極坐標(biāo)框架兩軸平臺光軸穩(wěn)定算法

毛峽，劉言，梁曉庚

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100191)

0 引言

具有后射能力的導(dǎo)彈既可以向前發(fā)射攻擊前方目標(biāo)，也可以越肩發(fā)射，即發(fā)射后旋轉(zhuǎn)180°攻擊后方目標(biāo)，或直接向后發(fā)射攻擊后方目標(biāo)［1-2］。俄羅斯后射空空導(dǎo)彈己經(jīng)進行了成功試射。

在攻擊或攔截目標(biāo)的過程中，導(dǎo)引頭的穩(wěn)定平臺使光軸在慣性空間中的指向保持穩(wěn)定，穩(wěn)定平臺有兩軸、3 軸等多種機械結(jié)構(gòu)，其中兩軸平臺結(jié)構(gòu)相對簡單。傳統(tǒng)的穩(wěn)定平臺大多采用基于俯仰/偏擺的直角坐標(biāo)結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)比較直觀，控制簡單。但是，直角坐標(biāo)結(jié)構(gòu)相對比較笨重，不利于輕型化、小型化?；跈M滾/偏擺結(jié)構(gòu)的極坐標(biāo)框架具有結(jié)構(gòu)緊湊，質(zhì)量輕、尺寸小等特點，具有重要的研究價值［4］。

為了進一步減小導(dǎo)引頭的質(zhì)量和體積，極坐標(biāo)框架兩軸平臺利用導(dǎo)彈自動駕駛儀的陀螺傳感器信息，通過解算來穩(wěn)定光軸在慣性空間中的指向［5］。為了使越肩發(fā)射的后射導(dǎo)彈能夠有效跟蹤并攻擊后方目標(biāo)，需要導(dǎo)引頭光軸超半球穩(wěn)定，目前國內(nèi)對于光軸超半球穩(wěn)定鮮有研究。

本文分析光軸的特性，提出光軸超半球穩(wěn)定算法，給出仿真結(jié)果及分析。

1 極坐標(biāo)框架兩軸平臺光軸特性分析

導(dǎo)引頭成像裝置安裝在內(nèi)框上，光軸向量在內(nèi)框坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)直接影響到光軸穩(wěn)定的程度以及跟蹤的范圍。為了使光軸在慣性系中超半球甚至全球穩(wěn)定，光軸必須能夠在慣性坐標(biāo)系中指向任意方向。設(shè)光軸向量為Pg(慣性坐標(biāo)系)，由于要穩(wěn)定的只是光軸的方向，令Pg的模值為1。應(yīng)用基于歐拉角的矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式，把光軸向量坐標(biāo)由慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到彈體坐標(biāo)系，如(1)式所示。

式中:Pm為光軸在彈體坐標(biāo)系中的向量坐標(biāo);Tm←g為慣性坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Tm←g=為橫滾角、ψ 為俯仰角、γ 為航向角。轉(zhuǎn)換矩陣是非奇異的，由(1)式可知，要使光軸在慣性坐標(biāo)系中能夠超半球甚至全球穩(wěn)定，則光軸在彈體坐標(biāo)系中也必須是能夠指向超半球甚至全球方向。所以，在彈體坐標(biāo)系中光軸向量必須能夠指向空間的任意方向。光軸在內(nèi)框坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xi，yi，zi)T，記為Pi.由內(nèi)框坐標(biāo)系與彈體坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得

式中Po為光軸在外框坐標(biāo)系中的向量坐標(biāo)。成像裝置直接安裝在內(nèi)框上，一旦確定安裝方式，光軸向量在內(nèi)框坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)則為確定的常數(shù)值。光軸向量在外框坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)為(xo，yo，zo)T，由(3)式得

導(dǎo)引頭在繞偏擺軸轉(zhuǎn)動的過程中，光軸向量在內(nèi)、外框坐標(biāo)系y 軸方向的投影坐標(biāo)是相等的。

圖1 光軸在內(nèi)、外框坐標(biāo)系中指向示意圖Fig.1 Optical axis in the inner and outer coordinate systems

任意繞偏擺軸(y 軸)轉(zhuǎn)動一周，可以使光軸向量在外框坐標(biāo)系中指向以原點為始點的圓錐面之內(nèi)的任意方向。如圖1所示，φ 為光軸向量與y 軸的夾角。

由于外框通過橫滾軸安裝在彈體上，外框坐標(biāo)系可以在彈體坐標(biāo)系中圍繞橫滾軸(x 軸)任意轉(zhuǎn)動，即Pm=Tm←oPo.外框在彈體坐標(biāo)系中繞橫滾軸轉(zhuǎn)動一周，可以使光軸向量在彈體坐標(biāo)系中指向除“對頂錐體”(“對頂錐體”如圖2所示，它是光軸指向范圍的形象表示，其范圍由光軸向量與內(nèi)框坐標(biāo)系y 軸的夾角決定)之內(nèi)的任意方向，稱這個指向盲區(qū)為錐體盲區(qū)。如圖2所示，當(dāng)光軸向量不與內(nèi)框坐標(biāo)系y 軸垂直時，導(dǎo)引頭不能通過繞橫滾軸和偏擺軸的旋轉(zhuǎn)使光軸指向“對頂錐體”之內(nèi)的方向。

單個錐體的錐頂角為π-2φ，盲區(qū)在立體空間的立體角為

圖2 光軸在彈體坐標(biāo)系中指向示意圖Fig.2 Optical axis in the coordinate system

由(5)式可知，要消除光軸向量的盲區(qū)，必須使盲區(qū)的立體角為0°.這一結(jié)論由圖2可以形象地體現(xiàn)出來。只有光軸向量在內(nèi)框坐標(biāo)系y 軸上的投影坐標(biāo)為0(即光軸向量在垂直于內(nèi)框坐標(biāo)系的y 軸之平面內(nèi))，才能消除錐體盲區(qū);只有消除了錐體盲區(qū)才能使解算結(jié)果正確，否則將出現(xiàn)最小二乘解，引入很大的誤差。

2 超半球穩(wěn)定算法

由第1 節(jié)討論可知，必須把導(dǎo)引頭光軸定位在內(nèi)框坐標(biāo)系的光軸全球穩(wěn)定跟蹤平面之內(nèi)。由基于橫滾/偏擺的兩軸平臺結(jié)構(gòu)可知，在該平面之內(nèi)的光軸向量可以通過繞偏擺軸旋轉(zhuǎn)使其在外框坐標(biāo)系中指向跟蹤平面之內(nèi)的任意方向。依據(jù)極坐標(biāo)框架兩軸平臺結(jié)構(gòu)以及兼顧解算方法的簡化，選取外框坐標(biāo)系、內(nèi)框坐標(biāo)系以及彈體坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸指向一致的位置為基準(zhǔn)位置，使光軸向量與內(nèi)框坐標(biāo)系x 軸重合并且指向相同。

2.1 極坐標(biāo)框架兩軸平臺補償角解算

光軸向量在內(nèi)框坐標(biāo)系中投影坐標(biāo)為(1，0，0)T，記為Pi.將光軸向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到慣性坐標(biāo)系中進行分析。如(6)式所示，

對(6)式進行求導(dǎo)，可得

彈體的姿態(tài)變化有ω、ψ、γ 3 個量，需要用極坐標(biāo)框架兩軸平臺的橫滾角α、偏擺角β 進行補償;(7)式為繁瑣的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，直接對其解算很難得出解析解。因此，本文根據(jù)光軸向量在內(nèi)框坐標(biāo)系中的特性進行求解。將慣性坐標(biāo)系中光軸向量的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換到彈體坐標(biāo)系中，光軸向量在彈體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xm，ym，zm)T.依據(jù)歐拉角矩陣坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系，可得

對(8)式進行展開可得

由于旋轉(zhuǎn)角的周期性以及對稱關(guān)系，為使旋轉(zhuǎn)角的絕對旋轉(zhuǎn)量最小，令角的范圍為［-π，π］。由于反余弦函數(shù)的數(shù)值范圍限制，本文得出兩組解，如(10)式、(11)式所示。

1)偏擺軸正向解:

2)偏擺軸負(fù)向解:

2.2 基于動態(tài)規(guī)劃思想的補償算法優(yōu)化

進行補償控制時，橫滾軸和偏擺軸不是由初始位置一次性轉(zhuǎn)動到當(dāng)前位置，而是由前一時刻位置轉(zhuǎn)動到當(dāng)前位置。由于在當(dāng)前時刻解算得到的控制變量有兩組解，因此，從前一時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)動到當(dāng)前狀態(tài)有兩個路徑。直接比較以上兩組解和的大小，取絕對值和為最小的一組解或者任取其中一組解作為控制角度信息都是不科學(xué)的。所以，需要對兩組解進行合理的選擇，選取一組最優(yōu)的歐拉角作為控制信號。

為了使補償角度最小，必須使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移按照最短的路徑進行補償。如圖3所示。實線為轉(zhuǎn)移的最短路徑。

圖3 歐拉角位置狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.3 State transition of Euler angle

從基準(zhǔn)位置求得的歐拉角有兩組值，與當(dāng)前時刻相應(yīng)角位置相減得兩組增量，比較這兩組增量絕對值和的大小，最小的一組即為最短增量路徑的角度。該組最小解即為最優(yōu)的補償解。選取這組解作為控制信息?；谝?guī)劃的思想對補償解進行了合理的選取。此后的決策都是基于當(dāng)前狀態(tài)(由上一次決策產(chǎn)生)的最優(yōu)決策。算法流程框圖如圖4所示。選取這組解作為控制信號，在一定程度上可以降低對伺服系統(tǒng)動態(tài)性能以及最大轉(zhuǎn)速的要求，從而使系統(tǒng)具有快速的跟蹤能力。

圖4 算法流程圖Fig.4 Flow chart of algorithm

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證本文算法的性能，在不考慮陀螺漂移和測量噪聲的狀態(tài)下［6］，利用MATLAB 仿真軟件進行了實時仿真。初始狀態(tài)時彈體坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系重合。由于導(dǎo)引頭光軸的穩(wěn)定是通過穩(wěn)定光軸向量Pg實現(xiàn)的，為了檢驗穩(wěn)定算法對光軸超半球穩(wěn)定的有效性以及角度補償特性，本文在慣性坐標(biāo)系中對光軸向量指向前半球和后半球兩種情況進行仿真分析。

3.1 光軸向量指向前半球

當(dāng)光軸指向前半球時，考慮到目標(biāo)機動，令光軸坐標(biāo)為(sinω，0，cosω)T(慣性坐標(biāo)系)，其中ω=π·(1+cost/2)/2，仿真中假設(shè)彈體受到沿彈體x 軸、y 軸、z 軸的正弦擾動頻率均為3 rad/s，沿彈體x 軸、y 軸的幅度為2 rad，沿彈體z 軸擾動幅度為0.1 rad.取正向解和優(yōu)化后的解進行仿真，結(jié)果如圖5所示。

圖5 光軸在前半球時補償量及誤差對比圖Fig.5 Compensation and error comparison inthe forward hemisphere

圖5(a)中橫滾角α 補償量幅度比較大，對其求導(dǎo)后的補償角速度很大，與之對應(yīng)的圖5(b)中橫滾角α 補償量幅度很小，對其求導(dǎo)后的補償速度較小，圖5(c)、5(d)中優(yōu)化前后的偏擺角β 補償量幅度相差很小，優(yōu)化前的補償角速度大于優(yōu)化后的補償角速度。由圖5(e)、5(f)可知，優(yōu)化前后的光軸指向誤差Δθ 很小，接近于0 rad.

3.2 光軸向量指向后半球

當(dāng)光軸指向后半球時，考慮到目標(biāo)機動，令光軸坐標(biāo)為(-sinω，0，cosω)T(慣性坐標(biāo)系)，其中ω=π(3/4+cost/8)，仿真中假設(shè)彈體受到沿彈體x 軸、y 軸、z 軸的正弦擾動頻率均為3 rad/s，沿彈體x 軸、y 軸幅度為2 rad，沿彈體z 軸擾動幅度為0.1 rad.仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 光軸在后半球時補償量及誤差對比圖Fig.6 Compensation and error comparison in the back hemisphere

圖6(a)中橫滾角α 補償量幅度較大并且對其求導(dǎo)后的補償角速度很大，與之對應(yīng)的圖6(b)中橫滾角α 補償量幅度很小，對其求導(dǎo)后的補償角速度較小，補償曲線變化平滑。圖6(c)、6(d)中優(yōu)化前后的偏擺角β 補償量幅度相差很小，優(yōu)化后的角補償曲線變化平滑;優(yōu)化前的補償角速度略大于優(yōu)化后的補償角速度。由圖6(e)、6(f)可知，優(yōu)化前后的光軸指向誤差很小，接近于0 rad.

通過大量的仿真可知，正向解補償量的幅度和補償角度變化率均大于優(yōu)化后的補償量，且優(yōu)化后的補償曲線變化平滑，它們的穩(wěn)定誤差均接近于0.正向解的補償量中出現(xiàn)了大角度跳動，是反三角函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)致的，優(yōu)化后消除了這一問題。從仿真結(jié)果可知文中算法具有具有較高的穩(wěn)定精度。由此可知文中穩(wěn)定算法的超半球穩(wěn)定性以及補償量的有效性。

4 結(jié)論

極坐標(biāo)框架兩軸平臺光軸超半球穩(wěn)定對于提高戰(zhàn)機后半球防御和攻擊能力有重要的意義。本文提出的光軸超半球穩(wěn)定算法可以很好地抑制彈體的擾動以及目標(biāo)機動的影響，使光軸超半球穩(wěn)定，是一種有效可行的穩(wěn)定算法。

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