n階k次冪等矩陣的性質(zhì)

張緒緒, 劉 青

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部, 陜西 咸陽 712000;2.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 北京 100083)

0 引 言

矩陣是代數(shù)學(xué)的一個重要研究對象,也是數(shù)學(xué)分支不可缺少的工具,矩陣論方法對處理其它各分支問題也相當(dāng)有力,所以本文在冪等矩陣的基礎(chǔ)上定義n階k次冪等矩陣,并總結(jié)出它的一些性質(zhì),進而對每個性質(zhì)給予了必要的證明.下面討論關(guān)于n階k次冪等矩陣的相關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

性質(zhì)1(AT)n=(An)T,n∈N*;(A-1)n=(An)-1,n∈N*.

定義1若存在可逆矩陣P,使得P-1BP,則A與B相似.

定義2設(shè)A是n階矩陣,若存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A,則稱A為n階k次冪等矩陣.以下簡稱k次冪等矩陣.

3 n階k次冪等矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)2k次冪等矩陣的轉(zhuǎn)置是k次冪等矩陣.

證明設(shè)A是k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A,則

(AT)k=(Ak)T=AT

假設(shè)存在m∈N-{0,1}且m

性質(zhì)3k次冪等矩陣的l(l∈N)次冪是p(p∈N-{0,1})且p≤k)次冪等矩陣.

證明設(shè)A是k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A,則(Al)k=(Ak)l=Al,由最小數(shù)原理可知,一定存在p∈N-{0,1}且p≤k,使得(Al)p=Al.因此Al是p次冪等矩陣.

性質(zhì)4[3]k次冪等矩陣的特征值為0和k-1次單位根.

證明設(shè)A是k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A.

設(shè)λ是A的任意一個特征值,α是A的屬于特征值λ的一個特征向量,因而有α≠0且λα=Aα,由于Ak=A,則Akα=Ak-1(Aα)=Ak-1λα=…=λkα,即λkα=Akα=Aα=λα因為α≠0,所以λk=λ,即λ=0或λk-1=1,因此,A的特征值為0和k-1次單位根.

性質(zhì)5k次冪等正交矩陣的k-1次是單位矩陣.

證明設(shè)A為k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A,由A是正交矩陣知AAT=E(AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣,E為單位矩陣)則

E=AAT=AkAT=Ak-1AAT=Ak-1E

即Ak-1=E,因此,n階k次冪等正交矩陣A的k-1次冪是單位矩陣.

性質(zhì)6設(shè)A,B同為k次冪等矩陣且可交換,則AB是p(p∈N-{0,1}用p≤k)次冪等矩陣.

證明因為A,B同為k次冪等矩陣,所以存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得

Ak=A,Bk=B

又因為A與B可交換,則AB=BA,(AB)k=AkBk=AB.

根據(jù)最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)p∈N-{0,1}且p≤k,使得(AB)p=AB

因此,AB是p(p∈N-{0,1}且p≤k)次冪等矩陣.命題得證.

推論1設(shè)A,B同為k次冪等矩陣且可交換,同時AB=O(O表示零矩陣),那么A+B為p(p∈N-{0,1}且p≤k)次冪等矩陣.

證明根據(jù)性質(zhì)3.5可證;也可根據(jù)定義證明，因為A,B同為k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A,Bk=B,又A,B可交換，知AB=BA=O,因而有

由最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)p∈N-{0,1}且p≤k,使得(A+B)p=A+B,因而A+B為p次冪等矩陣.

性質(zhì)7若A為k次冪等正交矩陣[5],則AT=Ak-2.

證明由A為正交矩陣知,AAT=ATA=E,那么矩陣A可逆,即

A-1=AT

又A為k次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A.因而有

Ak-2=Ak-1A-1=AkA-1A-1=AA-1A-1=A-1=AT

因此AT=Ak-2,命題得證.

性質(zhì)8與k次冪等矩陣相似[6]的矩陣仍為k次冪等矩陣.

證明設(shè)A是k次冪等矩陣,B是與A相似的矩陣,則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A.又由于B與A相似,則存在n階可逆矩陣Q,使得B=Q-1AQ[4],則

Bk=Q-1AkQ=Q-1AQ=B

假設(shè)存在m∈N-{0,1}且m

性質(zhì)9[7]若A為k次冪等矩陣,且A與對角矩陣B相似,則B的對角線上元素為0或k-1次單位根.

證明由A是實對稱矩陣知,存在正交矩陣p,使

性質(zhì)11若A,B均為數(shù)域F上的n階矩陣,如果ABl-1=A(l∈N-{0,1})且BAk-1=B(k∈N-{0,1}),則A是p(p∈N-{0,1}且p≤k)次冪等矩陣,B是q(q∈N-{0,1}且q≤l)次冪等矩陣.

證明因為ABl-1=A且BAk-1=B,則

ABl-1Ak-1=(ABl-1)Ak-1=Ak,ABl-1Ak-1=(ABl-2)(BAk-1)=ABl-1=A

因此Ak=A.根據(jù)最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)p∈N-{0,1}且p≤k,使得Ap=A.故A是p次冪等矩陣.同理BAk-1Bl-1=(BAk-1)Bl-1=Bl,BAk-1Bl-1=(BAk-2)(ABl-1)=BAk-1=B,因此Bl=B,根據(jù)最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)q∈N-{0,1}且q≤l,使得Bq=B,故B是q次冪等矩陣.命題得證.

性質(zhì)12[8]若A是k次冪等矩陣,R(A)是矩陣A的值域,則Ak-1x=x的充要條件是x∈R(Ak-1).

證明必要性 設(shè)x∈Fn(數(shù)域F上所有n×1階矩陣組成的集合)滿足Ak-1x=x,則必有x∈R(Ak-1).

充分性Ak=A,若x∈R(Ak-1),則必存在y∈Fn,使得Ak-1y=x.于是Ak-1x=Ak-1(Ak-1y)=Ak-2(Aky)=Ak-2Ay=x,從而命題得證.

性質(zhì)13設(shè)A是k次冪等矩陣,B是l次冪等矩陣,證明

⑴A與B有相同的值域當(dāng)且僅當(dāng)Ak-1B=B,Bl-1A=A.

⑵A與B有相同的核當(dāng)且僅當(dāng)ABl-1=A,BAk-1=B.

證明⑴必要性 若AV=BV(V表示數(shù)域F上的一個向量空間),則對于?β∈V,Bβ∈AV,即存在α∈V,使得Bβ=Aα,又A是k次冪等矩陣, 則存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A.因而(Ak-1B)β=Ak-1(Bβ)=Ak-1Aα=Akα=Aα=Bβ,由β的任意性得知Ak-1B=B.同理Bl-1A=A.

充分性 由于Ak-1B=B,則BV=(Ak-1B)V=A(Ak-2B)V?AV.同理AV?BV,所以,AV=BV.

⑵必要性 因為B是l次冪等矩陣,則存在最小正整數(shù)l∈N-{0,1},使得Bl=B.那么Bl-B=B(Bl-1-E)=O(O表示零矩陣),則對于?α∈V,有B[(Bl-1-E)α]=0(0表示列向量),即(Bl-1-E)α∈B-1(0),又A-1(0)=B-1(0),則(Bl-1-E)α∈A-1(0),即[A(Bl-1-E)]α=(ABl-1-A)α=0.再根據(jù)α的任意性得,ABl-1=A.同理BAk-1=B.

充分性 若ABl-1=A,則對于?α∈V,(ABl-1-A)α=[A(Bl-1-E)]α=A[(Bl-1-E)α]=0.

即(Bl-1-E)α∈A-1(0)，又因為B[(Bl-1-E)α]=(Bl-B)α=0，即(Bl-1-E)α∈B-1(0)再根據(jù)α的任意性有A-1(0)?B-1(0).同理可證B-1(0)?A-1(0),因此A-1(0)=B-1(0).命題得證.

性質(zhì)14[8]任意一個n階矩陣A都可以分解成一個n階可逆矩陣與一個2次冪等矩陣的乘積.

性質(zhì)15設(shè)A是非零n階k次冪等正交矩陣,m≠0,n≠0,mAk-1+nEn可逆的充要條件是m+n≠0.

證明充分性 若m+n≠0,則|(m+n)En|≠0,即(m+n)En可逆.又因為n階k階次冪等正交矩陣的k-1次冪是單位矩陣,即Ak-1=En,則有

mAk-1+nEn=mEn+nEn=(m+n)En

因此,mAk-1+nEn可逆.

必要性 因為A是非零n階k次冪等正交矩陣,則Ak-1=En,又因為mAk-1+nEn=mEn+nEn=(m+n)En.若mAk-1+nEn可逆,m≠0且n≠0,則(m+n)En可逆,因此m+n≠0.綜上命題成立.

根據(jù)最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)p∈N-{0,1}且p≤m,使得

證明由已知知,存在最小正整數(shù)m∈N-{0,1},使得

根據(jù)最小數(shù)原理知,存在最小正整數(shù)p∈N-{0,1}且p≤m,使得

性質(zhì)17設(shè)A為非零k次冪等矩陣,則A的全體實系數(shù)多項式構(gòu)成實數(shù)域上的不超過k維的線性空間[10].

證明因為A為非零k次冪等矩陣,即存在最小正整數(shù)k∈N-{0,1},使得Ak=A.所以A的實系數(shù)多項式的一般表達式為f(A)=a1Ak-1+…+ak-2A2+ak-1A+akE.

顯然f(A)可以用E,A,A2,…,Ak-1線性表示出.又因為E,A,A2,…,Ak-1的秩小于等于k,故A的全體實系數(shù)多項式構(gòu)成實數(shù)域上的不超過k維的線性空間.

推論3若A為可逆k次冪等矩陣,則A的全體實系數(shù)多項式構(gòu)成實數(shù)域上的不超過k-1維線性空間.

證明因為A為可逆k次冪等矩陣,由性質(zhì)3.5知,Ak-1=E(k∈N-{0,1}),那么E,A,A2,…,Ak-1等價于E,A,A2,…,Ak-2.又因為E,A,A2,…,Ak-2的秩小于等于k-1,故A的全體實系數(shù)多項式構(gòu)成實數(shù)域上的不超過k-1維的線性空間.

4 結(jié)束語

本文在冪等矩陣的有關(guān)概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,把一般矩陣的性質(zhì)推廣到特殊的n階k次冪等矩陣,極大的豐富了代數(shù)這門課的內(nèi)涵,推廣了冪等矩陣研究的相關(guān)理論.至于這種推廣的理論與實際應(yīng)用價值怎樣,它對其它科學(xué)研究將產(chǎn)生何種影響,還有待科研工作者進一步探索與發(fā)掘.

參考文獻

[1] 張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2003.

[2] 倪國熙.常用的矩陣理論和方法[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.1984.

[3] 楊 洪,宋千紅.關(guān)于冪等矩陣的幾個性質(zhì)[J].黑龍江八一龍墾大學(xué)學(xué)報,2009,8(3):84-87.

[4] 劉道建.矩陣及其性質(zhì)[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報,2005,24(5):45-48.

[5] 陳公寧.矩陣理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[6] 史榮昌,魏 豐.矩陣分析[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2005.

[7] 郭 華.實冪等矩陣的幾個等價條件[J].渝州大學(xué)學(xué)報,2001,18(2):20-23.

[8] 楊聞起.k次冪等變換與k次冪等矩陣[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008,28(4):261-262.

[9] Roger A.Horn,Charles R.Johnson.Matrix Analysis[M].China:Machine Press,2005,(2):3-8.

[10] 朱 敏.一類常見矩陣的性質(zhì)[J].巢湖學(xué)院院報,2002,4(3):6-7.