高考創(chuàng)新題的命題走向及解題策略

●胡水林 (元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

高考創(chuàng)新題的命題走向及解題策略

●胡水林 (元濟(jì)高級(jí)中學(xué) 浙江海鹽 314300)

《浙江省普通高考考試說(shuō)明》中對(duì)創(chuàng)新意識(shí)能力的要求:能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．

在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問(wèn)題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，注重問(wèn)題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性．精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的試題;反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題;研究型、探索型、開(kāi)放型的試題．

從2004年開(kāi)始，全國(guó)16個(gè)省市獨(dú)立高考命題，形成了“百花齊放”的局面．審視近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn):高考數(shù)學(xué)試題正經(jīng)歷著一個(gè)從“知識(shí)立意”到“問(wèn)題立意”，再發(fā)展為以“能力立意”的過(guò)程，目的是突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，并發(fā)掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能，以符合新時(shí)代的人才要求．

創(chuàng)新題是近幾年高考數(shù)學(xué)試題中備受青睞的一種題型．它多姿多彩的格調(diào)、清晰優(yōu)美的風(fēng)采、發(fā)散開(kāi)放的形式、四兩撥千金的巧妙，構(gòu)成了高考試題中一道亮麗的風(fēng)景線．如何引導(dǎo)學(xué)生立足于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)用創(chuàng)新思維，“以子之矛攻子之盾”，從而突破層層表象的迷霧，抓住隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題呢?仔細(xì)研究這些試題可以使我們明晰高考數(shù)學(xué)命題的動(dòng)向和趨勢(shì)，以幫助師生制定相應(yīng)的解題策略，從而提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)迎考的針對(duì)性和有效性．

1 以初等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為創(chuàng)新點(diǎn)命制試題

1．1以函數(shù)知識(shí)為背景

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

創(chuàng)意分析本題主要考查了函數(shù)的概念、定義域、值域、圖像和對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求，體現(xiàn)了對(duì)能力的考查，屬中檔題．

1．2 以數(shù)列定義為背景

創(chuàng)意分析本題以考生熟悉的等差、等比數(shù)列的定義為命題的出發(fā)點(diǎn)，創(chuàng)造性地構(gòu)造“等差比數(shù)列”的新定義，在新定義下判斷命題真假．這樣命制體現(xiàn)了試題背景的公平性，考查了考生知識(shí)的遷移能力和應(yīng)變能力．

解題策略透過(guò)新定義的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)即等差、等比數(shù)列的概念，進(jìn)行檢驗(yàn)．答案選D．

1．3 以推遞數(shù)列為背景

例3定義一種運(yùn)算“*”:對(duì)于自然數(shù)滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì):

創(chuàng)意分析本題以規(guī)定了一種新的運(yùn)算“*”形式命題，而本質(zhì)以考生熟悉的遞推數(shù)列為命題的出發(fā)點(diǎn)，考查學(xué)生的閱讀能力和轉(zhuǎn)化能力．

解題策略關(guān)健是要讀懂題意，例如考生將“1*1”讀懂為“a1”，將“n*1”讀懂為“an”，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為:已知 a1=1且 an+1=an+1，則an等于多少?即可知選D．

1．4 以直角坐標(biāo)系為背景

圖1

例4如圖1，平面中2條直線l1和l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若p，q分別是點(diǎn)M到直線l1和l2的距離，則稱(chēng)有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(p，q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．已知常數(shù)p≥0，q≥0，給出下列命題:

①若p=q=0，則“距離坐標(biāo)”為(0，0)的點(diǎn)有且僅有1個(gè);

②若 pq=0，且 p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為(p，q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè);

③若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為(p，q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè)．

上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2006年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

創(chuàng)意分析本題以學(xué)生熟悉的直角坐標(biāo)系為母體，設(shè)計(jì)了“距離坐標(biāo)”新定義，把一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到2條相關(guān)直線的距離所形成的有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(p，q)定義為點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”，在新定義下判斷幾個(gè)命題的真假．這類(lèi)創(chuàng)新題考查學(xué)生能否讀懂題意，是否能將信息遷移．因而，這類(lèi)創(chuàng)新題難度不大，但對(duì)閱讀能力、理解能力、知識(shí)遷移能力、應(yīng)變能力等要求相對(duì)較高．

解題策略①當(dāng)p=q=0時(shí)，則點(diǎn)M只能落在直線l1和l2相交點(diǎn)O處，命題正確．

②當(dāng) pq=0，且 p+q≠0 時(shí)，例如 p=0，q≠0，則點(diǎn)M只能落在直線l1上，故只有2個(gè)點(diǎn)．

③若pq≠0時(shí)，點(diǎn)M可能落在直線l1和l2外，且到直線l1和l2的的距離分別是p，q，這樣的點(diǎn)共有4個(gè)．

故選D．

1．5 以分段函數(shù)為背景

例5在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“⊕”如下:當(dāng) a≥b時(shí)，a⊕b=a;當(dāng) a＜b時(shí)，a⊕b=b2，則函數(shù) f(x)=(1⊕x)·x－ (2⊕x)(x∈［－2，2］)的最大值等于(“·”和“－”仍為通常的乘法和減法) ( )

A．－1 B．1 C．6 D．12

創(chuàng)意分析本題以考生熟悉的分段函數(shù)為命題的出發(fā)點(diǎn)，定義了一種新運(yùn)算“⊕”．在這種新運(yùn)算下，又有“·”和“－”通常的乘法和減法運(yùn)算．這類(lèi)創(chuàng)新題考查學(xué)生能否正確理解新運(yùn)算的定義和新舊運(yùn)算之間的混合運(yùn)算的適應(yīng)能力．

解題策略由題意得

畫(huà)圖可知函數(shù)的最大值是6．故選C．

2 以新課程新增知識(shí)點(diǎn)為創(chuàng)新點(diǎn)命制試題

“堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)”是近幾年高考命題者堅(jiān)持的一個(gè)命題方向，試卷突出新增加的如概率、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的應(yīng)用性，反映出中學(xué)課程新增加的數(shù)學(xué)內(nèi)容在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用．研究型、探索型、開(kāi)放型試題是創(chuàng)新型試題的基本題型，有利于測(cè)試考生的能力與素質(zhì)，有利于考查考生的探究精神．

例6如圖2，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱(chēng)軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導(dǎo)函數(shù)y=S'(t)的圖像大致為 ( )

圖2

(2010年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

創(chuàng)意分析本題考查了閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物的接受能力和加以簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力．既考查了應(yīng)用意識(shí)，又考查了探究精神．要求解題者通過(guò)觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理解新情境，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有用的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和探索能力．

解題策略本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒(méi)有變化，導(dǎo)數(shù)取0，因此排除選項(xiàng)C;總面積一直保持增加，沒(méi)有負(fù)的改變量，排除選項(xiàng)B;考察選項(xiàng)A和D，差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，故選A．

3 以競(jìng)賽數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為創(chuàng)新點(diǎn)命制試題

3．1 以函數(shù)迭代為背景

例7 若f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如:142+1=197，1+9+7=17，則 f(14)=17;記 f1(n)=f(n)，f2(n)=f(f1(n))，…，fk+1(n)=f(fn(n))，k∈ N*，則 f2008(8)=＿＿．

創(chuàng)意分析本題定義了一個(gè)新的函數(shù)f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，以競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的函數(shù)迭代定義fm(n)，從而求值．

3

．2 以格點(diǎn)(整點(diǎn))為背景

創(chuàng)意分析本題以“格點(diǎn)”為背景，創(chuàng)造性地定義了“k階格點(diǎn)函數(shù)”，而讓學(xué)生判斷哪些函數(shù)是“一階格點(diǎn)函數(shù)”，讓學(xué)生在讀懂新定義情況下，判斷哪些函數(shù)圖像上有且只有一點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)．背景新穎，難度不大．

解題策略函數(shù)①只經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)，函數(shù)②只經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，3)，函數(shù)④只經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，而函數(shù)③經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，( －1，3)，( －2，9)，……．故答案是①②④．

3．3 以高斯函數(shù)背景

例9對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)［x］表示x的整數(shù)部分，即是不超過(guò)x的最大整數(shù)，當(dāng)x是整數(shù)時(shí)［x］就是x．函數(shù)f(x)=［x］叫做“高斯函數(shù)或取整函數(shù)”，則［log21］+［log22］+［log23］+［log24］+… +［log22 008］=＿＿ ．

創(chuàng)意分析本題給出“高斯函數(shù)”的定義，在高斯函數(shù)定義下求對(duì)數(shù)的值，關(guān)鍵是考查學(xué)生對(duì)x≤［x］＜x+1的理解和運(yùn)用能力．

創(chuàng)意分析本題以“歌德巴赫曾研究過(guò)的問(wèn)題”為背景，考查學(xué)生對(duì)極限思想與無(wú)窮項(xiàng)求和記號(hào)的理解，命制了讓學(xué)生通過(guò)對(duì)題中“記號(hào)”進(jìn)行觀察、分析、歸納、總結(jié)，創(chuàng)造性地考查學(xué)生“研究性學(xué)習(xí)”的理念和方法．

4 以高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)為創(chuàng)新點(diǎn)命制試題

高等數(shù)學(xué)的一些基本思想、基本概念、基本方法為設(shè)計(jì)創(chuàng)新型試題提供了深刻的背景，這是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的基本思想和方法是考查學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)潛能的良好素材．另外需要注意到，命題者大多數(shù)是大學(xué)教師，他們?cè)诿}時(shí)會(huì)受到自身學(xué)術(shù)興趣和研究背景的影響．高考創(chuàng)新型試題一般都有比較深刻的高等數(shù)學(xué)背景，這類(lèi)題目形式新穎，在課本例習(xí)題、復(fù)習(xí)資料和模擬試題中難以找到．

解答這類(lèi)題目沒(méi)有現(xiàn)成的方法可借鑒，會(huì)使一些考生感到難以人手，從而使該類(lèi)題目有很好的區(qū)分度，因此命題教師十分青睞含有高等數(shù)學(xué)背景的試題．

4．1 以列行式為背景

4．2 以矩陣為背景

創(chuàng)意分析本題以“矩陣”為背景定義了新運(yùn)算，并定義了運(yùn)算的幾何意義，其實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生初等數(shù)學(xué)中“映射”的概念，即:在平面上的點(diǎn)(x，y)在映射 f下變換成點(diǎn)(ax+by，cx+dy)．這樣命制體現(xiàn)了試題背景的公平性，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力．

解題策略 由題意得

4．3 以狄利克雷函數(shù)為背景

創(chuàng)意分析本題設(shè)計(jì)了狄利克雷函數(shù)這個(gè)特殊函數(shù)，考查特殊函數(shù)的圖像、極限、導(dǎo)函數(shù)和一次迭代等概念，明確點(diǎn)函數(shù)的圖像、極限、導(dǎo)數(shù)等．

解題策略由題意得點(diǎn)函數(shù)的圖像不是2條平行直線，當(dāng)x→∞時(shí)的極限不存在，而f［f(x)］=1，故選 D．

4．4 以利普希茨條件為背景

例14定義:若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意 2 個(gè) x1，x2(x1≠x2)，均有

創(chuàng)意分析本題設(shè)計(jì)了定義“利普希茨條件”，考查學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和運(yùn)用能力．

解題策略由題意任意2個(gè)x1，x2(x1≠x2)∈［1，+∞)，得

4．5 以微積分思想為背景

圖3

例15曲線C:y=2x(0≤x≤2)兩端分別為 M，N，且NA⊥x軸于點(diǎn)A．把線段 OA分成n等份，以每一段為邊作矩形，使與x軸平行的邊的一個(gè)端點(diǎn)在C上，另一端點(diǎn)在C的下方(如圖3)．設(shè)這n個(gè)矩形的面積之和為Sn，則

創(chuàng)意分析本題以高等數(shù)學(xué)中的微積分思想為背景，考查學(xué)生的等比數(shù)列求和公式、求極限的方法等．本題設(shè)計(jì)背景新穎、思想超前、難度適中．

解題策略將曲邊梯形分割為n個(gè)矩形的面積之和Sn，而Sn又是等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求出Sn，再求出所求極限，答案為24．

5 結(jié)束語(yǔ)

沒(méi)有創(chuàng)新就沒(méi)有發(fā)展;沒(méi)有發(fā)展，事物就會(huì)失去存在的價(jià)值．在與時(shí)俱進(jìn)的時(shí)代理念下，高考數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)展勢(shì)在必然．創(chuàng)新并不可怕，可怕的是面對(duì)創(chuàng)新題我們卻無(wú)所作為．因此作為一線教師，作為學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的領(lǐng)航員，必須做到以下幾點(diǎn):

(1)更新教學(xué)理念，激發(fā)有效課堂，注重通過(guò)多種形式與途徑在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維;

(2)要拓寬視域，研究高考創(chuàng)新題的題型、解法和走勢(shì)，從中摸索到一些規(guī)律性的東西來(lái)指導(dǎo)創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué);

(3)要關(guān)注生活，將生活引入數(shù)學(xué)課堂，讓數(shù)學(xué)課堂關(guān)注生活問(wèn)題，通過(guò)暗示、誘導(dǎo)、逆向啟發(fā)等多種手段訓(xùn)練并培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的思維與能力;

(4)要學(xué)生創(chuàng)新，教師得先創(chuàng)新，要努力學(xué)習(xí)新課程理念，探索新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的有效途徑，爭(zhēng)創(chuàng)一個(gè)能解會(huì)編、能教會(huì)導(dǎo)創(chuàng)新題的身體力行的創(chuàng)新型教師．