理想平板顫振臨界風(fēng)速的一種新算法

邱 可，孫作玉

(廣州大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東廣州510006)

在橋梁風(fēng)工程中，當(dāng)風(fēng)速超過(guò)顫振臨界風(fēng)速時(shí)，結(jié)構(gòu)以振動(dòng)方式從氣流中吸取的能量大于被結(jié)構(gòu)阻尼所耗散的能量，從而使結(jié)構(gòu)的振動(dòng)處于負(fù)阻尼的狀態(tài)而發(fā)生顫振。顫振現(xiàn)象的出現(xiàn)可能導(dǎo)致橋梁結(jié)構(gòu)的整體破壞，所以必須避免顫振現(xiàn)象的發(fā)生。因而，判斷顫振臨界狀態(tài)，計(jì)算顫振臨界風(fēng)速，對(duì)結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)有著非常重要的作用。

目前，關(guān)于理想平板兩自由度耦合顫振下其臨界風(fēng)速的理論計(jì)算，風(fēng)工程學(xué)者們基于Scanlan［1］顫振分析方法提出了一種將平板顫振臨界風(fēng)速的確定轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程的共同解問(wèn)題。但這兩個(gè)方程是四次非線性，公式復(fù)雜，計(jì)算量大。許福友用追趕法［1］計(jì)算了平板的顫振臨界風(fēng)速，雖然達(dá)到了較高的精度，但所用的方程組依然是四次非線性復(fù)雜方程組，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜。本文基于平板顫振理論，提出了一種新算法，該方法首先建立了用于確定含有8個(gè)顫振導(dǎo)數(shù)的顫振臨界風(fēng)速的兩未知數(shù)方程組，并通過(guò)設(shè)定某一未知數(shù)的取值范圍，對(duì)其中某一方程轉(zhuǎn)換成特征方程，得到該方程的精確解，代入另一方程，并對(duì)未知數(shù)取值范圍進(jìn)行約束，最后得到了該方程組的近似解。通過(guò)算例分析，發(fā)現(xiàn)得到顫振臨界風(fēng)速與追趕法吻合良好，證實(shí)了該方法的可靠性和有效性。

1 橋梁斷面運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于在水平均勻流場(chǎng)中作微幅振動(dòng)的二維理想薄平板(圖1)，在顫振僅考慮有自激力作用的情況下，具有豎彎和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度。橋梁斷面在空氣中的二維耦合顫振的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為［2］:

式中:m和I分別為橋梁主梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量和質(zhì)量慣矩;ωh和ωα分別為結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有圓頻率;ξh和ξα分別為豎向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)結(jié)構(gòu)阻尼比;ρ為空氣密度;U為均勻來(lái)流風(fēng)速;B為橋面寬度為折減頻率;ω為振動(dòng)圓頻率;為顫振導(dǎo)數(shù)，均為折減頻率K的函數(shù)［3，4］，與橋梁斷面的幾何構(gòu)型和來(lái)流有關(guān)。通常被稱為直接顫振導(dǎo)數(shù)，而被稱為耦合(交叉)顫振導(dǎo)數(shù);h和α分別為主梁的豎向和扭轉(zhuǎn)位移。

圖1 理想平板

2 顫振臨界風(fēng)速方程組推導(dǎo)

在顫振臨界狀態(tài)，豎向平動(dòng)和扭轉(zhuǎn)二個(gè)自由度具有相同的運(yùn)動(dòng)頻率［5］，記這一未知頻率為ω0，則可以假設(shè)節(jié)段模型的豎向簡(jiǎn)諧振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)有如下形式:

式中:h0和α0為豎向和扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅;ω0為顫振頻率。ω0為實(shí)數(shù)條件下，將式(3)代入式(1)和式(2)化簡(jiǎn)并且使得式中等號(hào)兩邊的實(shí)部和虛部分別相等。于是有:

由式(8)～式(9)化簡(jiǎn)可得:

3 顫振臨界風(fēng)速計(jì)算方法

式(10)和式(11)含有兩個(gè)未知數(shù)X和K，其中K隱含在顫振導(dǎo)數(shù)和中。而K與顫振圓頻率ω和風(fēng)速U有關(guān)，而X又只與ω有關(guān)。該方程組只需求解ω和K這兩個(gè)物理量。式(10)和式(11)均為強(qiáng)非線性方程，各有無(wú)窮多組解，需采用半逆解法對(duì)兩個(gè)方程的根循環(huán)對(duì)比來(lái)搜索共同解，計(jì)算過(guò)程非常復(fù)雜，因而理論上的共同解很難獲取。本文通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行變換，利用式(11)的解代于式(10)，然后進(jìn)行分析，就可得到該方程組的近似解。在顫振臨界狀態(tài)中，它是扭轉(zhuǎn)發(fā)散振動(dòng)或彎扭復(fù)合的發(fā)散振動(dòng)，一般來(lái)講，在顫振臨界狀態(tài)，振動(dòng)頻率 ω0處在 ωh和 ωα之間:ωh≤ω0≤ωα。對(duì)式(11)進(jìn)行轉(zhuǎn)換為如下形式:

式中，［E］為2階單位矩陣。

式(12)可以看作是一個(gè)特征方程的形式，對(duì)每一個(gè)確定的K值，求出一個(gè)相應(yīng)的特征解ω0。搜索顫振臨界風(fēng)速的近似解的基本步驟如下:

(1)選取一定范圍內(nèi)的K值，通過(guò)式(12)求出一系列相應(yīng)的正實(shí)數(shù)特征解ω0，記作ωi，與之對(duì)應(yīng)的K值也記為Ki;

(2)把步驟(1)得出的Ki和ωi值代入式(13)的左邊，并令其絕對(duì)值大小等于yi;

(3)選取 ωh≤ωi≤ωα?xí)r對(duì)應(yīng)的 yi值，當(dāng) yi取得極小值時(shí)，求出其對(duì)應(yīng)的K和ω值，分別記為Kj和ωj;

4 算例

在均勻流作用下的一個(gè)薄平板，寬度B=0.45 m，質(zhì)量m=11.25 kg/m，質(zhì)量慣矩I=0.2828 kg·m2/m，豎彎頻率ωh=12.11rad/s，扭轉(zhuǎn)頻率 ωα=19.0 rad/s，豎彎阻尼比 ξh=0.005，扭轉(zhuǎn)阻尼比 ξα=0.008，空氣密度 ρ =1.225 kg/m3，確定其顫振臨界風(fēng)速。

在［0 4］范圍內(nèi)每隔0.02取作一個(gè)K值，即K=0.02∶0.02∶4。然后通過(guò)上述步驟計(jì)算出的ω值，如圖2所示。

圖2 振動(dòng)頻率值

通過(guò)圖2中的數(shù)值計(jì)算yi值，并分析得到K=0.42，ω=14.7907為所求的參數(shù)，計(jì)算出相應(yīng)的顫振風(fēng)速解為Uj=16.6395 m/s。用追趕法［1］計(jì)算的顫振臨界風(fēng)速解結(jié)果為16.04 m/s，可見(jiàn)結(jié)果吻合良好。

5 結(jié)論

基于平板顫振理論，提出了理想平板條件下求其顫振臨界風(fēng)速的一種新計(jì)算方法，并應(yīng)用該方法對(duì)一算例進(jìn)行了分析。

(1)與其他方法［1，5］相比，該算法列出的方程組簡(jiǎn)便，最高次數(shù)只有兩次，降低了階次，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程;

(2)與其他方法［1，5］相比，該算法提出的搜索顫振臨界風(fēng)速解求解過(guò)程更簡(jiǎn)單，并且計(jì)算結(jié)果吻合良好，證實(shí)了該方法的有效性和適用性。

［1］許福友，陳艾榮，王達(dá)磊.搜索平板顫振臨界風(fēng)速的追趕法［J］.工程力學(xué)，2005，22(5)

［2］Scanlan R H.Theaction of flexible bridges under wind I:flutter theory［J］.J.Sound and Vib，1978，60(2):187 －199

［3］李國(guó)豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)(修訂版)［M］.王光遠(yuǎn)，譯.北京:科學(xué)出版社，1996

［4］Scanlan R H.Problematic in formulation of wind － force model for bridge decks［J］.J Styuct Engry ASCE，1993，119(7):1433 － 1446

［5］陳政清.橋梁風(fēng)工程［M］.北京:人民交通出版社，2005