球參數(shù),空間參考系的參數(shù);數(shù)值法的參數(shù)解算依賴于公共點的選擇和分布,缺乏廣泛的適應(yīng)性;數(shù)值解析法兼具二者的優(yōu)點和缺點.傳統(tǒng)的大地網(wǎng)三角測量或者地方坐標的測量都帶有各種信號和噪音,不可能存在一個普遍適用的最優(yōu)變換模型[2].因此需建立一套坐標變換模型的質(zhì)量評價指標,從而選擇滿足具體應(yīng)用的最優(yōu)模型.以往坐標變換僅考慮精度這一項指標,近來國外學者的研究主要以幾何變形為主要評價指標,未顧及模型的抗差性[3-5].本文認為優(yōu)良的變換應(yīng)具備良好的精度、可靠性、可逆性、惟一性、擴展性和效率,文中重點就投影變換的可靠性進行研究,驗證其必要性、有效性和可行性.

1 可靠性評價體系與指標

誤差反映在改正數(shù)的程度以及不可發(fā)現(xiàn)的模型誤差對平差結(jié)果的影響是平差模型內(nèi)外可靠性的問題[6-7].對于依賴于公共點的轉(zhuǎn)換模型,需要研究其內(nèi)外可靠性,分析其抵抗粗差的能力.可靠性指標包括平差模型的幾何條件,內(nèi)外可靠性,粗差的可區(qū)分性放大倍數(shù).

1.1 幾何條件

設(shè)有線性化的高斯-馬爾柯夫模型

式中：l為觀測值向量;V為改正數(shù)向量;A為線性化的系數(shù)矩陣;Δ?x為未知數(shù)相對于近似值的改正數(shù).其法方程為

其觀測值改正數(shù)的最小二乘解為

該式描述了改正數(shù)與平差中輸入量之間的關(guān)系,改正數(shù)取決于幾何條件矩陣(QvvP).(QvvP)的跡等于平差模型的多余觀測數(shù)r.稱(QvvP)的第i個對角元素為第i個觀測值的多余觀測分量

1.2 內(nèi)外可靠性

平差模型的內(nèi)可靠性表示反映在殘差中,在一定顯著性水平α0和檢驗功效β0下能被發(fā)現(xiàn)的粗差下界值▽0li.在單個一維備選假設(shè)下

式中：δ0為由于粗差而導致的非中心化參數(shù);下界值▽0li為該點發(fā)現(xiàn)粗差的能力.

平差模型的外可靠性表示不可發(fā)現(xiàn)的粗差對平差結(jié)果(包括全部未知參數(shù)Δ?x及其他)的影響.對于單個粗差,若觀測值不相關(guān),則得到第i個觀測值不可發(fā)現(xiàn)的粗差對平差未知數(shù)的影響向量長度

1.3 可區(qū)分性放大倍數(shù)

粗差的可區(qū)分性,即粗差的定位能力,是評估平差系統(tǒng)抗差能力的重要指標.定義標準化殘差的相關(guān)性

在給定顯著性水平α0,檢驗功效β′0和區(qū)分可能性(1-γ′0)下,得粗差可區(qū)分性放大倍數(shù)

2 實驗與討論

實驗在我國境內(nèi)北緯32～36°,東經(jīng)108～114°地區(qū)進行,對應(yīng)1∶100萬比例尺,公共點304個.實驗中公共點分布有兩種：(1)選定初始子集,在該集上逐個增加,此為非均勻的連續(xù)平差; (2)由均勻分布的n個公共點開始解算,逐個增加解算點數(shù),同時要求保持均勻分布,此時要重新在公共點集選取子集,此方法不同于在初始子集上的逐個增加,避免了對其的過度依賴,稱為均勻連續(xù)平差解算.

2.1 多余觀測分量實驗

因為實驗中不能求法方程系數(shù)陣的逆矩陣,所以采用Forstner在模擬觀測值上逐一引入粗差▽li的方法,由平差后的殘差▽vi,近似求多余觀測分量ri.

圖1、圖2和圖3列出了不同變換模型在不同解算點分布的多余觀測分量分布(x方向).

圖1 解算點均勻分布時平面相似變換模型平差多余觀測分布

圖2 解算點均勻分布時二元二次多項式平差多余觀測分布

實驗結(jié)果表明：(1)當引入粗差足夠大,可以忽略其他誤差的影響,則由式(9)求得的多余觀測分量可視為真值,實驗證明其和等于平差模型的多余觀測數(shù);(2)實驗對600個均勻分布的公共點求多余觀測分量,耗時5.203 0 s,鑒于幾何條件矩陣(QvvPll)的難以求解,以模擬粗差求多余觀測分量不失為效率較高的近似方法;(3)二元二次多項式平差模型應(yīng)有12個待解參數(shù),實驗推出其必要觀測數(shù)為10,經(jīng)平差解出參數(shù)a00和b00在10-7數(shù)量級,且系數(shù)為1,故此待定參數(shù)沒有必要性,證明由式(9)可以確定必要參數(shù)個數(shù);(4)平面相似平差模型必要觀測數(shù)少,在同樣解算點條件下,其平均多余觀測分量較大,且多余觀測分量分布較二元二次多項式均勻,有較好的幾何條件; (5)解算點均勻分布時,隨著解算點數(shù)的增加,每個觀測點的多余觀測分量皆得到改善,而非均勻增加解算點,無法增大初始子集的多余觀測分量,其可靠性不能得到改善,若含有粗差,不易發(fā)現(xiàn),對平差模型的影響是巨大的,故解算點均勻分布的幾何條件好于非均勻分布.

圖3 解算點非均勻分布時二元二次多項式平差多余觀測分布

2.2 內(nèi)外可靠性實驗

求得各觀測點的多余觀測分量后,可根據(jù)式(5)和式(6)解求各觀測點的內(nèi)外可靠性,圖4為10個解算點時,不同平差模型和公共點分布下各點殘差、內(nèi)外可靠性分布,其數(shù)值皆為相對于標準差的比率.實驗取顯著性水平,檢驗功效β=80%,則

圖4 10個解算點可靠性分布

經(jīng)統(tǒng)計：解算點均勻分布時,平面相似變換模型內(nèi)可靠性期望4.963 8,標準差0.324 8外可靠性期望2.715 5,標準差0.580 6;解算點均勻分布時,二元二次多項式內(nèi)可靠性期望6.326 6,標準差1.774 2,外可靠性期望 4.606 4,標準差2.256 4;非均勻分布時,二元二次多項式內(nèi)可靠性期望6.589 2,標準差2.381 5,外可靠性期望4.865 9,標準差2.941 6.

2.3 可區(qū)分性放大倍數(shù)實驗

求得各觀測點的多余觀測分量后,據(jù)式(7)和式(8)解求各觀測點間的可區(qū)分性放大倍數(shù).由于難以求解,和計算的復(fù)雜性,一般在用Baarda數(shù)據(jù)探測法取得可疑點后,方計算可疑點間的可區(qū)分性放大倍數(shù),確定粗差能否被定位.計算得到10個解算點均勻分布時,平面相似變換模型的標準化殘差的相關(guān)系數(shù)矩陣如下.

實驗結(jié)果表明：(1)10個均勻分布解算點時,平面相似變換模型的觀測點間的最大相關(guān)系數(shù)在0.4～0.5間,當取顯著性水平α0=0.1%,檢驗功效區(qū)分可能性時,查表可得k小于1.015,即2點間可區(qū)分粗差小于可發(fā)現(xiàn)粗差的1.015倍;(2)對均勻分布的二元二次多項式,其最大相關(guān)系數(shù)接近0.8,k約為1.063;(3)對基于子集的二元二次多項式,其最大相關(guān)系數(shù)接近0.97,k約為2.191;(4)隨著解算點數(shù)增加,均勻分布各點間的標準化殘差相關(guān)系數(shù)將逐漸減小,則模型粗差區(qū)分性變好.

由以上分析,可得：(1)根據(jù)可區(qū)分性放大倍數(shù)計算結(jié)果,本文實驗可直接采用Baarda數(shù)據(jù)探測法發(fā)現(xiàn)且定位粗差;(2)均勻分布的公共點獨立性好,可稱為不相關(guān)觀測,且解算點越多,各點的相關(guān)性越小;(3)平面相似變換及二元二次多項式變換皆有良好的粗差可發(fā)現(xiàn)性和可定位性,平面相似變換又稱Robust坐標變換.

3 結(jié) 論

1)本文提出的投影變換各項可靠性指標是可行的、有效的,是實際工作中尋找最優(yōu)變換模型和幾何條件的有力工具之一.

2)坐標變換地區(qū)公共點的選擇與分布,數(shù)據(jù)的相關(guān)性等幾何條件,與變換模型的性質(zhì)對投影變換的可靠性有顯著的影響.

3)投影變換,應(yīng)結(jié)合本地區(qū)的條件,選擇均勻分布,獨立的公共點,和各項指標優(yōu)良的變換模型,則可得到較好的投影變換質(zhì)量.

4)就本地區(qū)的實驗成果,平面相似變換具有優(yōu)異的可靠性,在無粗差或剔除粗差的情況下,又有良好的精度,可以作為嚴密坐標變換模型的替代,二元二次多項式其可靠性劣于平面相似變換,理想狀態(tài)的解算精度亦較低,二元三次多項式的各項指標更差,可見不是次數(shù)越高,待解參數(shù)越多,就能獲得越好的投影變換質(zhì)量,反而增加解算時間和難度.

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