分數(shù)階雙卷混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性演化仿真研究

辛寶貴, 馬軍海, 陳 通

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟學(xué)部, 天津 300072; 2.山東科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院, 山東 青島 266510)

0 引 言

混沌與分岔是存在于自然和社會系統(tǒng)中的一種復(fù)雜現(xiàn)象，系統(tǒng)由簡單的狀態(tài)，如均衡狀態(tài)、周期性運動狀態(tài)和擬周期運動狀態(tài)，進入混沌狀態(tài)的方式是復(fù)雜性研究中的一個重要研究課題[1,2].系統(tǒng)中的混沌意味著系統(tǒng)內(nèi)在的不穩(wěn)定性.就目前的研究結(jié)果來看，前人通過定性分析和數(shù)值模擬等方法已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了4條具有典型代表性的通向混沌的道路:倍周期分岔通向混沌、陣發(fā)性通向混沌、擬周期通向混沌、KAM環(huán)面破裂通向混沌[3].

2001年，Elwakil 和 Kennedy[4]建立了一個能夠產(chǎn)生雙卷混沌吸引子的整數(shù)階系統(tǒng)：

圖1 a=0.8時，系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

(1)

定義1：函數(shù)f(t)關(guān)于時間t的α階Riemann-Liouville 分數(shù)導(dǎo)數(shù)[6]可表示為：

其中，t>0，Γ(·)是一個Gamma函數(shù)，n是整數(shù)且n-1≤α

把上述分數(shù)階微分算子引入系統(tǒng)(1)，我們可以得到更一般的形式——分數(shù)階雙卷混沌系統(tǒng)，如下所示：

(2)

其中0

1 分數(shù)階雙卷混沌系統(tǒng)的數(shù)值解法

本文采用最常見的數(shù)值求解分數(shù)階微分方程的方法：亞當斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正的有限差分法[7,8].對于系統(tǒng)(2)，我們可以數(shù)值求解如下：

(3)

設(shè)h=T/N,tn=h,n=0,1,…,N∈Z+,系統(tǒng)(3)可以近似成如下差分方程組:

其中，

2 分數(shù)階雙卷混沌系統(tǒng)復(fù)雜性演化仿真

本文運用亞當斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正有限差分法[7,8]對系統(tǒng)(2)進行復(fù)雜性仿真研究.設(shè)定q1=0.97,q2=0.91和q3=0.88，另取初值為(x0,y0,z0)=(0,0,0.01).當我們對a∈[0.6,2]調(diào)整時，我們可以分別畫出系統(tǒng)(2)中x,y,z的分岔圖，如圖2～4所示.從這3個分岔圖可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)(2)的復(fù)雜性隨著我們對a∈[0.6,2]調(diào)整而發(fā)生相應(yīng)的變化.

圖2 系統(tǒng)(2)的x隨a變化的分岔圖 圖3 系統(tǒng)(2)的y隨a變化的分岔圖

圖4 系統(tǒng)(2)的z隨a變化的分岔圖

若我們?nèi)=0.9，系統(tǒng)(2)的相圖如圖4所示，x的時間序列圖如圖5所示，結(jié)合分岔圖2～4，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)變化比較劇烈，正處于混沌狀態(tài).

若我們?nèi)=1.17，系統(tǒng)(2)的相圖如圖7所示，x的時間序列圖如圖8所示，結(jié)合分岔圖2～4，可以發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)在a=1.17時處于擬周期性運動變化狀態(tài).

若我們?nèi)=1.7，系統(tǒng)(2)的相圖如圖9所示，x的時程圖如圖10所示，結(jié)合分岔圖2～4，可以說明當a=1.7時該系統(tǒng)趨向于漸近穩(wěn)定均衡狀態(tài).

圖5a=0.9時系統(tǒng)(2)的相圖 圖6a=0.9時系統(tǒng)(2)中x的時間序6列圖

圖7 a=1.17時系統(tǒng)(2)中x的時間序列圖 圖8 a=1.17時系統(tǒng)(2)的相圖

總之，當a從0.6向2變化時，系統(tǒng)(2)經(jīng)由不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)、擬周期運動，最后進入漸近穩(wěn)定的均衡狀態(tài).

3 結(jié)束語

本文運用亞當斯-巴什福斯-莫爾頓預(yù)估-校正的有限差分的數(shù)值仿真方法，通過分岔圖、相圖和時間序列圖，演示了分數(shù)階雙卷混沌系統(tǒng)的唯一參數(shù)a對其復(fù)雜性的影響，得出了一些有趣的研究結(jié)果，可以應(yīng)用于保密通信等領(lǐng)域.

圖9a=1.7時系統(tǒng)(2)的相圖 圖10a=1.7時系統(tǒng)(2)x的時間序列圖

參考文獻

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