GM(1,1)模型的優(yōu)化及應(yīng)用

劉 苗, 燕列雅

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710055 )

0 引 言

GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的基礎(chǔ)與核心，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.它將系統(tǒng)看成一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，不需要大量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)就能建立預(yù)測(cè)模型.近年來，不少學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)了其諸多局限性并做了改進(jìn)，取得了較好的效果[1-3].文獻(xiàn)[4]從背景值的幾何意義出發(fā)，提出了優(yōu)化的GM(1,1)模型，從而提高了模型的精度.文獻(xiàn)[5]用齊次指數(shù)函數(shù)擬合一次累加生成序列，由此優(yōu)化背景值，提高了精度.

本文在文獻(xiàn)[4]、[5]對(duì)背景值優(yōu)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行了殘差修正，并優(yōu)化了殘差GM(1,1)模型.通過數(shù)據(jù)比較表明本文優(yōu)化后的模型預(yù)測(cè)精度更高，具有較高的應(yīng)用價(jià)值.

1 GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化

1.1 原GM(1,1)模型的建立

設(shè)非負(fù)的原始序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，X(0)的一次累加生成序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，其中

(1)

構(gòu)造背景值序列Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}，其中

z(1)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(2)

則GM(1,1)模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)為

(3)

定義GM(1,1)的白話方程為

(4)

(5)

1.2 背景值的優(yōu)化

設(shè)當(dāng)Z(1)(k+1)為x(1)(t)在區(qū)間[k,k+1]上的背景值時(shí)，則有

此處的背景值即為x(1)(t)在區(qū)間[k,k+1]上的定積分.

令x(1)(t)=cebt，假設(shè)此曲線過點(diǎn)x(1)(k)，x(1)(k+1)，那么有

x(1)(k)=cebk

(6)

x(1)(k+1)=ceb(k+1)=cebk+eb

(7)

由式(6)、(7)得

優(yōu)化后的背景值為

(8)

用背景值式(8)替代式(2)，再由公式(1)、(3)、(4)、(5)建模并對(duì)新的模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè).

2 殘差GM(1,1)模型的優(yōu)化

z(1)(k+1)為x(1)(t)在區(qū)間[k,k+1]上的背景值，當(dāng)序列為低指數(shù)增長序列時(shí)，式(5)較適合，模型偏差較小.但當(dāng)序列為高指數(shù)增長序列時(shí)，式(5)會(huì)產(chǎn)生較大滯后誤差，從而導(dǎo)致精度不夠高.

現(xiàn)令

(9)

然后建立殘差GM(1,1)模型，其殘差修正值

優(yōu)化后的預(yù)測(cè)值

3 實(shí) 例

預(yù)測(cè)值為

記文獻(xiàn)[4]優(yōu)化的GM(1,1)模型為優(yōu)化模型1，本文改進(jìn)的模型為優(yōu)化模型2，與原GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值和相對(duì)殘差作比較，結(jié)果見表1.

表1 優(yōu)化模型與原模型計(jì)算結(jié)果比較

結(jié)果表明，由于原始序列及其殘差序列是高指數(shù)增長序列，數(shù)據(jù)變化急劇，因此用原GM(1,1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果誤差很大，而本文提出的模型精度明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[4]所給出的模型.

4 結(jié) 論

(1) 本文在原模型優(yōu)化背景值的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)殘差模型進(jìn)行優(yōu)化，通過實(shí)例比較表明其能有效地提高預(yù)測(cè)精度.

(2) 當(dāng)殘差中有負(fù)數(shù)時(shí)，需先進(jìn)行非負(fù)處理，再建模預(yù)測(cè).

參考文獻(xiàn)

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