基于黏結(jié)?滑移效應(yīng)的鋼筋混凝土梁裂縫寬度數(shù)值計(jì)算

陸春華，金偉良，蔣遨宇，陳駒

（1. 浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，浙江 杭州，310058；2. 江蘇大學(xué) 土木工程系，江蘇 鎮(zhèn)江，212013）

基于黏結(jié)?滑移效應(yīng)的鋼筋混凝土梁裂縫寬度數(shù)值計(jì)算

陸春華1,2，金偉良1，蔣遨宇1，陳駒1

（1. 浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，浙江 杭州，310058；2. 江蘇大學(xué) 土木工程系，江蘇 鎮(zhèn)江，212013）

基于黏結(jié)?滑移理論對鋼筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫寬度的計(jì)算進(jìn)行說明，指出采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分析的必要性。在綜合考慮鋼筋與混凝土間的黏結(jié)?滑移效應(yīng)、裂縫間混凝土拉伸硬化效應(yīng)以及材料非線性本構(gòu)關(guān)系等問題的基礎(chǔ)上，建立鋼筋混凝土梁構(gòu)件裂縫寬度計(jì)算的數(shù)值模型。以8根HRB500級高強(qiáng)鋼筋混凝土梁受彎開裂試驗(yàn)為例，將試驗(yàn)結(jié)果、規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果以及數(shù)值模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析。研究結(jié)果表明：試驗(yàn)梁短期最大裂縫寬度的模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較符合，兩者比值的均值為1.098，變異系數(shù)為0.146 5；而規(guī)范公式計(jì)算值則普遍大于試驗(yàn)值，需要進(jìn)行適當(dāng)修正。取等間距開裂的模型梁進(jìn)行算例分析，得出平均裂縫寬度預(yù)測值與規(guī)范公式的計(jì)算值較吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了該數(shù)值計(jì)算模型是一種有效的、準(zhǔn)確的裂縫寬度分析方法。

鋼筋混凝土；受彎構(gòu)件；黏結(jié)?滑移效應(yīng)；裂縫寬度；數(shù)值模型

引起混凝土開裂的原因很多，我國現(xiàn)行《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50010—2002）[1]（以下簡稱“規(guī)范GB 50010”）主要針對荷載作用下由拉力和彎矩引起的構(gòu)件橫向裂縫，是一種最常見的宏觀裂縫；規(guī)范GB 50010提出了具體的裂縫控制要求，并作為正常使用極限狀態(tài)驗(yàn)算內(nèi)容之一。對于該類裂縫寬度的計(jì)算理論，目前主要有以下3種[2]：黏結(jié)?滑移理論、無滑移理論和綜合裂縫理論。其中，黏結(jié)?滑移理論最為經(jīng)典，應(yīng)用最廣。基于黏結(jié)?滑移理論，國內(nèi)外學(xué)者對受力裂縫的計(jì)算方法進(jìn)行了一定的理論分析。Creazza等[3]假定鋼筋與混凝土間的黏結(jié)應(yīng)力與滑移關(guān)系符合線性關(guān)系，并忽略裂縫間混凝土的拉伸硬化效應(yīng)后得到了裂縫寬度計(jì)算公式的解析解；Kwak等[4]假定裂縫間混凝土與鋼筋的應(yīng)變可用n次多項(xiàng)式函數(shù)來描述，由此據(jù)滑移量來計(jì)算裂縫寬度；Oh等[5]假定黏結(jié)應(yīng)力與滑移關(guān)系符合冪函數(shù)關(guān)系，在考慮材料線性本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了裂縫寬度計(jì)算的理論公式。然而，以上研究都采用了一定假設(shè)和簡化處理，如果要綜合考慮黏結(jié)?滑移效應(yīng)的復(fù)雜關(guān)系、混凝土的拉伸硬化效應(yīng)以及材料的非線性本構(gòu)關(guān)系時，很難直接從黏結(jié)?滑移理論得到裂縫寬度計(jì)算的解析解；此時，采用數(shù)值計(jì)算方法對裂縫寬度進(jìn)行分析便是一種有效的途徑[6?7]。與此同時，隨著對混凝土結(jié)構(gòu)耐久性要求的提高、保護(hù)層厚度的增大以及普通高強(qiáng)鋼筋（強(qiáng)度500 MPa及以上）的逐步推廣應(yīng)用[8]，按我國規(guī)范GB 50010計(jì)算的最大裂縫寬度會出現(xiàn)明顯增大[9]，值得進(jìn)一步試驗(yàn)研究和理論分析驗(yàn)證。鑒于此，本文作者以黏結(jié)?滑移理論為的基礎(chǔ)，建立了受彎梁構(gòu)件裂縫寬度計(jì)算的數(shù)值模型；結(jié)合配置HRB500級鋼筋混凝土梁的受彎試驗(yàn)，對試驗(yàn)結(jié)果、規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果以及數(shù)值模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證了數(shù)值模型的可行性和準(zhǔn)確性，相關(guān)結(jié)果可為規(guī)范公式的修訂提供參考。

1 黏結(jié)?滑移理論簡介

黏結(jié)?滑移理論一直被公認(rèn)為“經(jīng)典”的裂縫計(jì)算理論，并被廣泛地應(yīng)用。如歐洲規(guī)范EN1992-1-1： 2004[10]，CEB-FIP Model Code 1990[11]以及我國規(guī)范GB 50010中驗(yàn)算裂縫寬度的計(jì)算公式都是基于黏結(jié)?滑移理論建立的。理論認(rèn)為當(dāng)?shù)谝粭l（批）裂縫出現(xiàn)后（見圖1（a），圖中：lcr為裂縫間距；τb為黏結(jié)應(yīng)力；T為拉力），裂縫處的混凝土將向兩邊回縮，使混凝土和鋼筋之間產(chǎn)生黏結(jié)應(yīng)力。一方面，通過黏結(jié)應(yīng)力的作用，鋼筋的拉力將部分傳給混凝土；另一方面，由于受拉鋼筋應(yīng)變與混凝土應(yīng)變存在差異，兩者間將產(chǎn)生相對滑移（見圖1（b））。此時，某一位置x處的滑移量s（x）可表示為[4]：

式中：lt表示黏結(jié)傳遞長度；εs（x）和εct（x）分別表示傳遞長度lt內(nèi)某x位置處鋼筋與混凝土應(yīng)變。

在初始開裂階段（裂縫間距l(xiāng)cr較大，一般lcr＞2lt），兩裂縫間有一定區(qū)域的混凝土和鋼筋應(yīng)變相等，該區(qū)域不存在黏結(jié)應(yīng)力τb和滑移（見圖1（c））；隨著外部荷載的增大，經(jīng)過一定的傳遞長度可使該區(qū)域混凝土的拉應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度，此時第2條（批）裂縫出現(xiàn)了。當(dāng)所有的裂縫間距均小于2lt后，裂縫開展便達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖1 鋼筋與混凝土間黏結(jié)與滑移Fig.1 Bond-slip between concrete and steel

根據(jù)黏結(jié)?滑移理論，某一裂縫的開展寬度w應(yīng)該等于該裂縫左右兩側(cè)滑移量之和，即：

通過鋼筋、混凝土材料的受力平衡分析，在式（1）的基礎(chǔ)上，可得到以下描述黏結(jié)應(yīng)力τb（x）與滑移s（x）關(guān)系的微分方程[4?5]：

式中：αE為彈模比，αE=Es/Ec；ρ為縱筋配筋率，ρ=As/Act；As和Act分別為縱向鋼筋面積和受拉混凝土面積；μd為縱向鋼筋的圓周長度。

給定黏結(jié)應(yīng)力?滑移關(guān)系，在一定邊界條件下，可以據(jù)式（3）求得黏結(jié)應(yīng)力的具體解函數(shù)，再通過力平衡關(guān)系求得鋼筋和混凝土的應(yīng)力分布，進(jìn)而求得相應(yīng)的裂縫寬度w。但是，通過這種方法計(jì)算裂縫寬度存在以下不足之處[4]：

（1） 計(jì)算過程要經(jīng)過2次積分，若黏結(jié)滑移關(guān)系比較復(fù)雜，則相應(yīng)的解也很復(fù)雜；

（2） 鋼筋和混凝土的本構(gòu)關(guān)系為非線性關(guān)系時，確定鋼筋和混凝土應(yīng)變則較為繁瑣；

（3） 計(jì)算得到的最大黏結(jié)應(yīng)力與試驗(yàn)結(jié)果一般相差較大。因此，結(jié)合黏結(jié)?滑移理論對受力裂縫寬度問題進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算是很有必要的。

2 數(shù)值計(jì)算模型的建立

2.1 模型定義

以鋼筋混凝土矩形受彎梁構(gòu)件為例，根據(jù)裂縫開展位置將整根梁劃分為若干個母單元lcr,i；再將母單元等分為n個子單元，如圖2（a）所示。圖2（a）中，M表示彎矩。根據(jù)平截面假定，可得截面應(yīng)變?nèi)鐖D2（b）所示。圖2（b）中，b為寬度；h為高度；uc（x）為受壓砼變形；uct（x）為受拉砼變形；us（x）為鋼筋變形；dt表示受拉混凝土應(yīng)力傳遞有效高度，可按下式[6]計(jì)算。

式中：c為縱向受拉鋼筋的保護(hù)層厚度；d為縱筋的直徑。

圖2 數(shù)值計(jì)算模型圖Fig.2 Model for numerical calculation

2.2 子單元控制方程

對于每個子單元，可建立如下平衡方程（5）～（7）。其中，式（7）為鋼筋微元的平衡方程。

式中：Ac為受壓區(qū)混凝土面積，Ac=dc×b，dc為受壓區(qū)混凝土高度；At為受拉混凝土有效面積，At=dt×b；k為縱向受拉鋼筋的層數(shù)；hs為鋼筋重心到截面形心軸的距離；M（x）為截面外加彎矩；τb（x）為鋼筋與混凝土間的黏結(jié)應(yīng)力。

根據(jù)鋼筋與混凝土間的黏結(jié)?滑移關(guān)系表達(dá)式（1），可建立如下變形協(xié)調(diào)方程：

在求解上述平衡方程和協(xié)調(diào)方程時，需要確定混凝土、鋼筋以及兩者間黏結(jié)?滑移的本構(gòu)關(guān)系。這里，混凝土的本構(gòu)關(guān)系σc=σc（εc）采用CEB-FIP 1990[11]建議的模型；鋼筋的本構(gòu)關(guān)系σs=σs（εs）由鋼筋拉伸試驗(yàn)確定；黏結(jié)滑移本構(gòu)關(guān)系τb=τb（s）采用CEB-FIP 1990中給出的黏結(jié)?滑移曲線（見圖3），具體如下式所示：

對于無約束、黏結(jié)性能良好的混凝土構(gòu)件，式（9a）～（9d）中相關(guān)參數(shù)取值如下：；α=0.4；s1，s2和s3分別為0.6，0.6和1.0 mm；其中fck為混凝土圓柱體（直徑×高度為150 mm× 300 mm）抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值（MPa），當(dāng)強(qiáng)度等級≤C50時，fck=0.8fcu,k[11]。

圖3 黏結(jié)?滑移本構(gòu)關(guān)系[11]Fig.3 Bond-slip relationship[11]

3 單元的數(shù)值求解

3.1 母單元的邊界條件

由計(jì)算模型可知：母單元的邊界有開裂截面和梁端截面2種情況。在裂縫開展截面，由于受拉區(qū)混凝土不參與工作，拉力全部由鋼筋承擔(dān)，此時，平衡方程（5）和（6）可以簡化，進(jìn)而可求得裂縫截面處的鋼筋應(yīng)力σs,0和σs,n（滑移量s0和sn是未知的），可作為開裂截面的邊界條件。對于梁端截面，可考慮混凝土完好，鋼筋與相鄰混凝土之間無相對滑移，故可取滑移量s0或sn等于0為邊界條件。

3.2 子單元的迭代求解

控制方程（5）～（8）的求解涉及不同截面中和軸位置的確定、材料本構(gòu)關(guān)系的非線性分析等問題，這里采用文獻(xiàn)[6?7]建議的迭代算法進(jìn)行求解。將母單元lcr,i等分為n=100個子單元?x，假定各子單元范圍內(nèi)黏結(jié)應(yīng)力τb均勻分布。則結(jié)合微分方程（7）和（8），對于第i次迭代，若j截面處的變量值已知，則由有限差分法可得到j(luò)+1截面處的變量表達(dá)式為：

再根據(jù)母單元邊界條件，可以給出子單元迭代求解的收斂判斷方法。以兩端為開裂截面的母單元為例，其收斂控制方程如下式所示，相應(yīng)的迭代過程及裂縫計(jì)算的流程圖如圖4所示。

圖4 單元迭代計(jì)算流程圖Fig.4 Flowchart of numerical solution

4 試驗(yàn)研究與模型驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)簡介

以保護(hù)層厚度、鋼筋配筋率以及鋼筋直徑為主要參數(shù)，設(shè)計(jì)制作了8根HRB500級鋼筋混凝土梁；受壓構(gòu)造鋼筋均采用直徑10 mm的HPB235級鋼筋（計(jì)算時可不考慮受壓鋼筋影響），試件構(gòu)造見圖5。試驗(yàn)梁混凝土設(shè)計(jì)強(qiáng)度等級均為C30，試件參數(shù)和材料力學(xué)性能見表1。表1中，為150 mm立方體混凝土抗壓強(qiáng)度實(shí)測值；而軸心抗壓強(qiáng)度計(jì)算，軸心抗拉強(qiáng)度計(jì)算。混凝土和鋼筋的彈性模量按N/mm2計(jì)算。

圖5 試件構(gòu)造圖Fig.5 Specimen configuration

試驗(yàn)采用四點(diǎn)受彎，通過分配梁在跨中形成1 m的純彎段。按《混凝土結(jié)構(gòu)試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50152— 92）分多級加載至正常使用狀態(tài)短期試驗(yàn)荷載，此時，跨中彎矩M與極限彎矩的比在0.6～0.7之間（是按混凝土實(shí)測強(qiáng)度和鋼筋屈服強(qiáng)度計(jì)算得到的理論極限彎矩）。試驗(yàn)測得了各級荷載作用下的裂縫寬度（包括梁底和鋼筋水平位置處）和裂縫間距等結(jié)果。

4.2 規(guī)范公式計(jì)算

對于梁表面縱向受拉鋼筋水平位置處的裂縫，規(guī)范GB 50010給出的短期最大裂縫寬度的計(jì)算公式為：

式中：sτ為短期裂縫寬度擴(kuò)大系數(shù)，對受彎構(gòu)件取為1.66；cα為裂縫間混凝土應(yīng)變對裂縫寬度的影響系數(shù)，取為0.85。

4.3 數(shù)值模型驗(yàn)證

根據(jù)試驗(yàn)梁的裂縫分布情況將整根梁劃分為若干個母單元，建立相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算模型，并通過MATLAB語言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)荷載水平M/在0.45～0.70之間時，在各級荷載步作用下（對L2-A和L2-C梁測讀2個荷載步，對其余梁測讀3個荷載步），試驗(yàn)梁的短期最大裂縫寬度試驗(yàn)值、模型預(yù)測值以及規(guī)范公式計(jì)算值的比較如圖6所示。

從圖6可以看出：數(shù)值模型預(yù)測值與試驗(yàn)值較符合，而規(guī)范公式的計(jì)算值則偏大，尤其是L1和L2梁。經(jīng)計(jì)算，模型預(yù)測值與試驗(yàn)值比值的均值為1.098，變異系數(shù)為0.146 5；而公式計(jì)算值與試驗(yàn)值比值的均值為1.244，變異系數(shù)為0.169 9?？梢姡簩τ谡Ｊ褂脿顟B(tài)下500級高強(qiáng)鋼筋混凝土梁，數(shù)值模型能較準(zhǔn)確地分析和計(jì)算梁的短期最大裂縫寬度；而按規(guī)范公式計(jì)算的短期最大裂縫寬度需要除以1.2的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)修正。

表1 試件參數(shù)和混凝土力學(xué)性能Table 1 Parameters and concrete mechanical properties of specimen

圖6 短期最大裂縫寬度比較Fig.6 Comparisons of short-term maximum crack width

表2所示為L1-C梁在第12級荷載水平作用下（M/=0.619）鋼筋水平位置處各條裂縫的預(yù)測寬度和試驗(yàn)寬度的比較。由表2可知：梁純彎段內(nèi)較寬裂縫（2～8號裂縫）的預(yù)測值與試驗(yàn)值較吻合，兩者比值的均值為1.103，變異系數(shù)為0.122 3；而對于純彎段外較細(xì)小的斜裂縫，則相對偏差較大，這說明黏結(jié)?滑移理論不適用斜裂縫寬度的計(jì)算。按照規(guī)范的裂縫控制要求，梁內(nèi)較寬的裂縫往往為主要研究對象；對于這些裂縫，數(shù)值模型的預(yù)測精度是能滿足要求的。

表2 L1-C梁第12荷載步下各裂縫寬度預(yù)測值與試驗(yàn)值對比Table 2 Comparison of crack width of specimen L1-C calculated at load step 12 with test results

5 算例應(yīng)用分析

為了進(jìn)一步說明數(shù)值模型的應(yīng)用效果，對配置不同強(qiáng)度等級鋼筋的混凝土梁構(gòu)件進(jìn)行裂縫寬度分析。規(guī)范GB 50010規(guī)定，當(dāng)截面高度大于300 mm時，應(yīng)沿梁全長設(shè)置箍筋；對于這類構(gòu)件，試驗(yàn)研究[12?14]和統(tǒng)計(jì)分析[15]均表明：構(gòu)件的裂縫間距明顯受箍筋位置影響；在梁純彎段內(nèi)，裂縫發(fā)生位置與箍筋位置基本一致，即裂縫間距為箍筋間距。因此，在模型實(shí)際應(yīng)用時，將梁純彎段內(nèi)的裂縫間距取為箍筋間距；并設(shè)箍筋間距為單一值，則裂縫間距即為平均裂縫間距，且各條裂縫寬度相等，均為平均裂縫寬度。此時，規(guī)范式（13）需要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，將平均裂縫間距取為箍筋間距sv，且無需考慮短期裂縫寬度擴(kuò)大系數(shù)，即：

在構(gòu)件參數(shù)的選取上，取計(jì)算跨度l0=5.6 m的簡支梁，截面寬度×高度為250 mm×500 mm；當(dāng)裂縫間距一定時，保護(hù)層厚度對裂縫寬度的影響不大，統(tǒng)一取為30 mm；混凝土強(qiáng)度等級取為C30。以鋼筋配筋率、鋼筋強(qiáng)度等級以及箍筋間距為參數(shù)，對四點(diǎn)受彎（梁純彎段長度為2.8 m）的簡支梁進(jìn)行開裂分析；當(dāng)跨中彎矩M達(dá)到0.65時，認(rèn)為構(gòu)件達(dá)到正常使用極限狀態(tài)。經(jīng)計(jì)算，不同情況下裂縫寬度的模型預(yù)測值與理論計(jì)算值間的關(guān)系如圖7所示。

（a） 3Φ20; （b） 4Φ201—預(yù)測值（HRB335）; 2—計(jì)算值（HRB335）;3—預(yù)測值（HRB400）; 4—計(jì)算值（HRB400）;5—預(yù)測值（HRB500）; 6—計(jì)算值（HRB500）

從圖7可以看出：當(dāng)箍筋間距分別取為100，150和200 mm時，對于配置3根和4根直徑為20 mm的HRB335，HRB400和HRB500鋼筋混凝土模型梁，裂縫寬度數(shù)值預(yù)測結(jié)果與按式（14）的計(jì)算結(jié)果較符合；當(dāng)箍筋間距增大到300 mm時，模型預(yù)測結(jié)果則偏小。考慮到實(shí)際配箍梁，裂縫間距通常在100～200 mm范圍內(nèi)，此時，預(yù)測值與計(jì)算值比值的均值為1.050，變異系數(shù)為0.06?？梢姡耗Ｐ偷膽?yīng)用效果是非常理想的。同時，從另一方面也可以看出：我國規(guī)范公式中關(guān)于平均裂縫寬度的計(jì)算方法是可行的，是建立在黏結(jié)?滑移理論基礎(chǔ)上的。

6 結(jié)論

（1） 以黏結(jié)?滑移理論為基礎(chǔ)，綜合考慮裂縫間受拉區(qū)混凝土拉伸硬化效應(yīng)的影響，建立了鋼筋混凝土梁構(gòu)件受力裂縫寬度計(jì)算的數(shù)值模型，并通過MATLAB語言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，為混凝土結(jié)構(gòu)受力裂縫計(jì)算提供了一種有效的分析方法。

（2） 以8根HRB500級高強(qiáng)鋼筋混凝土梁受彎開裂試驗(yàn)為依據(jù)，對數(shù)值模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較符合，相關(guān)數(shù)值計(jì)算模型在分析受力裂縫方面是可行的，預(yù)測精度較高；而規(guī)范公式計(jì)算值則普遍大于試驗(yàn)值，需要進(jìn)行適當(dāng)修正。

（3） 對于等間距開裂的試驗(yàn)梁，數(shù)值計(jì)算模型的裂縫寬度預(yù)測結(jié)果與規(guī)范公式中平均裂縫寬度的計(jì)算結(jié)果較吻合，說明規(guī)范公式也是基于黏結(jié)?滑移理論建立的，兩者間有較好的相關(guān)性。

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（編輯 楊幼平）

Numerical analysis for crack width of reinforced concrete beam with bond-slip effect

LU Chun-hua1,2, JIN Wei-liang1, JIANG Ao-yu1, CHEN Ju1
（1. Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China; 2. Department of Civil Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China）

The element principle of bond-slip relation in calculating structural crack width was briefly introduced, and the necessity to adopt numerical analysis was pointed out. Then, a numerical model for analyzing the crack width of reinforced concrete （RC） beams was built, which took bond-slip relationship between concrete and steel bar, tensionstiffening effect of concrete and nonlinear constitutive relationships of materials into account. Based on the experimental results of eight RC beams with 500 MPa steel bars, a comparison between model predictions, test observations and formula calculations was made. The outcome indicates that the predicted results agree well with the test values and the mean and coefficient of variation of their ratios are 1.098 and 0.146 5, respectively. And the calculations are greater than test values and should be modified. Based on analytical example, it can be concluded that the numerical model agrees with code formula in the calculation of mean crack width and it is practical in predicting crack width for RC beams.

reinforced concrete; flexural specimen; bond-slip effect; crack width; numerical model

TU375

A

1672?7207（2011）05?1399?07

2010?03?29；

2010?06?30

國家科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2006BAJ03A02）；國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（50908103）

陳駒（1978?），男，浙江杭州人，博士，講師，從事混凝土結(jié)構(gòu)工程研究；電話：0571-88208719；E-mail： cecj@zju.edu.cn