基于無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的人民幣/美元匯率短期預(yù)測(cè)模型

張延利， 張德生， 井霞霞， 任世遠(yuǎn)

(西安理工大學(xué)理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

0 引 言

匯率[1]是國(guó)家宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)調(diào)控的重要手段和杠桿，體現(xiàn)著一個(gè)國(guó)家貨幣對(duì)外價(jià)值和經(jīng)濟(jì)實(shí)力，它直接影響著一個(gè)國(guó)家對(duì)外貿(mào)易、資本流動(dòng)和國(guó)際收支平衡.同經(jīng)濟(jì)發(fā)展模式一樣，各國(guó)不可能選擇完全相同的匯率制度，而應(yīng)從本國(guó)的國(guó)情出發(fā)，制定有效、合理的匯率機(jī)制.從短期看，一種行之有效的匯率制度，不僅要適應(yīng)本國(guó)的貿(mào)易和金融市場(chǎng)的需要，而且還要適時(shí)的調(diào)整和不斷完善，注重保護(hù)本國(guó)幣種少受沖擊；從長(zhǎng)期看切實(shí)可行的匯率機(jī)制，是在匯率合理波動(dòng)的基礎(chǔ)上，把匯率波動(dòng)對(duì)匯率機(jī)制的影響和約束降至最低限度，形成穩(wěn)定、合理、順暢的匯率運(yùn)行機(jī)制，從而各國(guó)政府可以充分發(fā)揮匯率經(jīng)濟(jì)杠桿作用，滿(mǎn)足經(jīng)濟(jì)全面發(fā)展需要，為本國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展服務(wù).

與傳統(tǒng)GM(1,1)模型相比，無(wú)偏GM(1,1)模型不存在傳統(tǒng)GM(1,1)模型所固有的偏差，消除了傳統(tǒng)GM(1,1)模型在原始數(shù)據(jù)序列增長(zhǎng)率較大時(shí)失效的現(xiàn)象，其應(yīng)用范圍較傳統(tǒng)的GM(1,1)模型廣泛.此外，無(wú)偏GM(1,1)模型不需要進(jìn)行累減還原，簡(jiǎn)化了建模步驟，提高了模型的計(jì)算速度.

1 灰色馬爾科夫模型及其改進(jìn)

1.1 傳統(tǒng)GM(1,1)模型的特性分析

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為嚴(yán)格的指數(shù)序列，即:x(0)(k)=Ae-a(k-1),k=1,2,…，N.

其一次累加生成序列為:

(1)

用傳統(tǒng)的GM(1,1)建模方法建立模型可得:

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得:

(2)

最終擬合結(jié)果為:

(3)

比較

x(0)(k)=Ae-a(k-1),k=1,2,…,N

(4)

和

(5)

由此可以看到這兩個(gè)式子存在明顯的差異，所以采用傳統(tǒng)的GM(1,1)模型對(duì)指數(shù)序列建?？偞嬖诓町?

1.2 無(wú)偏GM(1,1)模型

假設(shè)對(duì)指數(shù)序列所建立的模型為：

(6)

2 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型

2.1 無(wú)偏的GM(1,1)模型

利用1.2中的方法建立無(wú)偏的GM(1,1)模型.

2.2 狀態(tài)的劃分

對(duì)于一個(gè)符合馬爾科夫鏈特點(diǎn)的非平穩(wěn)隨機(jī)序列X(0)(k)(k=1,2,…,p)，可根據(jù)實(shí)際需要?jiǎng)澐譅顟B(tài)數(shù)量.

2.3 計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

若Mij(m)為由狀態(tài)?i經(jīng)過(guò)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)?j的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)，Mi為處于狀態(tài)?i的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)，稱(chēng):Pij(m)=Mij(m)/Mi,i=1,2，…,n，為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率[4].

2.4 馬爾科夫性檢驗(yàn)

時(shí)間序列{Xn,n∈T}是否為馬爾科夫鏈關(guān)鍵是檢驗(yàn)其馬氏性[4]，可用以下步驟檢驗(yàn)：

R0j表示當(dāng)數(shù)據(jù)在時(shí)刻t處于狀態(tài)i時(shí)，它在下一時(shí)刻t+1可能到達(dá)的每一個(gè)狀態(tài)的概率向量.

(7)

原假設(shè)：匯率時(shí)間序列不具有馬爾科夫性.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，并與在相應(yīng)的顯著性水平下的值進(jìn)行比較.若統(tǒng)計(jì)量的值大于相應(yīng)的顯著性水平下的值，則可以下結(jié)論，現(xiàn)在利用的匯率時(shí)間序列具有馬爾科夫性；反之，匯率時(shí)間序列不具有馬爾科夫性.

2.5 確定預(yù)測(cè)值

(1) 從第t=n個(gè)數(shù)據(jù)開(kāi)始，計(jì)算出現(xiàn)在它所處的狀態(tài)，記為H,狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣記為P；

(2) 估計(jì)t=n時(shí)的模型預(yù)測(cè)值.計(jì)算一步轉(zhuǎn)移后落入各狀態(tài)的概率H*P,它表示當(dāng)用第n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行一步預(yù)測(cè)時(shí)第n+1個(gè)數(shù)據(jù)可能存在的每個(gè)狀態(tài)的概率.利用這個(gè)概率與對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間相乘即為第n+1個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，令狀態(tài)向量為Q=[Q1,Q2,Q3,Q4,Q5]T,那么第n+1個(gè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值為H*P*Q；

(3) 當(dāng)預(yù)測(cè)第n+d個(gè)值時(shí)計(jì)算方法為H*Pd*Q.

3 實(shí)證分析

本文選取2010年4月1日到2011年3月18日共233個(gè)人民幣/美元匯率時(shí)序數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)自中國(guó)國(guó)家外匯管理局(http://www.safe.gov.cn/model_safe/index.html).利用2010年4月9日到2011年2月18日共213個(gè)時(shí)序數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測(cè)2011年2月21日到2011年3月18日共20個(gè)數(shù)據(jù)，用以判定模型的預(yù)測(cè)效果.利用Eviews5.0和Matlab7.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算.

3.1 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

(1) 根據(jù)無(wú)偏灰色馬爾科夫模型建模方法，利用Matlab編程，建立無(wú)偏GM(1,1)模型為：

(2) 因?yàn)榫秸`差MSE表示離散程度，所以在狀態(tài)的劃分時(shí)用d=MSE/2的倍數(shù)表示區(qū)間長(zhǎng)度.匯率數(shù)據(jù)從整體上看有減小的趨勢(shì)，將狀態(tài)分為5個(gè)，在向下的狀態(tài)劃分時(shí)這里多劃分一個(gè)狀態(tài)，這樣狀態(tài)區(qū)間可以劃分為以下幾種情況：

(3) 馬爾科夫性檢驗(yàn)

首先確定轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣

其次確定轉(zhuǎn)移概率矩陣：

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值為228.997 9，在顯著性水平為0.01時(shí)的臨界值為32.000，顯著性水平為0.05時(shí)的臨界值為26.296，這說(shuō)明不管在哪一種情況下得到的統(tǒng)計(jì)量的值均大于臨界值.原假設(shè)匯率時(shí)間序列不具有馬爾科夫性,因此，現(xiàn)在的匯率時(shí)間序列具有馬爾科夫性，可以利用一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè).

(4) 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

① 從第t=213個(gè)數(shù)據(jù)開(kāi)始，計(jì)算出現(xiàn)在它所處的狀態(tài)，記為

H=[0 0 1 0 0]

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣記為P；

② 估計(jì)t=214時(shí)的模型預(yù)測(cè)值.計(jì)算一步轉(zhuǎn)移后落入各狀態(tài)的概率H*P,它表示當(dāng)用第213個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行一步預(yù)測(cè)時(shí)第214個(gè)數(shù)據(jù)可能存在的每個(gè)狀態(tài)的概率.利用這個(gè)概率與對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間相乘即第214個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值，令狀態(tài)向量為Q=[Q1,Q2,Q3,Q4,Q5]T,那么第214個(gè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值為H*P*Q；

③ 當(dāng)預(yù)測(cè)第d個(gè)值時(shí)計(jì)算方法為H*Pd*Q.

采用ARMA模型、GARCH(1,1)模型、灰色馬爾科夫模型與無(wú)偏的灰色馬爾科夫模型進(jìn)行建模比較，其中ARMA模型估計(jì)見(jiàn)表1.

表1 ARMA模型

表2 GARCH(1,1)模型

對(duì)匯率收益率序列，建立ARMA模型如下，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3.

yt=-0.017 528 191 78-0.807 259 897 6*yt-1+0.146 945 789 9*yt-2+0.997 410 897 7*εt-1

GARCH(1,1)模型估計(jì)見(jiàn)表2.

對(duì)匯率收益率序列，建立GARCH(1,1)模型如下，采用動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3.

yt=0.158 149 355 1*yt-1

GARCH=0.000 131 805 385 1+0.015 480 957 21*RESID(-1)2+0.977 047 495 2*GARCH(-1)

灰色馬爾科夫模型如下，預(yù)測(cè)方法同3.1中(4)的預(yù)測(cè)方法，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 預(yù)測(cè)結(jié)果比較

表4 預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)

從表4可以看出： GARCH(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于ARMA模型；灰色馬爾科夫模型自身存在建模偏差，通過(guò)無(wú)偏灰色馬爾科夫模型進(jìn)行糾正后的預(yù)測(cè)精度得到提高；從這4個(gè)模型的預(yù)測(cè)比較中可以發(fā)現(xiàn)無(wú)偏灰色馬爾科夫模型優(yōu)于其它3個(gè)模型，從而證實(shí)了無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的可行性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了人民幣/美元匯率的無(wú)偏灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，該模型是對(duì)GM(1,1)模型的改進(jìn).實(shí)證研究結(jié)果表明，該模型的預(yù)測(cè)精度優(yōu)于ARMA模型、GARCH(1,1)模型以及灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)精度；灰色序列預(yù)測(cè)是利用GM(1,1)模型，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間序列進(jìn)行數(shù)量大小的預(yù)測(cè)，即隨系統(tǒng)的主行為特征向量發(fā)展變化到未來(lái)特定時(shí)刻出現(xiàn)的數(shù)值進(jìn)行預(yù)測(cè).馬爾科夫概率矩陣預(yù)測(cè)是將時(shí)間序列的看作是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，然后根據(jù)不同的狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)系統(tǒng)的發(fā)展趨勢(shì)，其中轉(zhuǎn)移概率反映了各種隨機(jī)因素的影響程度和各狀態(tài)之間的內(nèi)在規(guī)律性.所以，兩者結(jié)合可以有效的彌補(bǔ)彼此的不足之處，可應(yīng)用于匯率、黃金價(jià)格、石油價(jià)格、股票、期貨市場(chǎng)等領(lǐng)域.

參考文獻(xiàn)

[1] 溫 彬. 人民幣匯率改革的效應(yīng)和趨勢(shì)分析[J]. 國(guó)際金融研究, 2006,(3):50-56.

[2] 鄧聚龍. 灰色理論基礎(chǔ)[M]. 武漢:華中科技大學(xué)出版社, 2002.

[3] 吉培榮，黃巍松，胡翔勇. 灰色預(yù)測(cè)模型特性的研究[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2001,21(9):6-8.

[4] 王夢(mèng)冬. 人民幣匯率短期組合預(yù)測(cè)研究[D]. 天津：天津大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2008.

[5] 范劍青，姚琦偉. 非線(xiàn)性時(shí)間序列[M]. 北京:高等教育出版社, 2005.

[6] 溫麗華. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[D]. 哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2003.

[7] 王莎莎. 基于小波消噪GARCH模型的匯率波動(dòng)序列研究[D]. 濟(jì)南：山東大學(xué)碩士學(xué)位論文, 2009.