分形多孔介質滲流特性的研究

李瑞川, 陳君若, 劉顯茜, 張 賽

(昆明理工大學機電工程學院， 云南 昆明 650093)

0 引 言

多孔介質中流體流動的研究是涉及石油天然氣開采、冶金材料、化工紡織、土壤力學、地下水利用、地學及生命科學等多學科交叉領域中具有重要意義的一項應用基礎性研究，在能源、環(huán)境和生物等眾多科學及工程技術領域中有著重要的應用背景.20世紀70年代Benoit B. Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何理論為研究多孔介質復雜的微觀孔隙結構提供了新的思路和方法.多孔介質具有分形孔隙結構的概念較早是由Avnir等人[1]用分子吸附技術研究巖石孔隙結構后提出的，Kaze、Thompson[2]及Krohn等[3]利用掃描電鏡對多孔的砂巖(sandstone)孔隙結構進行了基于分形概念的表征，并測定了分形維數(shù).Rieu、Sposito[4]借助于Sierpinski地毯圖案提出了孔隙分布的分形模型.目前大量文獻報道表明，土壤、沙石、纖維織物、多孔材料等多孔介質具有分形特征,并且已有學者基于分形幾何概念及多孔介質的微觀特性對多孔介質的滲透輸運性質進行了一定的研究.

本文從多孔介質孔隙結構的微觀特性出發(fā)，根據分形理論的基本性質和流體力學的某些關系式，推導出分形滲透率模型的計算公式，并與前人實驗值進行了比較，預測值和實驗值吻合較好，驗證了模型的準確性，從而提出了對顆粒床滲流過程進行分形研究的可行性.

1 分形理論基礎

根據分形幾何理論，多孔介質孔隙大小分布函數(shù)與孔隙分布分形維數(shù)有如下關系式[5]

(1)

式(1)中N是分形集合體中孔隙半徑等于和大于r的孔隙數(shù)目；rmax是分形集合體中最大孔隙半徑；P(r)是孔隙半徑分布密度函數(shù)；D是孔隙分布分形維數(shù).

將式(1)兩邊對r求導，得孔隙半徑分布密度函數(shù)P(r)的表達式為

(2)

以上式中的孔隙分布分形維數(shù)D可以借助于Box-counting method測量得到，即由式(1)對不同r兩邊取對數(shù)的方法，這種關系在雙對數(shù)坐標上表現(xiàn)為一直線關系，其負斜率即為孔隙分布分形維數(shù)；也可以根據Sierpinski-type gasket自相似性原理(如圖1所示)推導其分形維數(shù)為[6]

(3)

圖1 謝爾賓斯基“籃子”

式中d+是粒子團直徑與最小顆粒直徑之比，εi是粒子團內部的空隙度(令εi=0)，ε是多孔介質的有效空隙度.

針對一個分形集合體(a set of fractal pores)而言，由式(1)第二式進行積分可計算出總的孔隙橫截面積:

(4)

則分形集合體(可看作是一個單元)所對應的橫截面積，即該單元的總面積為:

(5)

式中最大孔隙半徑rmax與顆粒大小ds有關[7].

2 分形滲流速度和滲透率模型

2.1 滲流速度

流體通過單個彎曲毛細管的流量由Hagen-Poiseulle方程[8]決定:

(6)

式中，μ是流體黏度系數(shù)，ω是毛細管迂曲度，p是壓力差.

則流體通過多孔介質單位橫截面積A0的體積流量，即分形多孔介質中的滲流速度表達式為:

(7)

2.2 滲透率

設多孔介質中流體流動服從Darcy定律[9]

(8)

比較式(7)和式(8)，可得分形多孔介質滲透率的分形表達式如下:

(9)

由式(5)和式(9)可見，多孔介質的滲透率是多孔介質孔隙分布分形維數(shù)、空隙度和微觀孔隙結構參數(shù)的函數(shù)，其中ω的計算采用文獻[10]中給出的公式：

(10)

該分形滲透率模型中不包括任何經驗常數(shù)，每一參數(shù)都有明確的物理意義.它反映了分形多孔介質對流體的通過能力，只與多孔介質的微觀結構特性有關，而與流體特性無關.

3 分析與討論

3.1 滲透率分別與孔隙分布分形維數(shù)、孔道迂曲度的關系

分形多孔介質孔隙分布分形維數(shù)D、孔道迂曲度ω是反映多孔介質結構特性的參數(shù).對滲透率K進行關于D和ω的函數(shù)計算，孔道迂曲度ω分別取1.1,1.3和1.5，由圖(2)可見，多孔介質滲透率K隨孔隙分布分形維數(shù)D的增加而呈遞增的趨勢；孔道迂曲度ω越大其滲透率K反而減小.這一變化是合理的.D的增加意味孔隙在空間占有率上的提高和孔相中大尺寸孔隙數(shù)量的增加，其滲透率K越大；而ω越大表明孔道越彎曲，其內部流體流動阻力越大，滲透率K越小.

圖2 滲透率K～D關系曲線 圖3 無量綱滲透率K+～ε關系曲線

3.2 滲透率與空隙度的關系

由式(9)可得無量綱滲透率表達式如下:

(11)

圖4 預測值和實驗值的對比

圖3為無量綱滲透率K+與有效空隙度ε的變化曲線，結果表明無量綱滲透率K+隨有效空隙度ε的增加而呈遞增的趨勢，這與實際情況相符合.

3.3 模型預測值與實驗值的比較

圖4為多孔介質有效空隙度ε取0.42時，基于分形模型和顆粒床中氣體滲流過程Ergun關系式[11]的滲透率預測值與實驗值[12](ds分別取0.112 5, 0.140 0, 0.225 0, 0.317 5)的對比.結果表明，與Ergun關系式的滲透率預測值相比較，分形模型滲透率預測值更加接近實驗值，這也驗證了該模型的準確性和可行性.因此，基于分形理論構造的模型更加符合多孔介質的真實結構特性.

4 結 論

(1)基于分形幾何理論和滲流力學關系式，推導出了分形多孔介質滲流速度和滲透率模型的計算公式，它們可通過多孔介質孔隙分布分形維數(shù)D、有效空隙度空隙度ε和微觀孔隙結構參數(shù)計算出來.

(2)多孔介質滲透率K隨孔隙分布分形維數(shù)D的增大而增大，隨孔道迂曲度ω增大而減?。粺o量綱滲透率K+隨有效空隙度ε的增加而呈遞增的趨勢.

(3)將分形滲透率模型和文獻中的經驗公式進行對比分析，并與前人實驗值進行比較，驗證了模型的準確性.

參考文獻

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[3] Krohn C E. Sandstone fractal and Euclidean pore volume distributions[J]. Geophys Res, 1988, 93(B4): 3 286-3 296; Fractal measurements of sandstone, shale and carbonates[J]. Geophys Res, 1988, 93(B4): 3 297-3 305.

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