Schr?dinger方程的交替方向Legendre譜元法

曾凡海， 馬和平， 趙廷剛

(上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

譜方法是求微分方程數(shù)值解的重要方法之一，但在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)受到一些制約.對于高維問題，其導(dǎo)出的代數(shù)方程組規(guī)模很大，給求解造成困難，且計(jì)算量大.解決的方法之一是使用交替方向隱式(alternating direction implicit，ADI)方法，把高維問題轉(zhuǎn)化為低維問題進(jìn)行計(jì)算求解［1-2］.

單區(qū)域譜方法難以直接應(yīng)用于復(fù)雜區(qū)域，但是通過區(qū)域分裂方法能較好地解決這一困難［3］.將區(qū)域分解成若干個(gè)子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域上分別使用譜方法，可以降低導(dǎo)出的代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的規(guī)模，改善矩陣的條件數(shù)，減少存儲(chǔ)，并實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算.

本工作首先考慮如下形式的線性Schr?dinger方程：

式中，Ω=(0，1)×(0，1)，?Ω為Ω的邊界，i2=-1，Δ為Laplace算子，σ=σ(x，y，t)為實(shí)值函數(shù)，U，U0，f為復(fù)值函數(shù).Schr?dinger方程是量子力學(xué)中最基本的方程，在高能物理、非線性光學(xué)以及超導(dǎo)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.

對Schr?dinger方程的數(shù)值解已開展了許多研究工作.文獻(xiàn)［4］建立了方程(1)的ADI正交樣條配置法，文獻(xiàn)［5］給出了方程(1)在f=0，σ=0時(shí)，時(shí)間和空間方向上具有二階精度的ADI差分格式.關(guān)于非線性 Schr?dinger方程的 Galerkin逼近可見文獻(xiàn)［6-8］.

本工作提出一種交替方向Legendre譜元方法求解二維線性和非線性Schr?dinger方程.該算法的優(yōu)點(diǎn)在于其計(jì)算的高度并行化，并可以減少存儲(chǔ).該算法利用ADI方法把二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題進(jìn)行求解，同時(shí)利用區(qū)域分裂法，可以并行計(jì)算.對于線性情形給出了方法的最優(yōu)H1誤差估計(jì).最后的數(shù)值算例顯示，該方法在時(shí)間方向具有二階精度，空間方向具有譜精度.

1 記號與約定

記L2(Ω)為通常的Hilbert空間，其上的內(nèi)積和范數(shù)分別記為(·，·)和‖·‖L2.對于非負(fù)整數(shù) r，Hr(Ω)為Sobolev空間，其上的半范數(shù)和范數(shù)分別為|·|Hr和‖·‖Hr.設(shè) X為賦范線性空間，簡記L2(X)=L2(0，T;X)和Hr(X)=Hr(0，T;X)，其上的范數(shù)記為‖·‖L2(X)和‖·‖Hr(X).

2 格式和算法實(shí)施

設(shè)τ為時(shí)間方向步長，{tk}為區(qū)間［0，T］的一個(gè)等距劃分，即tk=kτ，τ=T/nT.記

2.1 交替方向Legendre譜元格式

2.2 格式的矩陣表示和計(jì)算

假設(shè)σ1=σ1(x，t)，σ2=σ2(y，t)，令

則由方程(2)得到矩陣方程

因此，可以得到

以下給出交替方向Legendre譜元格式(2)的一個(gè)收斂性結(jié)果.

3 非線性Schr?dinger方程

將交替方向譜元法應(yīng)用到如下的非線性Schr?dinger方程：

式中，F(xiàn)(U)為關(guān)于U的非線性函數(shù).為了便于計(jì)算，采用三層格式，對非線性項(xiàng)顯示處理.方程(10)的交替方向Legendre譜元格式如下：找uk∈，使得對于任意的v∈(1≤k≤nT-1)，成立

其求解過程和線性情況完全類似.

4 數(shù)值算例

例1 考慮如下線性Schr?dinger方程：

取其精確解為

分別在單區(qū)域和2×2區(qū)域上使用格式(2)計(jì)算，結(jié)果如表1所示.

表1 格式(2)在t=1時(shí)的最大模誤差Table 1 Maximum error at t=1 for the Scheme(2)

由表1可以看出，格式(2)的單區(qū)域和2×2區(qū)域的結(jié)果在時(shí)間方向都具有二階精度，空間方向具有譜精度.取較小的時(shí)間步長τ=1E-5以檢驗(yàn)空間誤差，可見，格式(2)的2×2區(qū)域的結(jié)果比單區(qū)域要好.

例2 考慮如下非線性Schr?dinger方程［9］：

其精確解為

使用格式(11)在單區(qū)域上計(jì)算，結(jié)果如表2所示.

表2 方法(11)與文獻(xiàn)［10］中的方法在t=0.5時(shí)的誤差比較Table 2 Error comparison between the Scheme(11)and Reference［10］at t=0.5

此為文獻(xiàn)［10］中的一個(gè)算例，在時(shí)間方向上采用二階精度的時(shí)間分裂法，空間方向采用單區(qū)域Chebyshev-Tau方法.由表3可以看出，本工作采用格式(11)的計(jì)算結(jié)果要好于文獻(xiàn)［10］中的計(jì)算結(jié)果.

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