3個(gè)三角形中線不等式猜想的證明

●楊學(xué)枝 (福州市第二十四中學(xué) 福建福州 350015)

3個(gè)三角形中線不等式猜想的證明

●楊學(xué)枝 (福州市第二十四中學(xué) 福建福州 350015)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，取到等號(hào)．

隨后，在2010年6月11日，劉保乾先生通過機(jī)器驗(yàn)證后又提出了較式(1)更強(qiáng)的不等式，即定理2．

定理 2在△ABC 中，AC=b，AB=c，邊 AC，AB 上的中線分別為 mb，mc，高線分別為 hb，hc，則

2010年6月5日，劉保乾先生在全國不等式研究會(huì)網(wǎng)站上提出了關(guān)于三角形中線的一個(gè)猜想，即定理1．

定理 1在△ABC 中，AC=b，AB=c，邊 AC，AB 上的中線分別為 mb，mc，高線分別為 hb，hc，則

以上3個(gè)不等式不容易驗(yàn)證．經(jīng)探討，筆者用二次函數(shù)的簡單性質(zhì)較為簡捷地證明了以上3個(gè)幾何不等式．按理說，式(2)比式(1)強(qiáng)，因此只要證式(2)即可．但由于在證明式(2)時(shí)要用到式(1)，因此下面分別證明這3個(gè)式子．

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)，取到等號(hào)．

在同一天，他還提出了與式(2)類似的一個(gè)不等式，即定理3．

定理 3在△ABC 中，AC=b，AB=c，邊 AC，AB 上的中線分別為 mb，mc，高線分別為 hb，hc，則