基于Black－Scholes模型的期權(quán)定價(jià)新方法

沈玉波， 張待見， 宋立新

（大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引 言

次貸危機(jī)的蝴蝶效應(yīng)引發(fā)全球經(jīng)濟(jì)的動蕩不堪.為了應(yīng)付金融危機(jī)，全球性大規(guī)模聯(lián)手救市展開，降息成為全球救市最直接的手段.盡管金融危機(jī)最主要的原因不是金融衍生品的定價(jià)不足，但是若整個(gè)金融市場的衍生品定價(jià)提高，則會對金融危機(jī)有所緩解，特別是應(yīng)對全球金融風(fēng)暴這樣的突發(fā)高風(fēng)險(xiǎn)事件.

為了期權(quán)賣出者將來不再因?yàn)橥话l(fā)高風(fēng)險(xiǎn)事件而破產(chǎn)，用新的定價(jià)方法來提高價(jià)格是有必要采取的手段，為此本文延續(xù)Black－Scholes模型簡單易操作且結(jié)果精確的優(yōu)點(diǎn)，并且考慮到金融風(fēng)險(xiǎn)分布的厚尾特性，引入H k（a）＝E［（X－a）2k］（k≥1）來放大高風(fēng)險(xiǎn)突發(fā)事件在定價(jià)中的作用.

1 經(jīng)典Black－Scholes模型

經(jīng)典Black－Scholes模型的主要假設(shè)有［1～4］

（1）標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布，μ和σ為常數(shù)；

（2）標(biāo)的資產(chǎn)允許賣空；

（3）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會；

（4）資產(chǎn)交易是連續(xù)的；

（5）沒有交易費(fèi)用或稅收，所有資產(chǎn)高度可分；

（6）資產(chǎn)在有效期內(nèi)無紅利支付；

（7）無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)，且對所有到期日都相同.

在以上假設(shè)下，完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，資產(chǎn)價(jià)格St模型定義如下：

基于資產(chǎn)價(jià)格St的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式如下：

下面給出一個(gè)很重要的定理，主要用于計(jì)算過程中的測度變換.

定理1（Girsanov Theorem）［5］在完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上，假設(shè)

在測度P下是一個(gè)鞅，W t是（Ω，F(xiàn)，P）上的一個(gè)D維布朗運(yùn)動，X t是D維可測適應(yīng)過程且

定義測度Q使得

則對每一個(gè)固定的T∈［0，＋∞），W t是（Ω，F(xiàn)，Q）上一個(gè)D維布朗運(yùn)動.

2 基于經(jīng)典Black－Scholes模型的新定價(jià)方法

2.1 新方法的提出及證明

下面從數(shù)學(xué)的角度來分析一下經(jīng)典的Black－Scholes模型定價(jià)公式，以歐式看漲期權(quán)為例，用X代表（ST－K）＋，E［（ST－K）＋］事實(shí)上就是函數(shù)

的極小值點(diǎn).將式（4）一般化，利用

的最小值點(diǎn)ak作為期權(quán)的定價(jià)，由下凸函數(shù)的性質(zhì)可以肯定這樣的定價(jià)要比原定價(jià)高，但尚需通過股票指數(shù)DJSH（道瓊斯上海）收益率的GARCH模型隨機(jī)模擬，分別應(yīng)用兩個(gè)公式進(jìn)行定價(jià)比較.

下面仍給市場以經(jīng)典模型的假設(shè)，資產(chǎn)價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)過程，分析H k（a）＝E［（X－a）2k］（k＝1，2，…）的函數(shù)性態(tài)，有

（1）H（a）＝E［｜X－a｜］時(shí)，最小值點(diǎn)α是X的中位數(shù)，此時(shí)尾部對α沒有影響；

（2）H1（a）＝E［（X－a）2］時(shí)，最小值點(diǎn)β是EX，尾部對β產(chǎn)生影響；

（3）H k（a）＝E［（X－a）2k］，a≥0，k＝1，2，…時(shí)，假設(shè)EX2k＜＋∞，由控制收斂定理［6、7］可推得H k（a）＝E［（X－a）2k］關(guān)于a可導(dǎo)，由

可知H k（a）＝E［（X－a）2k］在正半軸上有唯一的最小值點(diǎn)ak.換個(gè)角度來說ak為方程H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＝0的實(shí)根，即E［（X－a）2k－1］＝0的實(shí)根.

由以上判斷可知：正半軸上根是唯一的，當(dāng)a＜0時(shí)，H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＜0恒成立，所以方程無負(fù)實(shí)根.綜上H′k（a）＝0有唯一的正實(shí)根ak.這樣就可以用ak作為期權(quán)的定價(jià).

資產(chǎn)價(jià)格服從模型仍是

這樣就可以得到其導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，但是比較復(fù)雜，下面具體就k＝2時(shí)進(jìn)行分析.H2（a）的導(dǎo)數(shù)為三次多項(xiàng)式，由三次方程的公式解可得卡爾丹公式x3＋px＋q＝0的解為

從而看跌期權(quán)的定價(jià)為

2.2 新方法下看漲－看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系

對于兩個(gè)相同有效期T－t，相同敲定價(jià)格K的歐式看漲和看跌期權(quán)有平價(jià)公式

新定價(jià)的歐式看漲－看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系為

3 隨機(jī)模擬

對于定價(jià)新公式，可以選擇不同的k，隨著k的增大，突發(fā)事件的放大作用也增大，這正是所想要的結(jié)果.本文以k＝2為例，采用隨機(jī)模擬的方法［8］，以兩年期的DJSH指數(shù)的歐式看漲期權(quán)為例，分別使用Black－Scholes公式和基于Black－Scholes模型的新定價(jià)公式為它定價(jià)并進(jìn)行比較.

GARCH模型一定程度地反映現(xiàn)實(shí)市場的不完備性，并且運(yùn)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)軟件Eviews可以很方便地得到，因此采用DJSH（2006～2009）的數(shù)據(jù)，用GARCH（1，1）模型對DJSH指數(shù)的對數(shù)日收益率建模.用估計(jì)好的對數(shù)日收益率的GARCH（1，1）模型模擬出DJSH指數(shù)的1 000個(gè)日價(jià)格，然后對基于該指數(shù)的兩年期歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià).

設(shè)定常用的無風(fēng)險(xiǎn)年收益率r＝0.05，T＝720 d，即2 a，選擇兩個(gè)執(zhí)行價(jià)格K1＝276.00，K2＝278.00，分別用式（5）和經(jīng)典Black－Scholes模型進(jìn)行定價(jià)，計(jì)算得到定價(jià)的平均價(jià)格和價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差，為了明確比較，列成表1.

表1 定價(jià)的平均價(jià)格和價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Mean price and its standard deviation of option pricing

從表1中可以看出，新公式下期權(quán)平均定價(jià)有所提高，而且標(biāo)準(zhǔn)差減少了很多，這正是期望得到的.

4 結(jié) 語

本文對Black－Scholes定價(jià)公式進(jìn)行了推廣得到了新定價(jià)公式.實(shí)例模擬表明：新的期權(quán)定價(jià)公式放大了突發(fā)高風(fēng)險(xiǎn)事件的作用，有效提高了定價(jià)，并且這種定價(jià)沒有因?yàn)楦唢L(fēng)險(xiǎn)突發(fā)事件增大定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差，從而降低了風(fēng)險(xiǎn).

從公式的得出過程來看，新定價(jià)公式不僅適用于基于股票的期權(quán)定價(jià)，且由于金融衍生品定價(jià)的前提和市場環(huán)境都是相似的，可以將新方法推廣應(yīng)用于各種金融衍生產(chǎn)品.

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［2］姜禮尚.金融衍生產(chǎn)品定價(jià)的數(shù)學(xué)模型與案例分析［M］.北京：高等教育出版社，2004

［3］HULL J C，ZAGRODNY D.Option，F(xiàn)utures，and Other Derivatives［M］.5th ed.Beijing：Huaxia Publishing House，2000

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［5］胡必錦，朱自清.鞅分析及其應(yīng)用［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，1988

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［7］汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1988

［8］鄧留寶，劉柏年，楊桂元.Matlab與金融模型分析［M］.合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2007