基于直流偏磁實(shí)驗(yàn)的疊片鐵心磁化特性分析

趙小軍 李 琳 程志光 魯君偉 盧鐵兵 劉蘭榮 范亞娜

(1.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 保定 071003 2.保定天威集團(tuán)技術(shù)中心 保定 071056 3.格里菲斯大學(xué)格里菲斯工程學(xué)院 布里斯班 4111)

1 引言

變壓器繞組中直流或準(zhǔn)直流電流的出現(xiàn)是導(dǎo)致變壓器直流偏磁的直接原因。繞組中存在的直流電流會(huì)使變壓器鐵心中存在相應(yīng)的直流磁動(dòng)勢(shì)和直流磁通[1]，直流磁通與交流磁通相疊加，造成鐵心的迅速飽和，從而對(duì)變壓器和電網(wǎng)運(yùn)行性能產(chǎn)生嚴(yán)重的危害。變壓器繞組中直流或準(zhǔn)直流電流出現(xiàn)的原因，主要有以下幾個(gè)方面[2-3]：①太陽(yáng)黑子活動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的太陽(yáng)風(fēng)暴；②高壓直流輸電采用的單極大地回線和雙極不平衡回線運(yùn)行方式；③交直流輸電線路并行運(yùn)行。

有多種計(jì)算方法用于直流偏磁問題的研究。磁路法[4-6]模型簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，主要用于勵(lì)磁電流的諧波分析和簡(jiǎn)單的磁場(chǎng)分析；電磁場(chǎng)有限元法[7-9]用于直流偏磁磁場(chǎng)的準(zhǔn)確計(jì)算及損耗特性的分析[10-11]。上述用于研究直流偏磁問題的各種數(shù)值方法均采用無(wú)偏磁磁化曲線進(jìn)行計(jì)算，即認(rèn)為直流偏磁條件下材料的磁化特性并沒有發(fā)生變化。然而相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究[12-14]表明，直流偏磁條件下鐵磁材料的交流磁滯回線與無(wú)偏磁情況相比，發(fā)生了明顯的改變。因此可知直流偏磁磁化曲線也必然與無(wú)偏磁磁化曲線不同。獲得準(zhǔn)確的直流偏磁磁化曲線，深入分析鐵磁材料在直流偏磁條件下的磁化特性，將使基于各種數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，從而有助于直流偏磁問題的研究和解決。

要獲得鐵磁材料的直流偏磁磁化特性，直流磁通的準(zhǔn)確計(jì)算十分關(guān)鍵。本文以疊片鐵心模擬變壓器鐵心的實(shí)際工作狀態(tài)，利用改進(jìn)迭代法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鐵心中的直流磁通，對(duì)疊片鐵心的直流偏磁磁化特性進(jìn)行了詳盡地分析。從工程實(shí)用的角度出發(fā)，提出模擬直流偏磁磁滯特性的數(shù)值方法，并研究了直流偏置量對(duì)鐵心損耗的影響。

2 直流磁通的計(jì)算

2.1 簡(jiǎn)單迭代法存在的問題

直流偏置量的施加使鐵心中存在相應(yīng)的直流磁通，而直流磁通最直接地反映了疊片鐵心真實(shí)的直流偏置水平。深入研究直流偏磁下疊片鐵心的磁化特性和損耗特性，要求準(zhǔn)確求解鐵心中的直流磁通。受目前實(shí)驗(yàn)條件的限制，疊片鐵心中的直流磁通和直流磁通密度難以由實(shí)驗(yàn)測(cè)量直接得到。

簡(jiǎn)單迭代法[15-16]是目前計(jì)算直流磁通時(shí)普遍采用的方法。該方法基于無(wú)偏磁下的i?? 基本磁化曲線對(duì)直流磁通進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算的勵(lì)磁電流與測(cè)量值作比較，當(dāng)Epeak（勵(lì)磁電流峰值的計(jì)算值與測(cè)量值間的誤差）和Edc（勵(lì)磁電流直流分量的計(jì)算值與測(cè)量值間的誤差）均小于5%時(shí)，即認(rèn)為此時(shí)的直流磁通為直流偏磁條件下的直流磁通。然而這種方法在應(yīng)用過程中存在著如下問題：當(dāng)外加交流電壓較低時(shí)，勵(lì)磁電流峰值誤差 Epeak和直流分量誤差Edc不能同時(shí)控制在5%以內(nèi)，尤其當(dāng)交流電壓較高時(shí)，此時(shí)勵(lì)磁電流的負(fù)峰值出現(xiàn)，勵(lì)磁電流峰值誤差和直流分量誤差均大于10%。在這種誤差標(biāo)準(zhǔn)下計(jì)算得到的直流磁通，顯然是不夠準(zhǔn)確的，由此得到的直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線也將與實(shí)際的曲線存在較大的誤差。造成簡(jiǎn)單迭代法計(jì)算誤差的原因主要有兩點(diǎn)：一是簡(jiǎn)單迭代法未考慮磁滯效應(yīng)，導(dǎo)致由此計(jì)算出的勵(lì)磁電流與實(shí)際的勵(lì)磁電流之間存在誤差。二是簡(jiǎn)單迭代法采用的無(wú)偏磁下的基本磁化曲線對(duì)偏磁下的直流磁通進(jìn)行預(yù)測(cè)，但直流偏磁條件下的磁化曲線與無(wú)偏磁條件下的磁化曲線在局部存在著較大的差異。

要得到準(zhǔn)確的直流磁通和直流磁通密度，首先要在迭代法中考慮磁滯效應(yīng)。其次要對(duì)迭代法中使用的基本磁化曲線不斷進(jìn)行修正。對(duì)于磁滯的模擬，可以考慮目前已有的磁滯模型，如J-A 磁滯模型[17]和Preisach 磁滯模型等，但這些方法都需要與各種優(yōu)化算法[2]相結(jié)合，不僅需要較大的數(shù)據(jù)量和計(jì)算量，而且算法實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，從滿足工程精度的角度出發(fā)，可以采用易于實(shí)現(xiàn)且能夠達(dá)到足夠精度的方法。

2.2 改進(jìn)迭代法

在無(wú)偏磁條件下，由于磁滯效應(yīng)，在勵(lì)磁電流的前半個(gè)周期內(nèi)，前1/4 周期與后1/4 周期的波形并不對(duì)稱?？紤]到勵(lì)磁電流與磁通、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)之間的關(guān)系，可以將勵(lì)磁電流i 分為兩部分，一部分與磁通? 同相位，一部分與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e 同相位[18]。于是，在i?? 關(guān)系中可以引入以下函數(shù)（其中?′為磁通? 的導(dǎo)數(shù)）： 式中，函數(shù)f1是僅基于中間磁化曲線（i?? 磁滯回線的中點(diǎn)軌跡）獲得的i?? 關(guān)系[19]，稱之為無(wú)損耗函數(shù)。函數(shù) f2對(duì)應(yīng)的是磁滯損耗，稱之為損耗函 數(shù)[19]。

在直流偏磁條件下，同樣引入如式（1）所示的i?? 關(guān)系。則f1對(duì)應(yīng)于直流偏磁下的中間磁化曲線（i?? 直流偏磁磁滯回線的中點(diǎn)軌跡），由于中間磁化曲線過磁滯回線的頂點(diǎn)，當(dāng)磁滯回線足夠密集時(shí)，可以將各磁滯回線頂點(diǎn)的連線近似作為中間磁化曲線。對(duì)損耗函數(shù)f2作如下定義：在基于i?? 關(guān)系的直流偏磁磁滯回線中，交流磁通?ac為零時(shí)對(duì)應(yīng)的勵(lì)磁電流有兩個(gè)值，將二者的絕對(duì)值取平均并記為Iob[19]，則損耗函數(shù)與磁通存在如下關(guān)系：

式中 ?—總磁通；

?m—交流磁通?ac的幅值；

?dc—直流磁通。

基于以上分析，采用新的迭代法對(duì)疊片鐵心中的直流磁通和直流磁通密度進(jìn)行計(jì)算，步驟如下：

（1）在某一直流偏磁條件下，基于無(wú)偏磁下的基本磁化曲線，利用簡(jiǎn)單迭代法獲得不同交流激勵(lì)下的直流磁通?dc。

（2）計(jì)算直流偏磁條件下的交流磁通?ac。對(duì)測(cè)量得到的端口感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e 進(jìn)行積分得到相應(yīng)的交流磁通?ac（N 為線圈匝數(shù)）

將步驟（1）中計(jì)算的直流磁通?dc與交流磁通?ac相疊加得到總磁通?，又由測(cè)量得到的勵(lì)磁電流i，可得到基于 i?? 關(guān)系的直流偏磁磁滯回線，連接各條回線的頂點(diǎn)，得到修正的直流偏磁基本磁化曲線，相對(duì)于步驟（1）中無(wú)偏磁下的基本磁化曲線，該曲線更加接近于實(shí)際的直流偏磁基本磁化曲線。

（3）由步驟（2）中得到的修正后的直流偏磁基本磁化曲線可以確定函數(shù)f1，由步驟（2）中得到的各直流偏磁磁滯回線，可以確定相應(yīng)的Iob和函數(shù)f2。結(jié)合式（2）對(duì)直流磁通?dc進(jìn)行調(diào)整并計(jì)算相應(yīng)的勵(lì)磁電流，當(dāng)Epeak和Edc均在5%以內(nèi)且同時(shí)達(dá)到最小時(shí)，即可確定為修正后的直流磁通。

3 直流偏磁實(shí)驗(yàn)與改進(jìn)迭代法的驗(yàn)證

3.1 疊片鐵心的直流偏磁實(shí)驗(yàn)

基于保定天威集團(tuán)制造的產(chǎn)品級(jí)疊片鐵心，進(jìn)行了不同偏磁條件下的直流偏磁實(shí)驗(yàn)。疊片鐵心模型如圖1 所示，鐵心上繞有兩組線圈，分別為勵(lì)磁線圈和測(cè)量線圈，在勵(lì)磁線圈兩端施加交流電壓，直流偏置量則以直流電流的形式施加。實(shí)驗(yàn)電路圖及實(shí)驗(yàn)設(shè)備說明可參考相關(guān)文獻(xiàn)[8]。

圖1 疊片鐵心模型 Fig.1 The laminated core model

為定量研究疊片鐵心的直流偏磁特性，需要選定直流電流的基準(zhǔn)值。在本實(shí)驗(yàn)中，選擇無(wú)偏磁條件下鐵心內(nèi)額定磁通密度（1.7T）對(duì)應(yīng)的勵(lì)磁電流峰值作為直流偏置量的基準(zhǔn)值。在針對(duì)疊片進(jìn)行的實(shí)際測(cè)量中，得到的直流偏置量基準(zhǔn)值I0為1.68A。

疊片鐵心中磁通密度B 和磁通?，勵(lì)磁電流i和磁場(chǎng)強(qiáng)度H 之間存在如下關(guān)系：

式中 S—疊片鐵心的有效截面積；

L—疊片鐵心的等效磁路長(zhǎng)度；

N—?jiǎng)?lì)磁線圈匝數(shù)。

由于疊片鐵心中存在的以上關(guān)系，在研究i??關(guān)系的同時(shí)，可以得到基于B-H 關(guān)系的疊片鐵心磁化特性。

在直流偏磁實(shí)驗(yàn)中，直流偏置電流Idc按照基準(zhǔn)值的不同比例依次施加，分別為25% I0，50% I0，75% I0和100% I0，相應(yīng)的直流偏置磁場(chǎng)強(qiáng)度Hdc分別為107A/m、213A/m、320A/m、427A/m。當(dāng)直流偏置量固定時(shí)，逐步增加交流電壓，獲得不同交流激勵(lì)下的勵(lì)磁電流波形數(shù)據(jù)。不失一般性，本文針對(duì)Hdc=107A/m 和Hdc=213A/m 兩種直流偏磁情況進(jìn)行了詳細(xì)分析。

3.2 利用改進(jìn)迭代法計(jì)算直流磁通

在不同偏磁條件下，將改進(jìn)迭代法與簡(jiǎn)單迭代法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證改進(jìn)迭代法的有效性。由表1、表2 可以看出，在交流磁通密度Bac較大和較小時(shí)，簡(jiǎn)單迭代法的計(jì)算誤差均較大，在利用了改進(jìn)迭代法后，可將Epeak和Edc同時(shí)控制在5%以內(nèi)，計(jì)算誤差明顯減小，此時(shí)計(jì)算得到的直流磁通密度更加準(zhǔn)確。圖 2 給出了 Hdc=107A/m，Bac=1.7454T 時(shí)，兩種迭代法計(jì)算的勵(lì)磁電流與實(shí)測(cè)勵(lì)磁電流的比較。圖3 為基于改進(jìn)迭代法計(jì)算得到的磁滯回線與測(cè)量曲線的比較。

表1 Hdc=107A/m 時(shí)計(jì)算結(jié)果的比較 Tab.1 Comparison of the calculated results (Hdc=107A/m)

表2 Hdc=213A/m 時(shí)計(jì)算結(jié)果的比較 Tab.2 Comparison of the calculated results (Hdc=213A/m)

圖2 勵(lì)磁電流計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果的比較 Fig.2 Comparison between calculated and measured magnetizing currents

圖3 偏磁條件下磁滯回線計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的比較 Fig.3 Comparison between the calculated and measured DC-biasing hysteresis loops

在滿足工程精度的要求下，可將簡(jiǎn)單迭代法和改進(jìn)迭代法結(jié)合使用。以簡(jiǎn)單迭代法為主，當(dāng)Epeak和Edc均大于5%時(shí)，使用改進(jìn)迭代法對(duì)直流磁通進(jìn)行修正；在實(shí)際計(jì)算中，無(wú)偏磁磁化曲線經(jīng)過一次修正后即可得到較為準(zhǔn)確的直流偏磁磁化曲線。上述方案可以在保證工程精度的前提下有效地減少計(jì)算量。

4 直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線

由第3 節(jié)中的直流偏磁實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果可知，利用改進(jìn)迭代法計(jì)算得到的直流磁通更加準(zhǔn)確。將最終計(jì)算得到的直流磁通?dc與由式（3）得到交流磁通?ac相疊加，即可得到基于i??關(guān)系的直流偏磁磁滯回線。由于直流磁通?dc是比較準(zhǔn)確的，而交流磁通?ac和勵(lì)磁電流i 均是基于測(cè)量結(jié)果得到的，因此可以認(rèn)為此時(shí)的直流偏磁磁滯回線與實(shí)際的直流偏磁磁滯回線十分接近。

為了研究直流偏磁條件下疊片鐵心磁滯回線和基本磁化曲線的特性，圖 4 給出了直流磁場(chǎng)強(qiáng)度Hdc=107A/m 時(shí)的直流偏磁磁滯回線族。由圖4 可知，與無(wú)偏磁條件下的磁滯回線不同，直流偏磁條件下的各磁滯回線在第一、三象限不再對(duì)稱。這是無(wú)偏磁下的各磁滯回線沿B＞0 和H＞0 方向同時(shí)移動(dòng)的結(jié)果（與Bdc＞0 相對(duì)應(yīng)）。

圖4 Hdc=107A/m 時(shí)的直流偏磁磁滯回線 Fig.4 DC-biasing hysteresis loops (Hdc=107A/m)

將圖4 中各磁滯回線的頂點(diǎn)相連接，得到直流偏磁條件下的基本磁化曲線。圖5 和圖6 對(duì)無(wú)偏磁條件下和有偏磁條件下的基本磁化曲線進(jìn)行了比較。為了更好地觀察偏磁條件下基本磁化曲線的變化，在圖5 中，對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度H 采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)。由圖可知，直流偏磁條件下的基本磁化曲線與無(wú)偏磁下的基本磁化曲線存在著明顯的差異。在磁場(chǎng)強(qiáng)度H＞0 的線性區(qū)域，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度相同時(shí)，偏磁下的磁化曲線對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度值大于無(wú)偏磁曲線對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度值，這主要是由直流磁通造成的。在非線性飽和區(qū)，由于直流磁通的迅速減小，兩條曲線的走向趨于一致。圖6 則比較了磁場(chǎng)強(qiáng)度H＜0 時(shí)的各條基本磁化曲線?？梢钥闯鲈诖艌?chǎng)強(qiáng)度小于零時(shí)，有無(wú)偏磁條件下的基本磁化曲線也同樣存在著差異。在磁場(chǎng)強(qiáng)度接近于零的區(qū)域，偏磁下的磁化曲線不再通過原點(diǎn)，且隨著直流偏置量的增大而被不斷抬高。而在非線性區(qū)域，偏磁下的磁化曲線則很快進(jìn)入飽和區(qū)。

圖5 H＞0 時(shí)有無(wú)偏磁條件下基本磁化曲線的比較 Fig.5 Comparison between the normal magnetizing curves with DC bias and without DC bias (H＞0)

圖6 H＜0 時(shí)有無(wú)偏磁條件下基本磁化曲線的比較 Fig.6 Comparison between the normal magnetizing curves with DC bias and without DC bias (H＜0)

以上有無(wú)偏磁條件下基本磁化曲線的差異，正是基于無(wú)偏磁基本磁化曲線的簡(jiǎn)單迭代法計(jì)算直流磁通時(shí)，在磁場(chǎng)強(qiáng)度接近于零的正負(fù)區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生較大誤差的原因。

由直流偏置磁場(chǎng)的性質(zhì)可知，若將施加于疊片鐵心的直流偏置量反向，則直流磁通反向，新的直流偏磁下的磁滯回線和基本磁化曲線將分別與原來的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

5 直流偏磁磁滯回線的準(zhǔn)確模擬與鐵損的計(jì)算

直流偏磁磁滯回線的準(zhǔn)確模擬對(duì)于疊片鐵心磁化特性和損耗特性的研究具有重要的意義。因此在得到直流偏磁磁滯回線的同時(shí)，還需要考慮對(duì)其進(jìn)行基于數(shù)學(xué)或物理模型的準(zhǔn)確模擬。

第2 節(jié)的改進(jìn)迭代法中提出了基于中間磁化曲線和損耗函數(shù)的i?? 磁滯模型。但式（2）中所采用的損耗函數(shù)僅是考慮直流偏磁條件下磁滯損耗的一種簡(jiǎn)化方法。此時(shí)的損耗函數(shù)雖然容易確定，但從圖3 可以看出，由此得到的磁滯回線與測(cè)量曲線仍有一定的誤差，因此還不能滿足準(zhǔn)確模擬直流偏磁磁滯回線的要求。為實(shí)現(xiàn)對(duì)直流偏磁條件下的i?? 磁滯回線的準(zhǔn)確擬合，可對(duì)損耗函數(shù)作如下定義[20]：

式中，a1、a2、a3為相關(guān)系數(shù)，磁通? 定義如下：

根據(jù)式（1），總的勵(lì)磁電流i 可以表達(dá)為如下形式：

為引入直流磁通的影響，當(dāng)交流磁通為零時(shí)存在如下關(guān)系：

式中的Iob與式（2）中的意義相同。將N 組測(cè)量數(shù)據(jù)代入到式（8），得

利用最小二乘法，將式（10）中各式整理后平方相加，對(duì)a2和a3求導(dǎo)，再與式（9）聯(lián)立，可以解得損耗函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)。將各項(xiàng)系數(shù)代入到式（8），即可得到損耗函數(shù)f2。函數(shù)f1則與中間磁化曲線相對(duì)應(yīng)。將二者相加即為直流偏磁條件下勵(lì)磁電流i的解析表達(dá)式。由式（4）和式（5）所示的疊片鐵心中磁通密度與磁通，勵(lì)磁電流與磁場(chǎng)強(qiáng)度間的關(guān)系，可以得到直流偏磁下的B-H 磁滯回線。

為驗(yàn)證該方法的有效性，對(duì)偏磁條件下的磁滯回線進(jìn)行擬合。圖7 為擬合曲線與測(cè)量曲線的比較，圖8 為相應(yīng)的勵(lì)磁電流計(jì)算值與測(cè)量值的比較。由圖可知，擬合得到的磁滯回線與實(shí)際測(cè)量得到的磁滯回線吻合較好。

圖7 直流偏磁磁滯回線擬合結(jié)果與測(cè)量結(jié)果的比較 Fig.7 Comparison between fitted and measured DC-biasing hysteresis loop

根據(jù)以上方法求出的i?? 關(guān)系，可以計(jì)算直流偏磁條件下的疊片鐵心損耗。

式中，f 為頻率。

由于式（8）中的勵(lì)磁電流i 由無(wú)損耗函數(shù)f1和損耗函數(shù)f2構(gòu)成，f1對(duì)應(yīng)的鐵心損耗為零，因此可以直接對(duì)損耗函數(shù)f2進(jìn)行積分得到直流偏磁條件下疊片鐵心的損耗[21]

圖8 勵(lì)磁電流計(jì)算值與測(cè)量值的比較 Fig.8 The comparison between calculated and measured magnetizing current

表3 比較了不同偏磁條件下疊片鐵損的計(jì)算值與測(cè)量值。其中Pc為損耗的計(jì)算值，Pm為損耗的測(cè)量值?？梢钥闯觯叩恼`差很小，這進(jìn)一步說明了利用以上方法對(duì)直流偏磁磁滯回線進(jìn)行擬合的準(zhǔn)確性。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，有偏磁下的疊片鐵損大于無(wú)偏磁下的鐵損，且損耗值隨直流偏置量的增大而增大。

表3 不同偏磁條件下鐵損計(jì)算值與測(cè)量值的比較 Tab.3 Comparison between the calculated and measured core loss under different DC bias condition

6 結(jié)論

直流偏磁條件下，鐵心中直流磁通的計(jì)算和疊片鐵心磁滯特性的模擬是研究變壓器直流偏磁問題的關(guān)鍵。改進(jìn)迭代法引入損耗函數(shù)，將其與無(wú)損耗函數(shù)相加模擬直流偏磁磁滯效應(yīng)，通過不斷修正磁化曲線對(duì)直流磁通進(jìn)行準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。勵(lì)磁電流計(jì)算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果的誤差小于5%，證明該方法的準(zhǔn)確性和有效性?；诏B片鐵心的直流偏磁實(shí)驗(yàn)，得到了非對(duì)稱的直流偏磁磁化曲線；分析了不同偏置量對(duì)直流偏磁磁化特性的影響，并對(duì)直流偏磁磁滯回線進(jìn)行準(zhǔn)確的擬合。測(cè)量與計(jì)算結(jié)果表明，在交流激勵(lì)一定時(shí)，直流偏置量的增大將導(dǎo)致鐵損的增加。

在直流偏磁條件下，疊片鐵心的磁化特性和損耗特性均發(fā)生了明顯的變化，基于直流偏磁磁化曲線的數(shù)值計(jì)算在直流偏磁問題的研究中十分必要。

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