基于MATLAB的一種并聯(lián)頂舉機(jī)構(gòu)逆解與工作空間分析

姚榮華，陳品志，何鵬飛

YAO Rong-hua，CHEN Pin-zhi，HE Peng-fei

（北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

0 引言

在震后救援工作中，傳統(tǒng)的頂舉機(jī)械如千斤頂只能在單一方向上進(jìn)行頂舉工作，一旦頂舉方向需要變化則千斤頂必須卸載后重新安裝頂舉，如果方向還有偏差，則須再次卸載以變換頂舉變向，這樣反復(fù)調(diào)整浪費了大量時間，嚴(yán)重限制了震后施救效率的提高。針對以上問題，本課題組設(shè)計了一種空間三自由度的頂舉救援機(jī)器，該頂舉機(jī)械在重載下可以實時調(diào)整頂舉姿態(tài)，改變項舉方向，從而大大提高頂舉工作的效率。

1 機(jī)構(gòu)簡介

機(jī)構(gòu)簡圖和工作樣機(jī)分別如圖1、圖2所示，該機(jī)構(gòu)有三個空間自由度，靠三根雙作用液壓桿的伸縮控制整個機(jī)構(gòu)的運動?？臻g并聯(lián)頂舉機(jī)構(gòu)實現(xiàn)了空間狀態(tài)實時變換的功能，機(jī)構(gòu)底部可適應(yīng)各種不同的工作環(huán)境方便安裝。機(jī)構(gòu)的上下平面的工作范圍均可調(diào)整，上平臺半徑r調(diào)節(jié)范圍200~290mm，下平臺半徑R為300~420mm，桿的長度為430~680mm，C1、C2、C3為底部平臺的三個固定點，A1、A2、A3為上平臺的三個球絞點，底部三個點與三根桿的連接使用銷釘連接只能繞銷釘?shù)妮S線方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。機(jī)構(gòu)上的三根桿C1A1、C2A2、C3A3是三根液壓桿即該機(jī)構(gòu)的三個自由度。

圖1 機(jī)構(gòu)簡圖

圖2 工作樣機(jī)

液壓桿的行程是通過液壓系統(tǒng)一系列的電磁閥控制的。單片機(jī)中輸出的電信號通過調(diào)制解調(diào)，功率放大之后去控制電磁閥來調(diào)節(jié)液壓油的流量，最終實現(xiàn)對機(jī)構(gòu)的電、液、機(jī)控制。然而在控制中最困難的就是根據(jù)想要上平面姿態(tài)去求三根桿的行程，這就需要單片機(jī)能夠根據(jù)實際所需姿態(tài)迅速反求出C1A1、C2A2、C3A3的長度，然后給出電信號進(jìn)行控制。求三桿的長度要進(jìn)行逆解分析，而控制中還要知道機(jī)構(gòu)的運動空間，防止機(jī)構(gòu)運動到空間的奇異點從而破壞機(jī)構(gòu)。求機(jī)構(gòu)的空間奇異點就要求出機(jī)構(gòu)的空間運動包絡(luò)面，反求出桿長的伸縮范圍，這樣機(jī)構(gòu)的控制就在理論上實現(xiàn)了。以下介紹了針對該機(jī)構(gòu)控制的理論基礎(chǔ)和用MATLAB計算的方法。

2 機(jī)構(gòu)逆解與工作空間分析

點C1、C2、C3在定坐標(biāo)系O-XYZ下的絕對坐標(biāo)，其中R1、R2、R3是機(jī)構(gòu)底部三根連接桿的工作長度，z1、z2、z3為固定點的安裝高度。

點A1、A2、A3在動坐標(biāo)系P-X1Y1Z1下的相對坐標(biāo)，其中r1、r2、r3為頂部三根桿的工作長度

動坐標(biāo)系P-X1Y1Z1對定坐標(biāo)系O-XYZ的可用歐拉角表示的齊次坐標(biāo)變換矩陣描述。用歐拉角描述機(jī)構(gòu)空間姿態(tài)，由于歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)矩陣只有三個參數(shù)，所以用歐拉角將平臺的位姿參數(shù)與變換矩陣聯(lián)系起來，方便了求解運算。

設(shè)上平面的單位矢量為Nt=（ntx,nty,ntz）T，歐拉角為α、β 、γ，運動平臺與絕對坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向余弦角為θx、θy、θz。

為了計算方便以及保證 ntx、nty、ntz與 α、β、γ 為單值對應(yīng)，需要對歐拉角做如下規(guī)定：

平臺的法向單位矢量即為方向余弦：

根據(jù)實際的運動情況，不能取負(fù)值，所以有

用歐拉角表示的平臺姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

由于平臺的軸線與所定義的動坐標(biāo)系的Z1軸重合，所以旋轉(zhuǎn)矩陣R1的最后一列正好是動坐標(biāo)系軸的單位矢量，可以得到三個方程：

將平臺的空間姿態(tài)角通過上式轉(zhuǎn)化成為歐拉角的表示。

根據(jù)，兩個歐拉角可以由平臺的方向余弦角完全確定，歐拉角表示的動平臺姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣的每一列分別表示動平臺坐標(biāo)系軸對軸的方向余弦，于是有：

其中對應(yīng)的元素相等，還有加上平臺不自轉(zhuǎn)的條件-α=γ：。在結(jié)合實際模型，還應(yīng)有約束條件：

其中u1、u2、u3為三個轉(zhuǎn)動副的軸線的單位方向矢量，此外機(jī)構(gòu)桿長也為約束條件。

對于（7）式中的方程α、β 、γ為三個未知數(shù)，而θx、θy、θz為三個上平臺空間運動的姿態(tài)角為已知量，并且有cos2θx，cos2θy，cos2θz=1所以方程組（5）中只有兩個式子是獨立的，而θx、θy、θz中也只有兩個獨立的變量，在加上上平臺中心點的縱坐標(biāo)，該機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述中只有三個獨立的變量，即該機(jī)構(gòu)只有空間的三個自由度。

對實際機(jī)構(gòu)模擬還應(yīng)加上頂部運動平臺球角運動角度的約束條件，是通過運動桿的單位矢量與平臺三定點與中心形成的向量的夾角確定，限定范圍為30度。

3 基于MATLAB的逆解與工作空間仿真

在MATLAB中要先對機(jī)構(gòu)進(jìn)行描述，用MATLAB的程序語言描述運動平面內(nèi)的三點在動坐標(biāo)系中的位置和底部三點在定坐標(biāo)系中的位置，然后利用動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣將描述機(jī)構(gòu)的所有的點均轉(zhuǎn)換到一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系中研究。

在計算機(jī)仿真中利用數(shù)值計算的方法非常利于簡化程序而且運算簡單。根據(jù)平臺的最終空間要達(dá)到的空間姿態(tài)去反求其他各點的位置和桿的長度。這里通過循環(huán)語句對機(jī)構(gòu)的各種空間姿態(tài)進(jìn)行取值和密化，由于機(jī)構(gòu)為空間三自由度，所以只要對其中的三個變量進(jìn)行循環(huán)自動賦值就可以取到機(jī)構(gòu)所能達(dá)到的空間姿態(tài)。

圖3 機(jī)構(gòu)的逆解分析

圖4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

進(jìn)行空間機(jī)構(gòu)仿真時，對于機(jī)構(gòu)在實際運動中存在的約束是通過對空間中已求出的理想點進(jìn)行再次分析模擬的。用理想模型中的出的機(jī)構(gòu)空間點進(jìn)行桿長和向量空間夾角的描述，通過如桿長和夾角再對這些理想點進(jìn)行篩選，最終就可以得到機(jī)構(gòu)的實際運動空間。

在程序中進(jìn)行自動取值去掉而輸入自定的歐拉角（根據(jù)平臺姿態(tài)用公式得出），則可計算出該姿態(tài)下的平臺動桿所應(yīng)達(dá)到的桿長。對所取的空間姿態(tài)向量越密集，則對平臺的空間姿態(tài)描述越精確。圖3為在已知上平面的θx、θy、Z的條件計算出桿長繪制的圖，由于沒有加球絞限制和桿長限制，所以達(dá)到的空間旋轉(zhuǎn)范圍大，是對逆解分析算法的一種驗證。圖4是加上限制條件之后在空間某一固定高度繪制出的機(jī)構(gòu)空間工作范圍，可以看到機(jī)構(gòu)在固定高度上的旋轉(zhuǎn)空間范圍是比較有限的，這主要是在設(shè)置球絞工作范圍時的取值較小，在實際產(chǎn)品中使用的直線桿端球軸承的工作范圍是30度，若要增大產(chǎn)品的工作范圍就必須定做球絞角度更大的軸承。通過工作空間分析知道了機(jī)構(gòu)的空間工作范圍，提供了進(jìn)行控制的桿長參數(shù)，確定了三桿聯(lián)動在達(dá)到預(yù)期位置過程中桿長的變化范圍與最終確定值。

4 對比分析

實際試驗發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在某一運動高度時，其旋轉(zhuǎn)空間的范圍不是很大，三根桿長的伸縮范圍受頂部球絞的旋轉(zhuǎn)角度制約嚴(yán)重，從而造成三根桿的長度差并不是很大即上平臺的空間旋轉(zhuǎn)范圍較小。但由于機(jī)構(gòu)垂直方向上的運動不受球絞的制約且伸縮范圍大，機(jī)構(gòu)在整個空間的運動范圍能夠滿足設(shè)計之初多方向頂舉的要求，并且在實際試驗時，由于機(jī)械零件的公差的存在使機(jī)構(gòu)運動并不嚴(yán)格按照計算時的約束進(jìn)行運動，運動范圍稍大于計算得到的范圍。

[1]韓建有.高等機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2004．

[2]劉峰,陳文凱.3自由度并聯(lián)機(jī)器人的研究現(xiàn)狀和發(fā)展前景[J].企業(yè)技術(shù)開發(fā),2006,（1）.