平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副應(yīng)力及影響因素分析

張彥欽 張光輝

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400030

平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副應(yīng)力及影響因素分析

張彥欽 張光輝

重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400030

基于彈塑性接觸有限元理論，建立了多組適于蝸桿副靜動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力分析的模型，研究了載荷、齒形參數(shù)對(duì)齒間載荷分配系數(shù)和齒面應(yīng)力分布的影響，計(jì)算了各級(jí)扭矩下不同包容齒數(shù)時(shí)的最大齒間載荷分配系數(shù)。研究結(jié)果表明：隨著載荷的增大，齒間載荷分配趨于均勻；接觸應(yīng)力沿接觸線從蝸輪齒根到齒頂呈“L”或“U”形分布；齒形參數(shù)對(duì)應(yīng)力分布的影響不容忽略，以應(yīng)力平均分布為目的的參數(shù)優(yōu)化可通過對(duì)比有限元分析結(jié)果完成。得到了0.05～1.50倍額定扭矩下，包容齒數(shù)為3、5、7時(shí)的最大齒間載荷分配系數(shù)。

蝸桿；有限元；應(yīng)力；齒間載荷分配

0 引言

平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)由于齒面形狀及受力狀態(tài)復(fù)雜，故其相關(guān)的應(yīng)力分析很少見報(bào)道。文獻(xiàn)［1］提出的接觸應(yīng)力解析算法雖然具有很好的借鑒作用，卻無(wú)法分析應(yīng)力的分布狀態(tài)。近些年來，接觸有限元法因?yàn)槟軌蛴行M傳動(dòng)副的應(yīng)力分布狀態(tài)而得到了廣泛應(yīng)用，如文獻(xiàn)［2－3］分析了環(huán)面蝸桿副的接觸應(yīng)力，文獻(xiàn)［4－5］分析了錐齒輪的應(yīng)力分布狀態(tài)，文獻(xiàn)［6－7］采用有限元法得到了齒輪傳動(dòng)的應(yīng)力分布。該類文獻(xiàn)多以探討有限元建模及計(jì)算方法為重點(diǎn)，應(yīng)用有限元法分析齒面應(yīng)力分布規(guī)律及其影響因素的文獻(xiàn)很少見到。

筆者在前人分析的基礎(chǔ)上，建立了蝸桿副靜動(dòng)態(tài)彈性接觸有限元模型，通過對(duì)多組參數(shù)進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，研究了載荷、齒形參數(shù)對(duì)齒間載荷分配系數(shù)和齒面應(yīng)力分布的影響，歸納了齒面應(yīng)力分布的特點(diǎn)；計(jì)算了不同載荷下包容齒數(shù)與最大齒間載荷分配系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并分析了嚙合時(shí)刻對(duì)最大齒間載荷分配系數(shù)的影響。

1 蝸桿副接觸分析有限元模型

筆者根據(jù)嚙合原理編制了蝸桿副參數(shù)化實(shí)體建模程序，由實(shí)體模型生成有限元網(wǎng)格模型，先后建立了蝸桿副理想裝配狀態(tài)和考慮了慣性和速度的動(dòng)態(tài)接觸有限元模型［8］。

如圖1a所示，為了減小計(jì)算量，取蝸桿上參與嚙合的一部分和蝸輪參與嚙合的幾個(gè)齒建立靜力分析網(wǎng)格模型。載荷和約束均施加在內(nèi)圈表面的節(jié)點(diǎn)上。設(shè)置約束如下：①限制蝸桿內(nèi)圈的全部移動(dòng)自由度，釋放蝸桿內(nèi)圈繞自身軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；②約束蝸輪內(nèi)圈的全部自由度；③將蝸桿副傳遞的轉(zhuǎn)矩?fù)Q算成圓周力施加在蝸桿內(nèi)圈上。

如圖1b所示，在做動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，把蝸輪上大部分輪齒簡(jiǎn)化為圓柱體，只留下參與嚙合的輪齒，蝸桿齒采用整體仿真模型；將蝸桿和蝸輪的內(nèi)圈均定義為剛性面，在蝸輪、蝸桿軸線上分別建立質(zhì)心參考點(diǎn)。所有的約束和載荷均施加在剛性面上：①約束蝸桿、蝸輪內(nèi)圈所有的平動(dòng)自由度和2個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，使其只能繞各自軸線旋轉(zhuǎn)；②蝸桿內(nèi)圈施加恒定的轉(zhuǎn)速，蝸輪內(nèi)圈加載恒定的阻力矩；③齒面間載荷的傳遞歸為自動(dòng)接觸類型。

圖1 蝸桿副有限元分析模型

蝸輪齒面上的理論接觸線分布（接觸應(yīng)力）如圖2所示，接觸齒號(hào)用1，2，…，5表示，各齒的一次接觸區(qū)和二次接觸線（區(qū)）分別用Ⅰ和Ⅱ表示。

圖2 蝸輪齒面接觸線分布圖

2 計(jì)算結(jié)果分析

筆者建立了多組有限元模型，用于分析載荷和主要齒形參數(shù)對(duì)齒面接觸應(yīng)力分布和齒間載荷分配系數(shù)的影響，以及包容齒數(shù)和嚙合位置對(duì)最大齒間載荷分配系數(shù)的影響。

2.1 載荷的影響

2.1.1 載荷對(duì)齒間載荷分配比的影響

以中心距a＝125mm、傳動(dòng)比i＝63、轉(zhuǎn)速為1500r／min時(shí)額定輸出扭矩T2＝1246N·m的蝸桿副為例，施加不同的載荷，研究齒間載荷分配系數(shù)的變化趨勢(shì)，并用均方差考察齒間載荷分配的平均程度。均方差f的計(jì)算公式如下：

式中，ei為第i顆齒承受的載荷分配比:為齒間載荷分配比平均值；n為包容齒數(shù)。

載荷對(duì)齒間載荷分配比的影響如表1所示。根據(jù)表1，載荷較小時(shí)，靠近嚙入端的三對(duì)齒承受大部分載荷，隨著扭矩的增大，嚙入端承受載荷減小，嚙出端輪齒承受載荷不斷增大，最大齒間載荷分配系數(shù)不斷下降，均方差值不斷減小，齒間載荷分配趨于均勻。

表1 載荷對(duì)齒間載荷分配比的影響

2.1.2 載荷對(duì)齒面應(yīng)力分布的影響

傳統(tǒng)的蝸桿接觸應(yīng)力計(jì)算公式中接觸應(yīng)力與載荷的0.5次方成正比［9］，即

式中，T2為輸出扭矩；ZE為材料系數(shù)；ZP為蝸桿傳動(dòng)系數(shù)；KA為工況系數(shù)。

圖3所示是同一模型施加不同載荷下的齒面接觸應(yīng)力和一次區(qū)量化處理后的接觸應(yīng)力曲線，據(jù)此分析輪齒沿接觸線方向應(yīng)力分布隨載荷的變化規(guī)律。

圖3 載荷對(duì)齒面接觸應(yīng)力的影響

在傳統(tǒng)的計(jì)算中，認(rèn)為載荷沿接觸線是平均分布的，分析圖3，受輪齒形狀影響，接觸應(yīng)力沿接觸線從蝸輪齒根到齒頂呈“L”形分布，蝸輪的齒根發(fā)生了較明顯的應(yīng)力集中。對(duì)接觸線中段上的應(yīng)力進(jìn)行平均處理，施加載荷比為0.50∶1.10∶1.50時(shí)第三對(duì)齒上一次接觸區(qū)所承受的扭矩比是1∶1.8∶2.4，對(duì)應(yīng)的接觸應(yīng)力比為1.00∶1.51∶1.78。

2.2 齒形參數(shù)對(duì)應(yīng)力分布的影響

2.2.1 基圓直徑的影響分析

建立蝸桿副有限元分析模型并施加相同的邊界條件和載荷，改變基圓直徑db，分析db對(duì)接觸應(yīng)力分布狀態(tài)和齒間載荷分配比的影響。根據(jù)式（1）計(jì)算齒間載荷分配系數(shù)的均方差，分析db對(duì)載荷分配系數(shù)均勻度的影響。

如表2所示，隨著db的增大，最大齒間載荷分配系數(shù)在31.5%～33.6% 之間變化，大部分載荷由靠近嚙入端的3對(duì)齒承受。

表2 db對(duì)齒間載荷分配比的影響

根據(jù)圖4，施加相同的扭矩，以二次接觸區(qū)為例比較不同db時(shí)受載最大的一個(gè)齒的接觸應(yīng)力的分布狀態(tài)。當(dāng)db為71mm、94mm時(shí)，接觸應(yīng)力較大，且沿接觸線呈“U”形分布；當(dāng)db為80mm時(shí)，蝸輪齒面的接觸應(yīng)力最小，且分布均勻。

圖4 db對(duì)接觸應(yīng)力的影響

2.2.2 母平面傾角β的影響

施加相同的載荷和邊界條件，分析β對(duì)接觸應(yīng)力分布狀態(tài)和齒間載荷分配比的影響。

如表3所示，隨著β的變化，最大齒間載荷分配系數(shù)約在31.7%～37.1% 之間變化，β為1°時(shí)，齒面上只有一次接觸線，均方差值最低，故齒間載荷分配最為均勻；β分別為4°、8°時(shí)，齒面上既有一次接觸線，也存在二次接觸線，兩者均方差值相差不大。

表3 β對(duì)齒間載荷分配比的影響

根據(jù)圖5，施加相同的扭矩，比較β取不同值時(shí)受載最大的一個(gè)齒的接觸應(yīng)力的分布狀態(tài)。隨著β的增大，接觸應(yīng)力不斷減小。

圖5 β對(duì)接觸應(yīng)力的影響

綜上所述，db對(duì)齒面接觸應(yīng)力分布狀態(tài)的影響較大，選取合理的db，可避免齒根、齒頂應(yīng)力集中。β對(duì)齒間載荷分配系數(shù)的影響較大，不同β對(duì)應(yīng)的最大齒間載荷分配系數(shù)波動(dòng)范圍約5.4%。各組接觸應(yīng)力的對(duì)比分析表明，以應(yīng)力均化為目的的參數(shù)優(yōu)化可通過對(duì)比有限元分析結(jié)果完成。

2.3 包容齒數(shù)與最大齒間載荷分配系數(shù)的關(guān)系

包容齒數(shù)是指同時(shí)嚙合的齒對(duì)數(shù)，筆者分別建立了包容齒數(shù)n為3、5、7時(shí)的接觸分析模型，分析包容齒數(shù)對(duì)最大齒間載荷分配系數(shù)的影響。為了減小由于接觸狀態(tài)不同而產(chǎn)生的誤差，各模型的接觸狀態(tài)基本一致（圖2），即各模型的前n－1個(gè)齒的二次接觸線在齒高方向的投影穿越全齒高，第n個(gè)齒的二次接觸線在齒高方向的投影約為全齒高的50%。

如圖6所示，在額定扭矩下包容齒數(shù)為3、5、7時(shí)對(duì)應(yīng)的最大齒間載荷分配系數(shù)分別是46.5%、28.1%和24.8%。

圖6 包容齒數(shù)與最大齒間載荷分配系數(shù)的關(guān)系

包容齒數(shù)并不是一個(gè)固定不變的量，隨著嚙合時(shí)刻的不同，包容齒數(shù)總是在某個(gè)范圍內(nèi)周期性地變化。以包容齒數(shù)5為例，施加額定扭矩，考察一個(gè)嚙合周期內(nèi)嚙合位置對(duì)最大齒間載荷分配系數(shù)的影響。

如圖7所示，在蝸輪轉(zhuǎn)過一個(gè)齒距角的周期內(nèi)，包容齒數(shù)在5～6個(gè)齒內(nèi)變化：最大齒間載荷分配系數(shù)在20.9%～26%之間變化。

圖7 嚙合位置對(duì)齒間載荷分配系數(shù)的影響（轉(zhuǎn)速為1500r／min）

3 結(jié)語(yǔ)

（1）分析了載荷、齒形參數(shù)對(duì)齒間載荷分配系數(shù)和齒面接觸應(yīng)力分布的影響；接觸應(yīng)力沿接觸線呈“L”或“U”形分布。齒形參數(shù)對(duì)應(yīng)力分布狀態(tài)的影響不容忽略：選取合理的db，可有效避免齒根、齒頂應(yīng)力集中；優(yōu)化β角可有效減小最大齒間載荷分配系數(shù)，均化齒間載荷分配。

（2）研究了各級(jí)載荷下，包容齒數(shù)與最大齒間載荷分配系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；并以5對(duì)齒嚙合為例，分析了一個(gè)嚙合周期內(nèi)，不同嚙合時(shí)刻最大齒間載荷分配系數(shù)約在20.9%～26%之間變化。

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Analysis on Stress Distribution and Influencing Factors of Planar Double Enveloping Hourglass Wom Gears

Zhang Yanqin Zhang Guanghui
State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing，400030

Based on the elastoplasticity contact finite element theory，a multi－group static and dynamic contact stress analysis models suitable for the worm gears were established.The influences of the load and parameters on the coefficient of load sharing among teeth and contact stress distribution were studied.The relationship between the number of teeth in the meshing and the maximum coefficient of load sharing among teeth under different loads was calculated.The results indicate：the load distribution tends to be even along with load enlargement；the contact stress distribution along the contact line like“L”or“U”；the influence of parameters on the stress can not be neglected，it is feasible that parameter optimized aimed at stress hypodispersion by contrasting the finite element analysis results.Under 0.05～1.5times the rated torque，the maximum coefficients of load sharing among the teeth are obtained when the number of meshing teeth is 3，5，7respectively.

worm gear；finite element method；stress；load sharing amongteeth

TH132.4

1004—132X（2011）10—1135—04

2010—07—23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50075089）

（編輯 袁興玲）

張彥欽，女，1980年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械傳動(dòng)。張光輝，男，1937年生。重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授、博士研究生導(dǎo)師。