考慮慣性效應(yīng)的移動(dòng)彈丸作用下身管振動(dòng)特性

史躍東，王德石

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033)

火炮射擊過程中，身管的加工缺陷和自重彎曲、布爾登效應(yīng)、移動(dòng)彈丸的重力和偏心力、膛內(nèi)的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩等［1］諸多因素均會(huì)影響射擊精度。其中彈丸膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)下的重力和偏心力是激發(fā)身管振動(dòng)的一個(gè)主要因素，同時(shí)，火炮新型發(fā)射原理的誕生，也對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)沖擊引起的振動(dòng)產(chǎn)生了研究需求。在高速彈丸的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下，將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)與身管振動(dòng)的耦合，這種耦合在常規(guī)出口速度的條件下，往往不被重視，而新型電磁炮發(fā)射架的總體設(shè)計(jì)中，由于彈丸出口速度的提高，彈丸膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)將引起發(fā)射架的何種振動(dòng)就成為需要研究的理論問題。高速運(yùn)動(dòng)彈丸有可能成為影響火炮射擊精度的重要因素。因此，有必要對(duì)彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的身管振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)行研究。

對(duì)于此類問題的研究，早期主要存在于鐵路、橋梁和機(jī)械工程領(lǐng)域，其討論的重點(diǎn)為移動(dòng)質(zhì)量載荷作用下梁的動(dòng)力響應(yīng)［2-4］。在國內(nèi)，葉開沅等［5］針對(duì)列車過橋問題，建立了任意單個(gè)移動(dòng)激勵(lì)作用下鐵路橋梁的動(dòng)力學(xué)方程，并采用小參數(shù)法給出了方程的一般解; 姜沐［6］采用Picard 迭代法對(duì)文獻(xiàn)［5］中方程進(jìn)行了重新求解，在應(yīng)用上更具廣泛性，且簡明易用。周叮［7］和康新中等［8］將該類分析方法應(yīng)用于火炮振動(dòng)領(lǐng)域，研究了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起的火炮身管橫向振動(dòng)問題，但只進(jìn)行了定性分析，沒有進(jìn)行定量計(jì)算;在忽略移動(dòng)載荷慣性效應(yīng)的前提下，姜沐［9］進(jìn)一步建立了加速彈丸作用下火炮身管橫向振動(dòng)方程，給出了級(jí)數(shù)形式的解析解和定量計(jì)算結(jié)果。到目前為止，在火炮振動(dòng)研究領(lǐng)域內(nèi)，關(guān)于這方面的研究工作還較少，理論分析與定量計(jì)算也不多。

在以往該類研究的基礎(chǔ)上，建立了彈丸膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)下計(jì)及其慣性效應(yīng)的火炮身管橫向振動(dòng)方程，采用小參數(shù)法給出了方程級(jí)數(shù)形式的解析解，討論了彈丸有、無質(zhì)偏2 種工況下的身管振動(dòng)特性，分析了不同運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)炮口振動(dòng)的影響規(guī)律，給出了定量比較結(jié)果，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了連發(fā)射擊下的炮口振動(dòng)響應(yīng)，得到的結(jié)論可為火炮與彈藥的總體設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 移動(dòng)彈丸作用下身管橫向振動(dòng)方程

將身管簡化為一端固定另一端自由的歐拉均勻等截面懸臂梁，假定彈丸沿炮膛軸線運(yùn)動(dòng)，力學(xué)模型如圖1所示。圖1中:m 為彈丸質(zhì)量;α 為射角;l 為身管長度;v 為彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)平均速度;y(x，t)為身管在坐標(biāo)(x，0)處的撓度; F(t)為不計(jì)慣性效應(yīng)時(shí)彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)作用于身管上的等效合外力。

設(shè)身管的抗彎剛度為EI，質(zhì)量為M，取縱坐標(biāo)Oy，橫坐標(biāo)Ox，在計(jì)及阻尼和彈丸慣性效應(yīng)時(shí)，移動(dòng)彈丸作用下身管橫向振動(dòng)方程(Oy 方向?yàn)檎?

式中:H 為阻尼衰減系數(shù); δ(x - vt)為Dirac 函數(shù);為計(jì)及彈丸慣性效應(yīng)后作用于身管上的外力附加項(xiàng)。(1)式的邊界條件和初始條件分別為

欲使上述方程更具一般性，進(jìn)行無量綱化處理，引入下列無量綱變量

則(1)式～(3)式的無量綱形式分別為

鑒于ε?0.5，選其為小參數(shù)，在邊界條件(6)式和初始條件(7)式下，用小參數(shù)法［10］(5)式。將(5)式的解w 展成如下形式的ε 的升冪級(jí)數(shù)

式中:w0，w1，w2，…為含x'，t'的待定函數(shù)。將(8)式代入(5)式～(7)式中，同時(shí)將ε 因次相同的項(xiàng)合并在一起，可得一系列關(guān)于w0，w1，w2，…及相應(yīng)邊界條件、初始條件的微分方程。

對(duì)于w0，有如下方程，邊界條件和初始條件

令w0的解為

式中:λi=(i-0.5)π;Φi(x')為滿足邊界條件(10)式的懸臂梁振型函數(shù)。將(12)式代入(9)式，兩端乘以Φi(x')，然后由0 到1 對(duì)x'積分，得

其中

將(12)式代入(11)式，即得對(duì)應(yīng)于w0的初始條件

在初始條件(14)式下，由Duhamel 積分解(13)式可得

因此(9)式的解可寫為

對(duì)于w1，有如下方程，邊界條件和初始條件

令w1的解為

將(16)式、(20)式代入(17)式，進(jìn)行和前面過程一樣的處理，得如下方程和初始條件

式中

這里

在初始條件(22)式下，解(21)式得

對(duì)于w2，w3，…，可按同樣思路求解，將其全部代入(8)式，即可得w 級(jí)數(shù)形式的解析表達(dá)式。

2 振動(dòng)算例

由于彈丸膛內(nèi)高速運(yùn)動(dòng)具有瞬時(shí)沖擊性，即使身管發(fā)生輕微彎曲，彈丸通過時(shí)也會(huì)對(duì)其產(chǎn)生極大的作用力。這里將彈丸對(duì)身管的作用力分為2 種工況進(jìn)行討論: 1)彈丸無質(zhì)偏，2)彈丸有質(zhì)偏。

2.1 彈丸無質(zhì)偏

當(dāng)彈丸無質(zhì)偏時(shí)，(1)式中等效合外力F(t)可簡化為移動(dòng)彈丸自重對(duì)身管的作用力，因此有

式中:f(t')為ε 的一次式，故可將其并入(5)式無量綱化處理后的慣性附加項(xiàng)中。此時(shí)采用前敘小參數(shù)法進(jìn)行振動(dòng)方程的求解，易知w 中的w0分量恒為0，只須計(jì)算ε 的非0 次項(xiàng)即可，可設(shè)

將(24)式～(25)式代入(5)式，整理可得對(duì)應(yīng)于wq，q=1，2，…，的振動(dòng)方程，這里以w1為例有

式中邊界條件、初始條件和解法的處理與前面介紹的完全一致。求得w1后，采用類似方法可迭代求出w 中其余各項(xiàng)，再利用(4)式反解算出y，即可完成問題的最終求解。

對(duì)此種工況下推得的解析結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值仿真，參數(shù)選取:m=13.5 kg;v=687.5 m/s;l=5.5 m;α=45°; E =210 GPa; g =9.8 m/s2.仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 炮口振動(dòng)分量yn(l，t)Fig.2 Component yn(l，t)of muzzle vibration

圖2為與w(1，t')相對(duì)應(yīng)的炮口振動(dòng)幅度y(l，t)的各分量仿真結(jié)果。從圖2可以看出，y1(l，t)的數(shù)值變化范圍(10-6m)遠(yuǎn)大于其余分量(10-7m)，因此在y(l，t)的最終數(shù)值確定中起主導(dǎo)地位。圖3為不同計(jì)算精度下y(l，t)的仿真結(jié)果，其中實(shí)線為計(jì)算到(25)式的第3 項(xiàng)，虛線為計(jì)算到第5 項(xiàng)。比較圖中曲線可發(fā)現(xiàn)，2 種情況下的仿真結(jié)果一致，誤差＜1%.實(shí)際上，由文獻(xiàn)［11］可知，一般情況下，采用小參數(shù)法進(jìn)行本類問題的求解，取小參數(shù)解的前3 項(xiàng)便有足夠的精度。

圖3 不同計(jì)算精度下的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.3 Muzzle vibration y(l，t)under different calculation precisions

改變彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度v，重新進(jìn)行炮口振動(dòng)幅度y(l，t)的數(shù)值仿真，所得結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看出，隨著v 的增大，彈丸飛出炮口階段(0.7l/v≤t≤l/v)的炮口振動(dòng)幅度減小; 反之，v 減小，振動(dòng)幅度增大。

圖4 不同運(yùn)動(dòng)速度下的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.4 Muzzle vibration y(l，t)at different projectile velocities

圖5 v 趨近于0 時(shí)的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.5 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches 0

圖5為v 趨近于0 時(shí)的炮口振動(dòng)仿真結(jié)果。此時(shí)觀察彈丸飛出炮口瞬時(shí)(t =l/v)的炮口振動(dòng)幅度y(l，l/v)，結(jié)果如表1所示。表1中，v=0 時(shí)的y(l，l/v)值是在不考慮阻尼和彈丸慣性效應(yīng)的前提下計(jì)算出來的，其值與彈丸直接作用于炮口處的靜態(tài)形變值相同。比較表中數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，隨著v 的不斷減小，彈丸飛出炮口瞬時(shí)炮口處的振動(dòng)形態(tài)逐漸趨近于彈丸直接作用于炮口處的靜變形。

表1 v 趨近于0 時(shí)的炮口振動(dòng)y(l，l/v)Tab.1 Muzzle vibration y(l，l/v)when v approaches 0

圖6為v 趨近于∞時(shí)的炮口振動(dòng)仿真結(jié)果。與v 趨近于0 時(shí)類似，觀察彈丸飛出炮口瞬時(shí)的炮口振動(dòng)幅度y(l，l/v)，結(jié)果如表2所示。隨著v 的不斷增大，彈丸飛出炮口瞬時(shí)炮口處的振動(dòng)形態(tài)逐漸趨近于靜止。

圖6 v 趨近于∞時(shí)的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.6 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches ∞

表2 v 趨近于∞時(shí)的炮口振動(dòng)y(l，l/v)Tab.2 Muzzle vibration y(l，l/v)when v approaches ∞

2.2 彈丸有質(zhì)偏

彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于膛線的作用，使得彈丸沿身管軸線方向除作高速平移運(yùn)動(dòng)處，還作高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)彈丸如果存在質(zhì)偏，其在膛內(nèi)的高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生極大的離心力，從而影響彈丸與身管之間的作用力。反映到(1)式中，F(xiàn)(t)不能再僅簡化為彈丸自重對(duì)身管的作用力，而應(yīng)附加考慮彈丸離心力的作用，即

式中:Rs為彈丸質(zhì)量偏心距;ω 為彈丸膛內(nèi)轉(zhuǎn)速。對(duì)于等齊膛線，由彈道學(xué)相關(guān)理論知

式中: η 為纏度; d 為身管內(nèi)徑。將(27)式、(28)式代入(24)式，整理有

求得f(t')后，采用與彈丸無質(zhì)偏時(shí)相同的處理方法，即可完成問題的求解。下面重點(diǎn)考察彈丸質(zhì)量偏心對(duì)身管炮口處振動(dòng)幅度的影響，即僅取f(t')表達(dá)式中的第2 項(xiàng)來討論。參數(shù)選取: η =27，Rs=10-4d，其余參數(shù)保持不變，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 質(zhì)偏作用下炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.7 Muzzle vibration y(l，t)for mass-unbalance projectile

圖7給出了彈丸質(zhì)偏作用下炮口振動(dòng)隨時(shí)間變化的響應(yīng)曲線，其數(shù)值變化范圍與圖3中相同，都為10-6m.但比較兩圖后可發(fā)現(xiàn)，質(zhì)偏作用下單次射擊周期內(nèi)的炮口振蕩次數(shù)明顯增多了，這主要是因?yàn)镕(t)中含有正弦變化量所引起的。

圖8為變化彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度v 后，質(zhì)偏作用下炮口振動(dòng)的仿真曲線。從圖8中可看出，隨著v的增大，彈丸飛出炮口階段(0.7l/v≤t≤l/v)的炮口正向振動(dòng)幅度減小，負(fù)向振動(dòng)幅度增大; 反之，v 減小，則運(yùn)動(dòng)規(guī)律相反。事實(shí)上，由于考慮質(zhì)偏時(shí)F(t)的取值比較復(fù)雜，既與彈丸運(yùn)動(dòng)速度v 相關(guān)，又為t 的周期函數(shù)，因此圖8中反映出的炮口振動(dòng)變化規(guī)律僅在局部范圍(膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間處于6～10 ms)內(nèi)成立，對(duì)于全局范圍內(nèi)的炮口振動(dòng)還需進(jìn)一步分析。取v 趨近于0，重新進(jìn)行炮口的振動(dòng)仿真，如圖9所示。比較圖9中曲線可發(fā)現(xiàn)，隨著v 的取值大幅度減小，炮口振動(dòng)幅度亦大幅度減小，并逐漸趨近于0.分析可知，由于v 的取值大幅度減小，勢(shì)必造成彈丸離心力的大幅度減小，從而導(dǎo)致炮口振幅的快速衰減。同理，亦可對(duì)v 趨近于∞時(shí)的炮口振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

圖8 不同運(yùn)動(dòng)速度下的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.8 Muzzle vibration y(l，t)at different projectile velocities

圖9 v 趨近于0 時(shí)的炮口振動(dòng)y(l，t)Fig.9 Muzzle vibration y(l，t)when v approaches 0

2.3 連發(fā)射擊

進(jìn)一步討論連發(fā)射擊時(shí)移動(dòng)彈丸激勵(lì)下身管的橫向振動(dòng)特性。這里以2 連發(fā)為例，設(shè)第1 發(fā)彈丸飛出炮口瞬時(shí)，第2 發(fā)彈丸恰好進(jìn)入膛內(nèi)，則對(duì)第2發(fā)彈丸激勵(lì)下的身管有以下初始條件

式中: w*為第2 發(fā)射擊時(shí)的無量綱撓度; tg為無量綱射擊間隔; A、B 為第2 發(fā)彈丸激勵(lì)下的身管狀態(tài)初值，由第1 發(fā)彈丸激勵(lì)下身管的末狀態(tài)值決定。此時(shí)，對(duì)應(yīng)于第2 發(fā)彈丸的方程(15)式應(yīng)改寫為

采用類似方式，可改寫文中對(duì)應(yīng)于第2 發(fā)彈丸的其余方程，并依此進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。參數(shù)選取與彈丸無質(zhì)偏時(shí)一致，仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 2 連發(fā)射擊下的炮口振動(dòng)Fig.10 Muzzle vibration y(l，t)in burst of fire

由圖10可知，連發(fā)彈丸激勵(lì)下的炮口振動(dòng)幅度數(shù)量級(jí)為10-5m，遠(yuǎn)大于單發(fā)激勵(lì)時(shí)的10-6m.可見第2 發(fā)彈丸激勵(lì)下的炮口振動(dòng)受到第1 發(fā)的影響，使得炮口振動(dòng)有增大趨勢(shì)，即火炮連發(fā)射擊時(shí)的炮口振動(dòng)幅度遠(yuǎn)大于單發(fā)射擊，因此射擊精度會(huì)有所下降。同時(shí)還可發(fā)現(xiàn)，連發(fā)射擊時(shí)的炮口振動(dòng)較為復(fù)雜，并不是單發(fā)激勵(lì)下炮口振動(dòng)的簡單重現(xiàn)。同樣，可進(jìn)行多連發(fā)射擊下炮口振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)仿真。

3 結(jié)論

本文基于小參數(shù)理論討論了計(jì)及慣性效應(yīng)的移動(dòng)彈丸作用下身管橫向振動(dòng)特性，并對(duì)彈丸有、無質(zhì)偏2 種工況下及連發(fā)射擊下的炮口振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了較全面的分析，得到主要結(jié)論如下:

1)彈丸無質(zhì)偏時(shí)，膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)速度v 越大，其飛出炮口階段的炮口振動(dòng)幅度越小。對(duì)于新型電磁炮而言，雖然彈丸運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于常規(guī)火炮，但對(duì)發(fā)射架的振動(dòng)影響不大。

2)彈丸有質(zhì)偏時(shí)，其離心力作用下的炮口振動(dòng)特性較為復(fù)雜，應(yīng)綜合考慮彈丸離心力、自重等因素的影響，合理控制彈丸膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)速度，使得合外力F(t)作用下的炮口振動(dòng)保持盡量小的幅度。以達(dá)到對(duì)炮口振動(dòng)的最佳抑制。

3)建立的動(dòng)力學(xué)方程同樣適用于連發(fā)彈丸激勵(lì)下的身管振動(dòng)求解。連發(fā)射擊下的炮口振動(dòng)遠(yuǎn)大于單發(fā)射擊，射擊精度呈下降趨勢(shì)。

文中采用的建模方法和小參數(shù)解法，亦可應(yīng)用于移動(dòng)激勵(lì)作用下其它相關(guān)工程振動(dòng)問題的求解。下一步工作的研究方向?yàn)榭紤]v 隨t 變化的情況，此時(shí)方程(5)式中各偏導(dǎo)項(xiàng)系數(shù)不再為常量，而為t的函數(shù)，問題求解的工作量會(huì)有所增大。

References)

［1］奧爾洛夫Б В.炮身構(gòu)造與設(shè)計(jì)［M］.王天槐，劉淑華，譯.北京: 國防工業(yè)出版社，1982:157 -167.Орлов Б В.Structure and design for barrel［M］.WANG Tianhuai，LIU Shu-hua，translated.Beijing: National Defense Industry Press，1982:157 -167.(in Chinese)

［2］Stokes G G.Discussion of a differential equation relating to the breaking of railway bridges［J］.Transactions of the Cambridge Philosophical Society，1982，5: 707 -735.

［3］Timoshenko S P.On the forced vibration of bridges［J］.Philosophical Magazine，1922，43(6): 1018 -1019.

［4］Michaltaos G，Sophianopoulos D，Kounadis A N.The effect of a moving mass and other parameters on the dynamic response of a simply supported beam［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，191(3): 357 -362.

［5］葉開沅，馬國琳.計(jì)及行動(dòng)載荷質(zhì)量及慣性力影響的列車過橋動(dòng)力理論［J］.中國科學(xué)A 輯，1984，(4): 338 -352.YE Kai-yuan，MA Guo-lin.Dynamical theory for vehicle-bridge considering moving loads and inertia forces［J］.Science in China，1984，(4): 338 -352.(in Chinese)

［6］姜沐.移動(dòng)質(zhì)量載荷在梁中激起的振動(dòng)［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2002，24(6): 44 -47.JIANG Mu.The dynamic response of a beam under a moving mass［J］.Mechanics in Engineering，2002，24(6): 44 - 47.(in Chinese)

［7］周叮，謝玉樹.彈丸膛內(nèi)運(yùn)動(dòng)引起炮管振動(dòng)的小參數(shù)法［J］.振動(dòng)與沖擊，1999，18(1): 76 -81.ZHOU Ting，XIE Yu-su.The small parameter method for barrel vibration subjected to moving projectile［J］.Journal of Vibration and Shock，1999，18(1): 76 -81.(in Chinese)

［8］康新中，吳三靈，馬春茂.火炮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［M］.北京: 國防工業(yè)出版社，1999: 67 -72.KANG Xin-zhong，WU San-ling，MA Chun-mao.Dynamics of gun system［M］.Beijing: National Defense Industry Press，1999:67 -72.(in Chinese)

［9］姜沐，郭錫福.彈丸加速運(yùn)動(dòng)在身管中激發(fā)的振動(dòng)［J］.彈道學(xué)報(bào)，2002，14(3): 57 -68.JIANG Mu，GUO Xi-fu.On the vibration of tube due to accelerately moving projectile［J］.Journal of Ballistics，2002，14(3):57 -68.(in Chinese)

［10］劉延柱，陳立群.非線性振動(dòng)［M］.北京: 高等教育出版社，2001: 63 -67.LIU Yan-zhu，CHEN Li-qun.Nonlinear vibration［M］.Beijing:Higher Education Press，2001: 63 -67.(in Chinese)

［11］奈弗A H.攝動(dòng)方法［M］.上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社，1983: 10 -21.Nafu A H.Disturbance method［M］.Shanghai: Shanghai Technology Press，1983: 10 -21.(in Chinese)