不等式約束對(duì)平差結(jié)果的影響分析

朱建軍，謝 建，陳宇波

中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙410083

1 引 言

在數(shù)據(jù)處理的許多情況下可根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)建立對(duì)參數(shù)的某種約束，如果所建立的約束是不等式形式，則形成了具有不等式約束的平差問題。對(duì)附不等式約束的平差問題近年來有眾多學(xué)者進(jìn)行了一系列研究。文獻(xiàn)［1－4］都曾研究過用高程約束改善GPS模糊度的分解，文獻(xiàn)［5］將附不等式約束的問題作為一種平差模型提出，并研究其解算方法。文獻(xiàn)［6］通過罰函數(shù)的思想提出附不等式約束平差模型解算的凝聚函數(shù)法。文獻(xiàn)［7］提出用遺傳算法和Matlab的優(yōu)化工具箱解決附不等式約束的計(jì)算問題。文獻(xiàn)［8］基于Kuhn－Tucker條件提出一種拉格朗日乘子迭代算法。文獻(xiàn)［9］從線性補(bǔ)的角度研究帶有線性不等式約束平差模型的算法。文獻(xiàn)［10］研究了不等式約束在GPS變形測量中的應(yīng)用。文獻(xiàn)［11］將不等式約束的平差模型統(tǒng)一到經(jīng)典平差模型中。但是，目前這些研究主要是集中在附不等式約束平差模型的解法上，也就是如何獲取參數(shù)的最優(yōu)估值。由于附不等式約束的平差模型求解時(shí)，平差參數(shù)不能表達(dá)成觀測值的函數(shù)，不能用傳統(tǒng)的平差方法和平差知識(shí)求解，因而采用附不等式約束平差模型時(shí)，不等式約束對(duì)平差結(jié)果的貢獻(xiàn)（影響）及平差參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)等還不是十分明了。

針對(duì)這一問題，根據(jù)附不等式約束的平差過程，利用概率統(tǒng)計(jì)的思想，分析不等式約束對(duì)平差結(jié)果的影響，從而分析平差結(jié)果的有關(guān)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。最后以一個(gè)簡單的例子直觀驗(yàn)證了有關(guān)分析和結(jié)論。

2 附不等式約束對(duì)平差結(jié)果的影響分析

2.1 經(jīng)典平差模型的解及精度

無約束的平差模型（誤差方程）可以表示為

式中，L為觀測值；V為觀測改正數(shù)；X為未知數(shù)；A為系數(shù)矩陣；P為觀測權(quán)矩陣。在最小二乘準(zhǔn)則下，可以得到

2.2 附不等式約束平差模型的影響分析

若有不等式約束GX≤W，則附不等式約束的平差模型可以表示為

不等式約束GX≤W在幾何空間上來說，是一個(gè)區(qū)域（如圖1）。

圖1 不等式約束的幾何描述Fig.1 Geometrical description of inequality constraints

對(duì)于第二種情況，解將位于由Q＾X確定的橢圓與不等式約束所限定的區(qū)域S的切點(diǎn)上［5］，即解將落在不等式約束所限定的區(qū)域的邊沿GX＝W上。不等式約束的作用就是將無約束時(shí)落在區(qū)域外的解通過Q＾X確定的橢圓全部投影到約束區(qū)域的邊緣上。無約束時(shí)，解落在任意一點(diǎn)的頻率為f（X）。有不等式約束時(shí)，解落在不等式約束作用的區(qū)域之外時(shí)將會(huì)通過Q＾X確定的橢圓全部投影到約束區(qū)域的邊緣上，所以實(shí)際落在區(qū)域之外的頻率將為0，而落在區(qū)域邊緣上的頻率不再是f（X），將會(huì)是

式中，GX≥W?GX＝W表示從區(qū)域外到區(qū)域邊緣的投影，即區(qū)域外的頻率全部投影到了區(qū)域邊緣，并且有

上式左邊表示沿區(qū)域邊沿的積分，右邊表示區(qū)域外的積分。附不等式約束平差解的驗(yàn)后分布就可表示為

驗(yàn)后均值為

驗(yàn)后均方誤差為

由式（9）、式（10）可以看出：

（1）模型（4）的估計(jì)是有偏的。式（9）中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是由于不等式約束引起的，如果沒有不等式約束，則期望值為為無偏。式（9）第二項(xiàng)為X在約束區(qū)域外的積分，而第三項(xiàng)為X在區(qū)域邊沿的積分上。如果這兩個(gè)積分本身不為0的話（非對(duì)稱），這兩部分一般是不會(huì)相等的，因而期望值不會(huì)等于真值，其偏差為

很顯然，該偏差是由于不等式約束破壞了驗(yàn)后分布的對(duì)稱性造成的，其大小取決于誤差本身的分布及不等式約束的非對(duì)稱性。如果觀測無誤差，則

此時(shí)，式（9）右邊第二、三兩部分的積分都將為0，上述偏差為0，估計(jì)仍然無偏。故這種估計(jì)有偏是因?yàn)椴坏仁郊s束打亂了平差參數(shù)驗(yàn)后（誤差）分布的均勻性而產(chǎn)生的，性質(zhì)與觀測中含系統(tǒng)誤差類似，與數(shù)學(xué)中有偏估計(jì)方法得到的有偏估計(jì)卻不相同。數(shù)學(xué)中的有偏估計(jì)方法得到的是壓縮估計(jì)，即使觀測沒有誤差，估計(jì)也是有偏的。

（2）附不等式約束平差的解的均方誤差恒定小于無約束的最小二乘解。由于附不等式約束平差估計(jì)的期望值受誤差分布的不均勻影響，方差就不能完全反映估計(jì)的精確程度，按傳統(tǒng)平差衡量待估參數(shù)質(zhì)量的方法，即估計(jì)值與真值的差異程度，選估計(jì)的均方誤差作為估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，附不等式約束平差解的均方誤差由式（10）表示。顯然，只要真值位于不等式約束區(qū)域之內(nèi)，則以真值為中心向外發(fā)散的每一條射線上，式（10）第二部分的積分都會(huì)大于等于第三部分的積分，即上式第二、三部分之和小于或等于0。附不等式約束平差模型解的均方誤差恒小于或等于無約束平差時(shí)解的方差。

（3）從精度的角度來說，不等式約束，不管是不是有效約束，總是有用的。在式（9）、式（10）的積分中，所有的約束，不管是有效約束還是無效約束都對(duì)積分起作用，所以不管是不是有效約束，都是有用的。

（4）約束對(duì)解的貢獻(xiàn)（或影響）與其約束值到真值的距離有關(guān)，約束值到真值的距離越小，對(duì)解的貢獻(xiàn)越大，反之越小。式（9）第二、三兩部分的差值與約束離真值的距離有關(guān)。如果約束與真值的距離很遠(yuǎn)，例如大于3σ，那么由正態(tài)分布的定義可知，f（X）或fGX（X）在遠(yuǎn)離期望的地方都會(huì)取到很小的值，式（9）的第二、三部分的貢獻(xiàn)就都會(huì)很小，約束的作用就不大。

3 算例分析

下面以一個(gè)極為簡單的一維例子直觀說明上述不等式約束對(duì)平差結(jié)果影響規(guī)律的分析。

假定有A、B兩點(diǎn)之間的距離需要確定，由某種先驗(yàn)知識(shí)可以確定AB之間的距離X應(yīng)該在a，b之間，即大于a小于b。用測距儀對(duì)AB距離進(jìn)行測量，得觀測值L，L的精度為σ，如果只對(duì)AB進(jìn)行1次觀測，平差模型（4）可表示為

該模型的解可表示為＾XIneq，假定觀測誤差服從正態(tài)分布，觀測值的取值則按圖2分布。

圖2 觀測誤差分布與不等式約束解Fig.2 Observation error distribution and solution to inequality constrained adjustment

在沒有不等式約束的情況下，式（11）的最小二乘解為＾X＝L，考慮不等式約束后，按上一節(jié)的分析，分成兩種情況：一是無約束最小二乘解滿足不等式約束，即a＜L＜b；二是無約束最小二乘解不滿足不等式約束或至少有一個(gè)約束不滿足，在本例中，可再分為觀測值落在區(qū)間L＞b和觀測值落在區(qū)間L＜a兩種情況。

第一種情況是觀測值落在區(qū)間a＜L＜b，此時(shí)，約束條件（11b）（11c）都滿足，不等式約束為無效約束，模型（11）等價(jià)于無約束的最小二乘模型，其解為

第二種情況，當(dāng)觀測值落在區(qū)間L＞b，此時(shí)，無約束的最小二乘解為約束條件（11c）不滿足，為有效約束，約束條件（11b）滿足為無效約束。按有效約束方法，上述平差模型的解等價(jià)于由下面的附等式的平差模型求得的解即在不等式約束的約束下，解取的概率為Pb，在這種情況下，無約束解的取值范圍仍然在區(qū)間（b，＋∞），不等式約束（11c）的作用就是把無約束時(shí)落在區(qū)間（b，＋∞）的解投影到不等式約束區(qū)間的邊界（端點(diǎn)）b上。

在本例的一維情況下，附不等式約束解的驗(yàn)后分布，即式（8）為

期望值，即式（9）可表示為

式（10）可表示為

很顯然，式（16）第二、三項(xiàng)之和只有在a、b與未知數(shù)真值對(duì)稱時(shí)才會(huì)為0，一般情況下不為0，即一般情況下＾XIneq是有偏的。由圖2可知，只要不等式約束是正確，在區(qū)間（－∞，a）恒定有在（b，＋ ∞）恒定有即式（17）第二、三項(xiàng)恒定的小于是恒定成立的。

在式（17）中，第二項(xiàng)代表約束（1）對(duì)解的精度的貢獻(xiàn)，第三項(xiàng)代表約束（2）對(duì)解的精度的貢獻(xiàn)。如果觀測落在區(qū)間（－∞，a），約束（11b）為有效約束，約束（11c）為無效約束，如果觀測落在區(qū)間（b，＋∞），則約束（11c）為有效約束，約束（11b）為無效約束，如果觀測落在區(qū)間（a，b）那么約束（11b）、（11c）都為無效約束。但不管觀測落在哪個(gè)區(qū)間，式（17）第二、第三項(xiàng)都會(huì)小于0，都對(duì)解的精度有貢獻(xiàn)。貢獻(xiàn)的大小與約束值a、b到真值的距離有關(guān)，約束值到真值的距離越小，對(duì)解的貢獻(xiàn)越大，反之越小。

以約束（11b）為例，約束（11b）對(duì)解精度的貢獻(xiàn)為式（17）中的第二項(xiàng)，分別取結(jié)果如表1。

表1 約束值距離真值的遠(yuǎn)近對(duì)平差結(jié)果的影響Tab.1 The affect of the distance between constrained and real value to the adjustment results

可以看出，不等式約束區(qū)間離真值3倍中誤差以上，其對(duì)解的貢獻(xiàn)就非常有限了。這在直觀上是很好理解的。比方說要測量地球到月球的距離，附加一不等式約束：地球到月球的距離大于1mm，很顯然這一約束是絕對(duì)正確的，但也毫無意義。這一結(jié)論主要說明，不同的不等式約束對(duì)解的作用不相同，不等式約束必須與觀測精度相適應(yīng)才能起作用。

對(duì)于上述第一種情況，約束條件（11c）為有效約束，附不等式約束的平差模型（11）的解與附等式的平差模型（12）的解相同。但此時(shí)，附不等式約束的平差模型（11）的解的方差是由式（17）確定，并且肯定不會(huì)為0，但模型（12）的解的方差確為0。同樣對(duì)第二種情況也有同樣的結(jié)論。因此在找到有效約束后，視有效約束為等式約束來評(píng)定附不等式約束的解的精度是顯然不合理的。

4 結(jié) 論

由式（9）、式（10）及上面的算例，可以得到以下結(jié)論：

（1）附不等式約束平差模型的解是有偏的，這種估計(jì)有偏是因?yàn)椴坏仁郊s束打亂了平差參數(shù)驗(yàn)后（誤差）分布的均勻性而產(chǎn)生的，性質(zhì)與觀測中含系統(tǒng)誤差類似，不同于數(shù)學(xué)中壓縮型有偏估計(jì)。壓縮型有偏估計(jì)即使觀測沒有誤差，估計(jì)也是有偏的。

（2）附不等式約束平差時(shí)，其解的方差恒定小于無約束的最小二乘解。

（3）不管不等式約束是有效約束還是無效約束，對(duì)最后的解的精度都有貢獻(xiàn)。

（4）不同的約束對(duì)解的貢獻(xiàn)不同，各約束對(duì)解的貢獻(xiàn)與其約束到真值的距離有關(guān)，約束到真值的距離越小，對(duì)解的貢獻(xiàn)越大，反之越小。

（5）有效約束在求解時(shí)與等式約束等價(jià)，但在評(píng)定精度時(shí)與等式約束不等價(jià)。

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