代數(shù)格上形態(tài)算子的表示方法

段 汕，李 琰

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從歐氏空間擴展到完備格是由Serra［1］和 Matheron［2］最早提出的.完備格上形態(tài)膨脹與腐蝕運算以偏序關(guān)系及確界運算為基礎(chǔ)，其表示形式比較抽象.本文以二值形態(tài)運算中平移變換的作用為引導(dǎo)，賦予完備格上具備某種特性的交換群，我們稱之為代數(shù)格，使得完備格的形態(tài)運算在表示上具有更明確的結(jié)構(gòu)特征.Heijmans也在文［3］中提出賦予完備格可交換群這一代數(shù)結(jié)構(gòu)，但并未給出象二值形態(tài)學(xué)那樣具體的表示.本文基于這一觀點，以此為基礎(chǔ)研究了這種具有特定代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)格上形態(tài)算子的表示定理，并將這種思想運用于Matheron二值形態(tài)算子表示定理與極小內(nèi)核表示定理的證明.

1 預(yù)備知識

所謂完備格，就是一個偏序集L，L的每一個子集都有上下確界.給定兩個完備格L和M，把所有L到M的算子的集合記為O(L，M)，O(L，M)是與M具有相同偏序結(jié)構(gòu)的完備格.算子ψ∈O(L，M)有下面的性質(zhì):(1)遞增的，如果X≤Y，那么ψ(X)≤ψ(Y);(2)格同構(gòu)，對于X，Y∈L，如果X≤Y，有ψ(X)≤ψ(Y);(3)自同構(gòu)，在L=M條件下的格同構(gòu).算 子 ε ∶L→M如 果 滿 足 ε(∧i∈IXi)=∧i∈Iε(Xi)(Xi∈L，i∈I)，ε就是腐蝕;算子δ∶M→L如果滿足 δ(∨i∈IYi)=∨i∈Iδ(Yi)(Yi∈M，i∈I)，δ就是膨脹.完備格上形態(tài)算子表示定理［4］為:如果ψ(I)=I，格上遞增算子ψ就可以表示成對所有腐蝕取上確界的形式;如果ψ(O)=O，ψ就可以表示成對所有膨脹取下確界的形式;其中O是格上最小元素，I是最大元素.下面說明，通過賦予完備格可交換群這一代數(shù)結(jié)構(gòu)，格上膨脹和腐蝕算子可以具體表出.

2 代數(shù)格上的膨脹和腐蝕

類似于二值形態(tài)學(xué)中平移變換的作用，假若完備格L上所有自同構(gòu)構(gòu)成的群Aut(L)滿足交換律公理，則Aut(L)的子群T也是可交換群.如果ψ∈L，τ∈T，ψτ=τψ，ψ 稱為T(不變) 算子［4］.當完備格L存在上生成族l，那么對于X∈L，集合l(X)=就是X的上生成族，并且這樣就可通過T和l的代數(shù)結(jié)構(gòu)來刻劃L的代數(shù)結(jié)構(gòu).類似于二值形態(tài)學(xué)平移群在單點集上的可傳遞性，子群T在l上是可傳遞的，需滿足2個條件:(1)l的元素在T的作用下仍屬于l，?x∈l，τ∈T，τ(x)∈l;(2)T的算子是自同構(gòu)，即?x，y∈l，?τ∈T，τ(x)=y.

因τ∈T是自同構(gòu)，l中的元素在T下有一對一的關(guān)系:在l中固定一個點o為原點，T中只存在唯一的一個 τx滿足 τx(o)=x;這樣就有 τx(y)=τxτy(o)，如果 τxτy(o)=o，τy就是 τx的逆 τx－1，y就是x的負元，τy也可標記為τ－x.于是l上的膨脹和腐蝕可以分別用 τ表示為:δy(x)=τy(x)，εy(x)=τy－1(x).因所以.這樣用l的元素y來對L的元素X做膨脹和腐蝕就有:

因此，利用T中的變換τ和l的元素可以刻劃L的元素，且L上的膨脹和腐蝕具有下面的形式:

于是在可交換群這一結(jié)構(gòu)下的代數(shù)格上的膨脹和腐蝕［5］用τ可以分別表示為:

其中l(wèi)(X)，l(Y)分別是X，Y的上生成族.

3 代數(shù)格上的形態(tài)算子表示定理

完備格l上的算子ψ的內(nèi)核定義為V(ψ)={X∈L|ψ(X)≥o}，這里o是l的原點.若ψ(X)≥h(h∈l，X∈L)，將 τ－h(huán)作用在其兩邊，就有 τ－h(huán)ψ(X)=ψ(τ－h(huán)(X)) ≥ τ－h(huán)(h)=o，所以 τ－h(huán)(X) ∈V(ψ).ψ可重新表示為:ψ(X)=∨ {h∈l|τ－h(huán)(X) ∈V(ψ)}，所以重構(gòu)ψ僅需ψ的內(nèi)核即可.由此我們可以得出基于τ的T算子表示定理［5］.

1.職責(zé)不清。目前公職律師的業(yè)務(wù)范圍基本上與法制機構(gòu)職責(zé)重疊，公職律師與法律顧問、其他稅收法制人員之間的關(guān)系有待理順，職責(zé)劃分、管理架構(gòu)需進一步明確。

定理1滿足條件(1)、(2)的遞增T算子ψ可以表示為腐蝕的上確界，即:

證明因ψ是遞增的，所以V(ψ)是一個上界集.設(shè)X，Y∈L，X≥Y，因Y∈V(ψ)，所以X∈V(ψ).因 εY(X)=∧ {h∈l|τh(Y) ≤X}，o≤εY(X)?X∈V(εY).所以取h∈l(ψ(X))，就有ψ(X)≥h，根據(jù)前面的分析，X－h(huán)∈V(ψ).根據(jù)腐蝕和膨脹的定義，δτ－h(huán)(X)(h)=δh(τ－h(huán)(X))=τh(τ－h(huán)(X))=X.根據(jù)腐蝕和膨脹的附益性，δτ－h(huán)(X)(h)=X?h≤ ετ－h(huán)(X)(X).因 τ－h(huán)(X)∈V(ψ)，τh(Y) ≤X?Y≤ τ－h(huán)(X)，所 以h≤又因 ψ(X) ≥h，所以.得證.

完備格L上自同構(gòu)群T滿足條件(1)、(2)，其對偶格L'不一定滿足該條件，所以T算子ψ不能分解成膨脹的下確界.若l'是L'的下生成族，l'={x∈l'|x≥X，X∈L'}，T'是L'上可交換的自同構(gòu)群，因此T'要滿足:(1')l'的元素在T'的作用下仍屬于l'，?x∈l'，τ ∈T'，τ(x) ∈l';(2')T'的算子是自同構(gòu)，即?x，y∈l'，?τ∈T'，τ(x)=y.對偶自同構(gòu)v是L的反序雙射，若滿足v(v(X))=X，即v2=id(這里id是恒等算子)，v就稱為負算子.如果v滿足vτv∈T(τ∈T)，v就稱為L的T相容.這樣T算子ψ的對偶算子就定義為ψ*=vψv.用τ來表示定理 1 的擴展［5］，見如下定理 2.

定理2L是滿足條件(1)、(2)的完備格，且有一個T相容的負算子，則每一個遞增T算子ψ可以寫成

其中ˇY=∨{τ－y(o)|y∈l(Y)}.前面已經(jīng)證明了第1個等式，下面證明第2個等式.

證明根據(jù)第1個等式就有.將代入，得到兩邊同時取負，就有.得證.

假設(shè)Y∈V(ψ)且Y?X，因此X∈V(ψ)，根據(jù)上界集的定義［4］，V(ψ) 是一個上界集.若A，B∈V(ψ)，且A≤B，那么 εA≥ εB，εB(X) 就包含在εA(X)中，這說明定理2的表示存在冗余，為了消除這種冗余，下面引入算子的極小內(nèi)核元素和基的概念.如果V(ψ)內(nèi)沒有比A更小的元素，元素A是V(ψ)極小內(nèi)核元素.所有的極小內(nèi)核元素構(gòu)成的集合就是ψ的基，標記為Vb(ψ).

如果A是偏序集L的極小元素，那么L中就不存在比A∈L更小的元素.在這種情況下極小內(nèi)核元素是內(nèi)核的極小元素.佐恩引理［4］提供極小元素存在的充分條件:如果偏序集L的每一個全序子集都有下界，那么L有極小元素.我們的目的是找到在何種情況下T算子有腐蝕的上確界那樣的極小表現(xiàn).這就等價于:A滿足ψ(A)≥o，找到一個極小元素A0≤A使得ψ(A0)≥o.L的全序子集C和算子ψ，若滿足ψ(∧C)=∧X∈Cψ(X)，ψ就稱為格上半連續(xù)的;若滿足ψ(∨C)=∨X∈Cψ(X)，ψ就稱為格下半連續(xù)的［4］.每一個屬于格下半連續(xù)T算子ψ的內(nèi)核V(ψ)的A都存在一個極小內(nèi)核元素A0≤A.這樣，T算子表示定理用τ來表示就是如下定理3.

定理3L是滿足條件(1)、(2)的完備格，則每一個L上的遞增的格上半連續(xù)T算子ψ都有一個非空的基Vb(ψ)，且如果L有T相容的負算子，那么每一個遞增的格下半連續(xù)T算子ψ可表示為:

證明根據(jù)佐恩引理和前面的結(jié)論，遞增的格上半連續(xù)T算子ψ有非空的基Vb(ψ)，根據(jù)定理1的證明顯然成立.下面證明第2個等式.因為ψ是格下半連續(xù)的，存在鏈C使得兩邊取負，得到 ψ*(∨C)所以 ψ*是格上半連續(xù)的.根據(jù)又因，所以得證.

從上面的討論中，我們可以看出代數(shù)格上的形態(tài)算子最終可以有定理3那樣的極小表示.下面我們說明，Matheron二值表示定理是其特殊情況，并有定理3那樣的極小表示.

4 二值形態(tài)算子表示

二值形態(tài)學(xué)將圖像視為一個集合E，E為連續(xù)空間Rd或離散空間Zd(d≥1)，冪集P(E)是一個完備格.L=P(E)，T是E上所有可交換平移群，如果E有一個由向量和構(gòu)成的含有原點o的可交換群集合，單點集就構(gòu)成P(E)的上生成族l，P(E)上的平移變換算子定義為τa:τa:{x}→{x+a}，其中a∈l(A)=E.Xa是X沿著向量a的平移，這樣τa定義P(E)上的一個自同構(gòu).對于L就有.因膨脹和腐蝕分別表示為:.我們可以看出二值腐蝕和膨脹是完備格的特殊情況.

根據(jù)上面的討論，P(E)上的自同構(gòu)τa構(gòu)成的集合T={τa|a∈E}是可交換群.對任意兩個點x，y∈E，存在唯一的τ映射x到y(tǒng)，所以條件(1)、(2)仍然適用，負算子v即為取補運算.用前面的思想來重新證明Matheron二值形態(tài)算子表示定理，見定理4.

定理4［6］ψ是P(E)上遞增的平移不變算子，則

這里ˇA是A的反射集，ˇA={－a|a∈A}，v(ψ)={A∈E|0∈ψ(A)}.

證明X，A?E，εA(X)=XΘA={h∈E|Ah

?X}，那么X∈v(εA)?0∈XΘA.因Ah?X，所以A?X，根據(jù)內(nèi)核的定義v(εA)={X|0∈εA(X)}={X|A∈X}.v(ψ)是一個上界集，若A?X，A∈v(ψ)，就有 ψ ≥ εA;即下面證明因所以，因此由根據(jù)腐蝕和膨脹的附益性，由得到這說明

下面引入P(E)上的極小核元素和基的概念:P(E)上的遞增算子ψ，集合A∈v(ψ)稱為極小核元素，如果A沒有屬于v(ψ)的真子集.所有極小核元素A構(gòu)成的集合就是ψ的基，記作vb(ψ).由此得到P(E)上遞增的平移不變算子的極小表示，見定理5.

定理5設(shè)ψ是P(E)上一個遞增的平移不變算子，并且有非空的基vb(ψ)，那么

證明設(shè)B∈v(ψ)，所以0∈ψ(B)，根據(jù)佐恩引理，只要找到一個元素A?B，使得A∈v(ψ)，A就是v(ψ)的極小核元素，且A∈vb(ψ).B顯然是一個包含零向量的非空集合.若B沒有除空集以外的真子集，即B=，顯然B∈vb(ψ);若B有真子集A，顯然A∈v(ψ).所以v(ψ)有極小核元素A∈vb(ψ).根據(jù)定理 4第 1個等式的證明顯然成立.根據(jù)對偶性，得證.

5 結(jié)束語

通過本文可以發(fā)現(xiàn)，只要改變完備格上變換群的結(jié)構(gòu)，就可以得到相應(yīng)的形態(tài)算子表示.變換群的結(jié)構(gòu)又依賴于τ的結(jié)構(gòu)，因此最終形態(tài)算子表示依賴于τ的選擇.本文的工作對研究其他代數(shù)結(jié)構(gòu)下的形態(tài)算子表示以及灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)下的算子表示有一定的參考價值.

［1］Serra J.Image analysis and mathematical morphology［M］.London:Academic Press，1988.

［2］Matheron G.Random sets and integral geometry［M］.New York:John Wiley，1975.

［3］Heijmans H.Mathematicalmorphology:an algebraic approach ［J］.CWINewsletter，1987(14):7-27.

［4］Heijmans H.Morphological image operators［M］.Boston:Academic Press，1994.

［5］Heijmans H，Ronse C.The algebraic basis ofmathematicalmorphology，part1:dilations and erosions［J］.IEEE Transactions on Circuits，Systems and Signal Processing，1990，50(3):245-295.

［6］崔 屹.圖像處理與分析——數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2000.