梁振動(dòng)問(wèn)題的擬小波-精細(xì)時(shí)程積分法

鄒 佩， 曲小鋼

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院, 陜西 西安 710055)

0 引 言

本文采用擬Shannon小波對(duì)空間域進(jìn)行離散，有效的改變了差分法穩(wěn)定性對(duì)步長(zhǎng)比的敏感性，并結(jié)合精細(xì)時(shí)程積分法可以長(zhǎng)時(shí)間精確計(jì)算的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)梁振動(dòng)問(wèn)題高精度、穩(wěn)定的求解.

1 梁振動(dòng)方程的擬Shannon小波-精細(xì)時(shí)程積分法

1.1 擬Shannon小波數(shù)值方法

對(duì)于混合問(wèn)題

(1)

采用擬Shannon小波對(duì)空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散：

(2)

但是正則樣本尺度函數(shù)不滿足正交規(guī)范化小波尺度函數(shù)的條件，因此，Gauss正則化后的樣本尺度函數(shù)稱為擬尺度函數(shù)，由此生成的小波就是擬小波函數(shù).

利用(2)式，f(x)可進(jìn)一步重構(gòu)為

(3)

由于擬小波具有良好的局域特性，實(shí)際計(jì)算時(shí)只需要在網(wǎng)格點(diǎn)x附近取2W個(gè)計(jì)算點(diǎn).(3)式對(duì)于空間坐標(biāo)的n階導(dǎo)數(shù)為

(4)

(5)

1.2 方程的離散

由于精細(xì)時(shí)程積分法適宜于關(guān)于時(shí)間變量的一階微分方程，故首先將關(guān)于時(shí)間的二階微分方程改寫(xiě)成等價(jià)的一階微分方程組：

(6)

(7)

記Y(t)=(u1,u2,…,uM-1,v1,v2,…,vM-1)T,則上式可以寫(xiě)成矩陣形式：

Y′(t)=HY(t)

(8)

利用初始條件Y(tn)=Yn，在區(qū)間[tn,tn+1]上對(duì)(8)式進(jìn)行積分，得

Yn+1=T(Yn+Q)-Q

(9)

利用公式(9)進(jìn)行遞推計(jì)算時(shí)，需先算出列向量Q和指數(shù)矩陣T.

1.3 精細(xì)時(shí)程積分法

首先給出指數(shù)矩陣T(τ)=exp(Hτ)，其中τ=tk+1-tk,H為矩陣的計(jì)算方法.

將T(τ)表示為

(10)

(11)

因此矩陣T(τ)可表示為

T(τ)=[exp(HΔt)]2N=(I+Tα)2N-1(I+Tα)2N-1

(12)

其中I是單位矩陣，這樣的分解一直做N次，便可以得到T(τ)的高精確度值.

因?yàn)镠是常矩陣，式(11)的通解可以寫(xiě)成Y(t)=exp(Ht)Y0.

Yn+1=TYn

(13)

(14)

表1 數(shù)值算例結(jié)果

迭代N次，然后取T=I+TN即可.只要正整數(shù)N,J適當(dāng)大，就能保證T有足夠的精確度.

2 數(shù)值算例

取l=1，a2=π2，g1(x)=sin(πx)+1，g2(x)=0，g3(t)=1，N=20,J=5.用擬小波-精細(xì)時(shí)程積分法進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如表1所示.由于問(wèn)題的對(duì)稱性，表中只列出了左半根梁的計(jì)算結(jié)果，該問(wèn)題的精確解為u=1+sinπxcosπt(計(jì)算總時(shí)間均為10 s).

利用文[4]的有限差分法計(jì)算τ=0.1,h=0.05, 得到數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為10-4數(shù)量級(jí)，可見(jiàn)本文的擬Shannon小波精細(xì)積分法有10-6數(shù)量級(jí)的相對(duì)誤差.

3 結(jié) 論

(1)空間步長(zhǎng)越小，計(jì)算的精度越高.

(2)在使用迭代公式計(jì)算指數(shù)矩陣T時(shí)，正整數(shù)N和J的值越大計(jì)算結(jié)果越精確，算例表示取N=20,J=5就能得到較好的精確度.

(3)精細(xì)時(shí)程積分法中的時(shí)間步長(zhǎng)可以取較大的值，并且可以長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算.

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