光電跟蹤系統(tǒng)的激光回波率下界估計

索曉峰，楚天鵬，盛安冬，戚國慶

(南京理工大學 自動化學院，江蘇 南京210094)

在光電跟蹤系統(tǒng)中，目標坐標測定儀是一類配有圖像處理功能的連續(xù)目標航路參數(shù)測量設(shè)備［1］。激光回波率則是指測定儀接收到的有效回波數(shù)與發(fā)射的重頻激光脈沖數(shù)的比率［2］，其直接關(guān)系到航路是否能有效建立以及目標運動參數(shù)的估計性能，因而是重要的設(shè)計指標之一。

不完全量測是指探測概率小于1 的量測［3］，其下的跟蹤估計問題，是近幾年比較熱門的研究課題。在不完全量測下，跟蹤系統(tǒng)的數(shù)據(jù)探測往往利用服從Bernoulli 分布的隨機變量進行描述。

在實際工程中，當其他條件相同時，光電跟蹤系統(tǒng)的估計性能往往隨著激光回波率的下降而降低。因此，本文給出了一個激光回波率的下界，當跟蹤系統(tǒng)實際回波率高于這個下界值時，濾波器統(tǒng)計意義下的估計誤差協(xié)方差對任意的估計初值均收斂，即可以建立有效的航路;若實際激光回波率低于這個下界，則統(tǒng)計意義下的估計誤差協(xié)方差可能會發(fā)散，導致無法建立有效的航路。

1 問題描述

傳統(tǒng)光電跟蹤系統(tǒng)球坐標下的位置量測變換到笛卡爾坐標系下，跟蹤系統(tǒng)可表示為:

式中:Xk∈Rn×1為k 時刻的目標狀態(tài);Fk為適維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Wk∈Rn×1為0 均值協(xié)方差為Qk的高斯白噪聲;Zk=［xkykzk］T為笛卡爾坐標系下的位置轉(zhuǎn)換量測;Hk=［I3×303×(n-3)］為笛卡爾坐標系下量測矩陣;為笛卡爾坐標系下位置轉(zhuǎn)換量測誤差，并且服從均值為零協(xié)方差為Rk的高斯分布。同時，目標初始狀態(tài)誤差、目標運動噪聲Wk以及跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)換量測噪聲Vk之間互不相關(guān)。

當目標測定儀的激光光束打到目標上，并且能被接收，則稱測定儀接受到了有效的激光回波;反之，若激光沒有回波或者回波未被接收，則稱測定儀回波無效。對于本文所討論的坐標測定儀，為簡化問題討論并不失一般性，將有效回波目標區(qū)域定義為一寬為2a、高為2b 的矩形域，如圖1所示。

圖1 靶標坐標系Fig.1 Target coordinates

用一個服從Bernouli 分布的隨機變量dk來描述測定儀激光回波是否有效。令 dk=即激光跟蹤系統(tǒng)的激光打在有效區(qū)域Ω，并且接受到有效的回波;dk=0，即激光跟蹤系統(tǒng)的激光打在有效區(qū)域Ω 外，或者激光跟蹤系統(tǒng)沒有接受到回波。dk的概率分布為p{dk=1}=λ，p{dk=0}=1-λ，λ 即為光電跟蹤系統(tǒng)的激光回波率。

則在不完全量測下，(1)式可用下式替代

dk與量測噪聲Vk滿足，

式中:N(a，b)為變量服從均值為a，方差為b 的高斯分布。dk=1，回波有效，噪聲變量服從均值為0，方差為Rk的正態(tài)分布;dk=0，回波無效，對應的σ 取極限形式:σ2→∞，噪聲變量的方差為∞.

2 激光回波率下界與估計性能

2.1 有效濾波的激光回波率下界

對于(2)式所表示的光電跟蹤系統(tǒng)模型，依據(jù)不完全量測的理論，采用標準Kalman 濾波器對目標狀態(tài)進行估計，則可得濾波器時刻k+1 狀態(tài)估計的一步預測誤差協(xié)方差Pk+1滿足

則統(tǒng)計意義下的光電跟蹤系統(tǒng)修正代數(shù)Riccati 方程(MARE)為

依據(jù)文獻［4］，可得

引理1 若(Fk，Q1/2k)可控，(Fk，Hk)可觀，F(xiàn)k不穩(wěn)定，且?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，則?λc∈［0，1)，s.t.

其中MP0≥0，由引理1 可知當跟蹤系統(tǒng)可控可觀，并且跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計意義下的量測噪聲協(xié)方差存在某個上界時，跟蹤系統(tǒng)存在一個臨界回波率λc.當跟蹤系統(tǒng)的回波率小于或者等于臨界回波率λc時，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計意義下的估計誤差協(xié)方差對某些估計初值將會發(fā)散;而當跟蹤系統(tǒng)的回波率大于臨界回波率λc時，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計意義下的估計誤差協(xié)方差對任意估計初值均會收斂。接下來將進一步給出跟蹤系統(tǒng)臨界回波率λc的預估上下界。

引理2 若?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，則

式中:α=max|σi|，σi為矩陣Fk的特征值。(8)式和(9)式給出了臨界回波率的取值范圍。考慮到Fk的特征值往往相等并且等于1，此時有α=1，λ=0.那么臨界回波率λc滿足0≤λc≤

當對于任意的初值P0，E［Pk］均有界時，才能獲得有效的濾波航路。依據(jù)引理1 和引理2，可得

推論 若?Rmax，s.t.Rmax≥E(Rk)，?k，令

當λ≥λ*時，對于?P0≥0，?MP0≥0，嚴格滿足E［Gλ］≤MP0.

λ*即為嚴格意義下，能獲得有效濾波航路的激光回波率下界。

定義一個輔助函數(shù)

當K=FkPk(Hk)T［HPk(Hk)T+Rk］?K*，有Gλ(Pk，Rk)=φRk(K*，Pk)≤φRk(K，Pk)，當?X，s.t.X ＞ Gλ(X，Rmax)時，有?(KX，X)，s.t.X ＞Gλ(X，Rmax)=φRmax(KX，X )，其 中 KX=FkX(Hk)T［HkX (Hk)T+ Rmax］;又當?(K，X)，s.t.X ＞φRmax(K，X)時，有?X，s.t.X ＞φRmax(K，X)≥gλ(X，Rmax).即(10)式等價為

由(12)式看出，λ*被描述為一個非線性矩陣不等式(NMI)的最優(yōu)解。通常采用求解雙線性矩陣不等式(BMI)問題的攝動線性化方法來設(shè)計求解上述非線性矩陣不等式(NMI)的最小化問題［5］。基本思想是:先將NMIX ＞φRmax(K，X)關(guān)于變量λ，K，X 攝動線性化，再在攝動范圍內(nèi)求解λ，K，X 的攝動量，使探測概率λ 減小，直至X ＞φRmax(K，X)關(guān)于變量K，X 沒有可行解，或者λ 的攝動量甚微結(jié)束。

2.2 不完全量測下的估計性能研究

一般來說，CRLB 被廣泛應用為跟蹤系統(tǒng)的估計性能指標，它給出了濾波器估計誤差協(xié)方差的理論下界。跟蹤系統(tǒng)的估計誤差協(xié)方差滿足Pk|k≥Jk-1，其中Jk為Fisher 信息矩陣(FM)，CRLB 是FM的逆，Ck=J-1k.由文獻［3］可知，不完全量測下的Jk修正遞推公式為

則修正的CRLB 下界為

(15)式即為統(tǒng)計意義下，目標測定儀激光回波率與修正的CRLB 的關(guān)系。

3 分析與應用

下面針對實際靶場測量到的3 條標準航路，對光電跟蹤系統(tǒng)激光回波率下界和性能指標進行仿真分析。

光電跟蹤系統(tǒng)數(shù)據(jù)量測精度為σr=5 m，σθ=0.1°，σφ=0.3°;回波周期T=0.32 s;對于航路一，取目標狀態(tài)對于航路二和航路三取目標狀態(tài)

3.1 航路一

航路一為實際靶場測量到的一條勻速直線航路，航速近似為250 m/s，航高近似1 000 m，航捷近似750 m.X0=［-172，-41，-4 753，250，1 091，5］T.

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時間的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路一)Fig.2 Relationship between E(Rk)and k in airway 1

由圖2可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動迭代算法求激光回波率的下界。當取不同振動幅度的迭代計算結(jié)果如表1所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為48.7%.

采用不同的激光回波率，通過濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對目標航路測定的影響，如圖3所示。

表1 航路一不同攝動幅度的迭代計算結(jié)果Tab.1 Iterative results of different perturbation intensity in airway 1

圖3 激光回波率對目標航路測定的影響(航路一)Fig.3 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 1

針對航路一，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 回波率與CRLB 關(guān)系(航路一)Fig.4 Relationship between laser echo rate and CRLB in airway 1

3.2 航路二

航路二為勻速圓周航路，航高近似1 000 m，運動半徑r=5 000 m，運動角速度ω=0.05 rad/s.X0=［4 000，-200，-10，3 000，150，-7.5，1 000，0，0］T.

其中:

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時間的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路二)Fig.5 Relationship between E(Rk)and k in airway 2

由圖5可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動迭代算法求激光回波率的下界。當取不同振動幅度的迭代計算結(jié)果如表2所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為43.2%.

采用不同的激光回波率，通過濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對目標航路測定的影響，如圖6所示。

表2 航路二不同攝動幅度的迭代計算結(jié)果Tab.2 Iterative result of different perturbation intensity in airway 2

圖6 激光回波率對目標航路測定的影響(航路二)Fig.6 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 2

針對航路二，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖7所示。

圖7 回波率與CRLB 關(guān)系(航路二)Fig.7 Relationship between laser echo rate and CRLB in airway 2

3.3 航路三

航路三為一條俯沖航路，航高近似4 000～2 000 m，縱向加速度10 m/s2，水平速度120 m/s，航捷500 m，X0=［-1 939.2，120，0，500，0，0，4 000，0，-10］T.

式中:T 為跟蹤系統(tǒng)采樣周期;?為Kronecher 乘積;I3×3為三階單位矩陣。首先給出E(Rk)與采樣時間的關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8 E(Rk)與采樣周數(shù)數(shù)k 的關(guān)系(航路三)Fig.8 Relationship between E(Rk)and k in airway 3

由圖8可以看出，Rmax=E(R1)≥E(Rk)，?k.此時最大迭代次數(shù)為100，根據(jù)攝動迭代算法求激光回波率的下界。當取不同振動幅度的迭代計算結(jié)果如表3所示，τi＞0，i=1，2，3 表示攝動幅度。從表中可以看出，激光回波率下界為47.6%.

表3 航路三不同攝動幅度的迭代計算結(jié)果Tab.3 Iterative result of different perturbation intensity in airway 3

采用不同的激光回波率，通過濾波所得到的航路，可以看出激光回波率對目標航路測定的影響，如圖9所示。

針對航路三，采取不同的回波率，可得在不同情況下跟蹤性能指標CRLB 下界與λ 的關(guān)系，如圖10所示。

圖9 激光回波率對目標航路測定的影響(航路三)Fig.9 Effect of laser echo rate on target measurement in airway 3

圖10 回波率與CRLB 關(guān)系(航路三)Fig.10 Relationship between laser echo rate and CRLB inairway 3

通過光電跟蹤系統(tǒng)對3 條不同航路進行仿真比較，從圖3、圖6、圖9中可以看出，當λ=0.7，0.9時，3 條濾波所得的航路都能夠很貼切的逼近目標運動軌跡;當λ=0.5 時，濾波所得的航路與目標運動軌跡雖然都有稍許的偏差，但并不會發(fā)散;當λ=0.3 時，濾波航路與目標運動軌跡都有較大的偏差，濾波所得的航路完全偏離了實際目標的運動軌跡。因此可以看出，當激光回波率高于回波率下界時，都能取得有效的濾波航路，反之可能發(fā)散，濾波無效。以上3 條濾波航路所求的回波率下界都低于50%，因此在工程中，往往取激光回波率遠高于50%，就能夠確保濾波所得航路的收斂，濾波有效。

同樣，從圖4、圖7、圖10中，可以看出，當λ=1時，即為完全量測情況的下的跟蹤濾波，此時，目標跟蹤系統(tǒng)的誤差方差的下界最小;而當λ=0.6 和λ=0.8 時，誤差方差的下界大于完全量測情況，但相差較小;而當λ=0.3 時，可以看出系統(tǒng)的誤差方差下界遠大于完全量測的情況，濾波誤差較大?？梢缘贸觯敿す饣夭试降?，跟蹤系統(tǒng)的誤差方差的下界就越大，系統(tǒng)的跟蹤性能越差。因此，在工程成本和條件的允許下，回波率越高，濾波的效果越好。

4 結(jié)論

本文依據(jù)不完全量測理論，定義了能夠建立有效航路的激光回波率下界，并將該下界表示為一個非線性不等式的最優(yōu)解形式，對實際工程應用具有一定的指導作用，避免了在設(shè)計工作中的盲目性。對跟蹤系統(tǒng)在3 種場景下的回波率下界進行計算可知，回波率下界均小于50%.由此可知當跟蹤系統(tǒng)的回波率高于50%時，跟蹤系統(tǒng)統(tǒng)計意義下的估計誤差協(xié)方差對任意估計初值均收斂;反之，可能發(fā)散。同時，分析了在不同激光回波率下跟蹤系統(tǒng)的估計性能的差別，可知當激光回波率越高，系統(tǒng)的跟蹤精度越高。通過工程應用，也證明了本文的結(jié)論具有實際參考作用。

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