光學(xué)像差圖像隨機波前編碼混合成像

羅林，高曉蓉，王澤勇，王黎

(西南交通大學(xué) 光電工程研究所，四川 成都610031)

提高光學(xué)系統(tǒng)成像的分辨力水平，一直是光學(xué)設(shè)計的主要目標(biāo)，如何減少或消除光學(xué)系統(tǒng)像差是光學(xué)設(shè)計研究領(lǐng)域的重要課題。除了傳統(tǒng)的消除像差方法外［1-4］，最近幾年，一些作者提出了采用數(shù)字圖像處理來消除像差對圖像分辨率影響的方法［5-9］，Dowski 和Cathey 等［10-12］提出在傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)入瞳處放置特別制作的相位板，對像差或低分辨圖像進行波前編碼。在采用波前編碼的混合光學(xué)成像系統(tǒng)中，通過相位板編碼物生成的圖像，用數(shù)字圖像處理復(fù)原編碼圖像，所恢復(fù)圖像的分辨率已達到近光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。

本文提出了一種隨機波前編碼消除光學(xué)像差的方法。采用一種能在光學(xué)系統(tǒng)入瞳面上產(chǎn)生隨機波前的相位板，使像差圖像轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機編碼圖像，該隨機相位板不同于Dowski 所提出的，其結(jié)構(gòu)簡單、易于加工，對于隨機波前并不需要精確設(shè)計;用盲反卷積解碼中間像成無像差圖像。如果這種方法能夠成功引入傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)中，就可以選用犧牲一部分儀器加工設(shè)計精度，而采用數(shù)字圖像處理方法最終獲得高分辨圖像輸出，同時可以校正成像過程中的對準(zhǔn)誤差和減小噪聲。

1 隨機波前編碼成像

隨機波前編碼成像系統(tǒng)和傳統(tǒng)光學(xué)成像的區(qū)別是在成像系統(tǒng)孔徑光闌處放置了一個可產(chǎn)生隨機波前的相位板，使具有光學(xué)像差的圖像受到隨機擾動，成為中間像。用位于像面上的數(shù)字CCD 采集中間像，并通過數(shù)字圖像處理解碼中間像。相位板在混合光學(xué)成像系統(tǒng)中的作用是在光學(xué)系統(tǒng)的入瞳面上產(chǎn)生隨機波前，從而改變了系統(tǒng)點擴散函數(shù)的性質(zhì)，使中間像對傳統(tǒng)光學(xué)固定像差的影響不敏感，并通過控制相位屏隨機波前特性，使獲得的隨機擾動中間像更利于數(shù)字圖像處理算法復(fù)原。

按照光學(xué)系統(tǒng)非相干成像原理，系統(tǒng)成像特性由點擴散函數(shù)表示，也就是

式中:P(u)為理想非相干光學(xué)系統(tǒng)光瞳函數(shù);φ(u)為入瞳上的波前相位

式中:WS(u)為相位板產(chǎn)生的隨機像差，WD(u)為光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的固定像差。

常見的光學(xué)系統(tǒng)初級像差的二維形式為［13］

離焦:

球差:

慧差:

像散:

式中Ai為各種像差系數(shù)。當(dāng)波前WD(u，v)=0 時，光學(xué)系統(tǒng)為理想成像情況，儀器的分辨率由孔徑的衍射效應(yīng)決定。存在光學(xué)像差時，圖像的分辨率降低，系統(tǒng)成像特性由(1)式?jīng)Q定，以此評價光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。當(dāng)在光學(xué)系統(tǒng)入瞳上加入特殊相位板控制其波前，可改變光學(xué)系統(tǒng)成像特性。

隨機波前編碼用特別制作的隨機相位板實現(xiàn)，相位板隨機波前模型采用［14］

式中:C 為常數(shù);k 為波數(shù);R(k)為0 均值、單位方差的復(fù)高斯隨機過程;Fφ(k)為具有Kolmogorov 統(tǒng)計分布的相位起伏功率譜

式中r0為相干長度，控制相位板的隨機波前特性。

相位板的制作有2 種方法:1)在隨機波前編碼中，采用特定軟件按(7)式生成一組隨機波前數(shù)據(jù)，用微光學(xué)加工技術(shù)制作已知波前隨機特性的相位板;2)采用本文中的激光散斑干涉方法，用全息干板記錄散斑干涉圖作為相位板。

圖1分別表示光學(xué)系統(tǒng)在衍射、單獨存在離焦像差和在有離焦像差加隨機波前擾動情況下的光學(xué)系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)一維曲線，其中離焦像差最大邊緣值為Wm=2λ，經(jīng)隨機波前擾動后，調(diào)制傳遞函數(shù)離焦的特征被明顯削弱，說明相位板的隨機波前擾動可以減小固定像差對圖像的影響。

圖1 像差為衍射、離焦和離焦加隨機擾動情況的光學(xué)調(diào)制傳遞函數(shù)Fig.1 Optical modulation transfer functions with diffraction or defocuses aberration，and defocus added random wave front

2 波前編碼圖像解碼

經(jīng)波前編碼成像系統(tǒng)后的目標(biāo)圖像是編碼退化圖像，等于目標(biāo)函數(shù)和系統(tǒng)點擴散函數(shù)的卷積，頻域表示成

式中:G(u)、H(u)、O(u)、N(u)分別為編碼像、點擴散函數(shù)、原始目標(biāo)和噪聲的頻域表示。

由于未知系統(tǒng)點擴散函數(shù)，解碼方法采用盲反卷積。在許多場合如天文領(lǐng)域，使用盲反卷積消除大氣隨機擾動對圖像分辨率的影響［15-16］，同樣的方法適用于隨機波前編碼圖像的恢復(fù)。

假設(shè)所有的測量數(shù)據(jù)都有高斯統(tǒng)計分布形式，每個點擴散函數(shù)獨立無關(guān)。按照Bayes 原則，測量數(shù)據(jù)、物分布和點擴散函數(shù)3 者滿足條件聯(lián)合概率密度

式中P(·)為概率密度函數(shù)，優(yōu)化時采用對數(shù)形式的負(fù)值作為價值函數(shù)即

盲反卷積過程通過最小化(11)式和對可能的解進行約束來得到(x)和(x)的估計。式中的第1 項常稱之似然項，它形式取決于噪聲統(tǒng)計特性;第2、第3 項分別表示有關(guān)物分布和點擴散函數(shù)的先驗知識;第4 項代表測量偏差，如果探測器是無偏的，該項是一常數(shù)，優(yōu)化時可以忽略不計。

考慮到頻域中圖像的對稱性，在頻域中實施優(yōu)化可減少估計的變量數(shù)，加快優(yōu)化速度。不考慮物分布有關(guān)的支持域約束，對噪聲進行低通濾波，并加入傳遞函數(shù)頻率有限帶寬約束，則價值函數(shù)表示為

式中:W(u)為低通濾波器，起到抑制噪聲的作用;Bc(u)為帶通濾波器，作用是限制所估計(x)的頻率處于光學(xué)系統(tǒng)截止頻率uc之內(nèi)，當(dāng)u ＜uc時取1，u ＞uc取0.可見，價值函數(shù)的優(yōu)化是一個最小二乘方問題，用共軛梯度優(yōu)化法進行優(yōu)化［17］。一個簡化的梯度優(yōu)化迭代算法如下，每一步算法迭代為

式中α 為收斂參數(shù)。算法迭代的每一步所得到的估計^hk(x)，^o(x)，均使價值函數(shù)減小，因此反復(fù)的迭代，并通過給定迭代次數(shù)或中止條件，算法最后可得到(x)，(x)的優(yōu)化估計。算法的收斂性取決于對所估計(x)，(x)施加的約束條件，最簡單和最有力的約束是(x)，(x)變量正性化，而點擴散函數(shù)歸一化則保證優(yōu)化過程中的能量守恒。調(diào)整低通濾波器W(u)的濾波強度，能進一步提高算法的收斂性，對減少恢復(fù)圖像虛假信息有利。

3 實驗?zāi)M結(jié)果

為了測試所提出方法的有效性，進行了計算機模擬和實驗室實驗。在計算機模擬實驗時，首先用軟件生成一組獨立的隨機相位數(shù)據(jù)，模擬相位板，實驗室實驗則采用激光散斑干涉法制作相位板。

模擬實驗像差包括離焦、像散和同時有離焦像散的3 種成像情況，并用256 像素×256 像素的土星作為測試圖像。

計算機模擬時，用調(diào)整相干長度r0控制相位板的隨機特性，圖像噪聲信噪比為40 dB，采用盲反卷積算法解碼碼圖像，每次用10 幅圖像，100 次算法迭代。

圖2為像散像差模擬實驗結(jié)果，最大像散2λ，中心波長500 nm，包括原始圖像、像散圖像、編碼短曝光像和復(fù)原圖像，以及對應(yīng)的對數(shù)振幅譜圖像(lg(1+ |·|2)).圖2(b)為未編碼的像散圖像，從振幅譜圖像可見明顯的像散特征，圖2(c)為經(jīng)編碼后的像散圖像，可以看出像散已被削弱，圖2(d)為圖2(c)的復(fù)原解碼圖像，像差已被消除。

圖3為混合像差編碼模擬實驗，同時有3λ 離焦和2λ 像散圖像的實驗結(jié)果。圖3(b)是同時有離焦和像散的像差圖像，圖3(c)是圖3(b)的編碼圖像，圖中可見像差經(jīng)編碼后明顯被削弱，圖3(d)是編碼圖像的復(fù)原，結(jié)果像差已被消除。

從模擬實驗結(jié)果可以看出，所提出的方法不僅能消除單一的像差，而且能消除混合像差，包括非對稱像差的情況。實驗中有意在土星附近添加3 顆衍射成像不可分辨的小星，通過實驗展示所提出方法的分辨力特性。從圖中的結(jié)果可以看出，隨機波前擾動使光學(xué)像差的影響力下降，這在振幅譜圖像中更加明顯。從復(fù)原解碼圖像的振幅譜顯示，恢復(fù)圖像的頻率成分超過了光學(xué)衍射截止頻率，已達到或接近超衍射極限分辨率的水平。

圖4為復(fù)原解碼圖像的估計誤差與算法迭代次數(shù)的關(guān)系，顯示了算法的收斂特性，估計誤差的定義為

圖2 像散圖像模擬實驗Fig.2 Astigmatic image simulation experiment

由圖4中可見，圖像估計誤差隨迭代次數(shù)增加而下降，在迭代達到一定次數(shù)時，估計誤差變化已很小，說明這時增加迭代次數(shù)對改進恢復(fù)圖像的質(zhì)量已無多大意義;無噪聲與有噪聲的復(fù)原解碼情況相比，無噪聲情況下估計誤差較小，算法收斂更快。

計算機模擬結(jié)果表示，通過隨機波前編碼和數(shù)字圖像處理方法可以消除光學(xué)像差對圖像的影響，相位板產(chǎn)生的隨機波前改變了光學(xué)系統(tǒng)入瞳面上的波前性質(zhì)，光學(xué)像差從原來固定性質(zhì)變?yōu)殡S機特性，當(dāng)隨機波前的隨機性達到一定的水平，光學(xué)像差對圖像的影響就會被削弱。雖然隨機波前使光學(xué)像差的影響減弱，圖像分辨率由此下降，但是真實物的信息仍然隱藏在擾動圖像中，當(dāng)用盲反卷積算法在消除圖像中隨機波前擾動時，光學(xué)像差隨著一起被消除。還可以看出，通過數(shù)字圖像處理隨機擾動圖像，復(fù)原解碼圖像的分辨率不僅好于像差圖像，而且分辨率達到光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。

圖3 混合光學(xué)像差圖像模擬實驗Fig.3 Mixed optical aberrations simulation experiment

為了測試混合成像系統(tǒng)的性能，進行了實驗室實驗。在Coolsnap 數(shù)字CCD 相機近入瞳處放置隨機相位板，對模擬圖像進行成像，拍攝時故意產(chǎn)生一定離焦，如圖5(a)所示。圖5(b)為盲反卷積算法100 次迭代復(fù)原解碼圖像，實驗結(jié)果顯示復(fù)原解碼后圖像已沒有離焦的影響。

圖4 算法迭代次數(shù)與復(fù)原圖像估計誤差關(guān)系Fig.4 Relationship of algorithm iterations and restored image estimate error

圖5 實驗室實驗圖像Fig.5 Experiment image of laboratory

4 結(jié)論

本文展示了一種對傳統(tǒng)光學(xué)像差不敏感的混合光學(xué)成像系統(tǒng)，系統(tǒng)包括2 部分:傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)和數(shù)字圖像處理。在光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌上加裝一個隨機相位板，對有像差的圖像進行編碼，用數(shù)字圖像處理方法復(fù)原編碼圖像獲得高分辨圖像。編碼圖像復(fù)原算法采用盲反卷積，并采用頻域共軛梯度優(yōu)化方法，提高復(fù)原速度，通過盲反卷積復(fù)原編碼圖像，使圖像中隨機擾動和噪聲得到有效消除。計算機模擬和實驗室結(jié)果顯示，所提出的混合光學(xué)成像系統(tǒng)在一定像差范圍內(nèi)具有不受光學(xué)像差影響，并具有抑制噪聲的能力，成像質(zhì)量達到或接近光學(xué)系統(tǒng)衍射極限水平。通過采用隨機編碼相位板混合光學(xué)成像系統(tǒng)，可以降低光學(xué)設(shè)計和加工成本，在消除傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)像差和提高光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法上提供了一個新的途徑。

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