直驅(qū)輪轂式永磁無刷電動機(jī)氣隙磁場解析數(shù)值法分析

李春江，盧鐵斌，章躍進(jìn)

(上海大學(xué)，上海200072)

0 引 言

直驅(qū)式外轉(zhuǎn)子電機(jī)具有轉(zhuǎn)速低、轉(zhuǎn)矩大、磁極較多等特點，將電機(jī)與負(fù)載直接相連，省去變速齒輪箱，同時由于采用永磁體代替電勵磁功率密度增大，不需要滑環(huán)和電刷，使其結(jié)構(gòu)簡單更易于維護(hù)，運(yùn)行更加可靠。采用表面磁鋼式結(jié)構(gòu)無凸極效應(yīng)，轉(zhuǎn)矩控制較平穩(wěn)。分?jǐn)?shù)槽技術(shù)是減小齒槽定位轉(zhuǎn)矩的重要方法［1］，定子槽距接近極距，有利于采用單槽集中繞組，工藝較簡單。

永磁電機(jī)磁場分析方法主要有解析法和數(shù)值方法。文獻(xiàn)［2］較早提出基于極坐標(biāo)標(biāo)量磁位表示的表貼式徑向充磁永磁電機(jī)的解析法。但解析法在計算開槽磁場時，需要引入根據(jù)保角變換得到的復(fù)雜的相對磁導(dǎo)函數(shù)［3］。數(shù)值分析法有邊界元法、有限差分法、有限元法等，尤其以基于加權(quán)余量法的伽遼金有限元法使用較為廣泛［4］，目前有限元法研究的熱點為耦合電機(jī)電路方程、計及運(yùn)行時間變化的有限元時步法［5－6］。純粹使用有限元方法計算永磁電機(jī)磁場需要對整個電機(jī)根據(jù)其對稱條件做合理的網(wǎng)格剖分，一次得到的網(wǎng)格與節(jié)點數(shù)據(jù)量較大，計算時需要解龐大的方程組，計算進(jìn)程緩慢，且運(yùn)動時定轉(zhuǎn)子相對位置改變，氣隙網(wǎng)格質(zhì)量會變差，需要專門的技術(shù)處理。為減少計算時間，方便電機(jī)轉(zhuǎn)動時的磁場計算，文獻(xiàn)［7］提出并驗證了在氣隙磁場使用解析法與在定轉(zhuǎn)子磁場使用有限元法的結(jié)合法的正確性，文獻(xiàn)［8］在標(biāo)量磁位下進(jìn)一步將計算區(qū)域縮小到一個等效槽域，利用解析法計算的結(jié)果作為等效槽域數(shù)值計算的邊界條件，擬合出定轉(zhuǎn)子鐵心表面磁位的傅里葉分解系數(shù)修正開槽影響，文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］用解析法與差分法結(jié)合分別在標(biāo)量磁位與矢量位下計算了電機(jī)的齒槽定位轉(zhuǎn)矩。

本文是基于上述方法的發(fā)展，在矢量磁位下將四節(jié)點等參數(shù)有限元引入擴(kuò)展槽區(qū)域數(shù)值計算，在對槽進(jìn)行剖分時采用實際槽型，并將永磁體做等效處理，使其與實際情況更加接近。在程序中加入判斷條件，一次運(yùn)行即可完成任意轉(zhuǎn)動步長下任意定轉(zhuǎn)子相對位置時的解析法計算、數(shù)值計算場域自動剖分修正、邊界條件給定、場域數(shù)值計算與后處理，提高了計算過程的自動化水平。最后根據(jù)此方法計算了直驅(qū)式外轉(zhuǎn)子電機(jī)的空載感應(yīng)電勢，并與電機(jī)實驗波形對比，驗證了本方法的有效性和正確性。

1 定子未開槽時解析法磁場計算原理

徑向磁化的瓦片式永磁體的磁化強(qiáng)度矢量可以按電機(jī)的電角度周期作傅里葉展開式［2］:

首先假設(shè)電機(jī)不受開槽因素影響，電機(jī)未開槽情況下磁場滿足以下極坐標(biāo)矢量磁位方程:

由分離變量法得到磁場的通解:

其中Rs、Rr、Rm分別為電機(jī)內(nèi)定子鐵軛氣隙表面半徑、轉(zhuǎn)子鐵軛半徑、永磁體氣隙表面半徑。

可求得 AⅠn，BⅠn，CⅠn，DⅠn，AⅡn，BⅡn，CⅡn，DⅡn表達(dá)式，代入通解中，結(jié)合不同位置的半徑和角度可得到未開槽時永磁體與氣隙中任一節(jié)點磁位值。

2 擴(kuò)展槽區(qū)域數(shù)值計算

按照槽距寬度將槽和槽上的永磁體、氣隙劃分為一個個擴(kuò)展槽區(qū)域，擴(kuò)展槽區(qū)域的個數(shù)與電機(jī)槽數(shù)相同。并將槽上永磁體和氣隙部分劃分成一個氣隙區(qū)域，氣隙區(qū)域是擴(kuò)展槽區(qū)域的一部分，如圖1所示。

圖1 實際電機(jī)部分結(jié)構(gòu)示意與區(qū)域等效模型

四邊形等參數(shù)元素有限元法采用含有二次項的雙線性插值函數(shù)，比采用線性插值函數(shù)的差分法計算在磁場分布較集中區(qū)域精度有所提高，更加適合應(yīng)用于擴(kuò)展槽區(qū)域磁場的數(shù)值計算。在規(guī)則的擴(kuò)展槽區(qū)域中采用四邊形剖分較三角形剖分編號處理簡潔，呈現(xiàn)較強(qiáng)的規(guī)律性，因此采用四邊形等參數(shù)元素有限元法計算擴(kuò)展槽區(qū)域的磁場。

按照定子未開槽時解析法磁場計算獲得等效氣隙區(qū)域兩側(cè)邊界處的磁位，作為擴(kuò)展槽區(qū)域數(shù)值計算的第一類邊界條件，擴(kuò)展槽區(qū)域與定轉(zhuǎn)子鐵軛交界面的自然邊界為第二類邊界條件。對擴(kuò)展槽區(qū)域進(jìn)行自動剖分與修正后，節(jié)點與網(wǎng)格信息以非零數(shù)據(jù)壓縮模式存儲，按網(wǎng)格對節(jié)點的貢獻(xiàn)在程序中自動形成基于等參元差值函數(shù)的離散方程組。

2.1 擴(kuò)展槽區(qū)域自動剖分

本結(jié)構(gòu)采用徑向磁化瓦片式拼圓的外轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，故所有擴(kuò)展槽區(qū)域的形狀均相同，初次剖分的節(jié)點與網(wǎng)格信息也可以相同，因此只需對一個擴(kuò)展槽區(qū)域進(jìn)行初次剖分。以后計算過程中每個擴(kuò)展槽區(qū)域磁場共同使用一套網(wǎng)格、節(jié)點編號與坐標(biāo)位置。

在對擴(kuò)展槽區(qū)域進(jìn)行四邊形初次剖分時，按照永磁體、氣隙、槽區(qū)進(jìn)行徑向分段，每段按照磁場的可能分布情況給定不同的網(wǎng)格層數(shù)，對槽內(nèi)區(qū)域和槽口上氣隙與永磁體區(qū)域每層切向等分，將相同的等分點連接，兩側(cè)定子齒下部分也分別另行等分，這樣便完成對擴(kuò)展槽區(qū)域的初次剖分。采用這種剖分方式可以方便地調(diào)節(jié)在磁場變化較大的氣隙與槽口部分區(qū)域的網(wǎng)格密度。剖分網(wǎng)格大小的漸進(jìn)過渡及與正四邊形的近似度取決于每段所分層數(shù)和每層的等分點個數(shù)。剖分生成的網(wǎng)格編號、節(jié)點編號及節(jié)點坐標(biāo)位置均具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)上的對應(yīng)性，便于自動剖分和后續(xù)對永磁體等效面電流邊界做修正及數(shù)值計算。

2.2 永磁體等效與網(wǎng)格修正

本文在場域計算中加入了對永磁體等效邊界的處理。當(dāng)稀土永磁材料在易磁化方向充磁至飽和后，磁體內(nèi)的等效體電流密度Jm=0，而在與充磁方向平行的永磁體邊界面上等效分布著一層面電流且面電流密度大?。?1］:

式中:υ1為永磁材料磁阻系數(shù);M1為永磁體磁化強(qiáng)度。每個永磁體邊界面等效面電流均應(yīng)分別給定，如圖2所示。

圖2 永磁體等效面電流分布

永磁體邊界面電流條件等效為第二類邊界條件，在有限元計算中面電流交界面處需強(qiáng)制剖分為網(wǎng)格邊，因此對初次等參元網(wǎng)格剖分做修正。分?jǐn)?shù)槽電機(jī)每個擴(kuò)展槽區(qū)域中永磁體邊界所在位置均不同，由于存在槽數(shù)比極數(shù)大的情況，在有些擴(kuò)展槽域中也可能沒有永磁體邊界。在程序中對每個永磁體邊界和擴(kuò)展槽域邊界編號，根據(jù)電機(jī)旋轉(zhuǎn)角度和未轉(zhuǎn)動前每個永磁體邊與參考中線的相對位置得出每個永磁體邊轉(zhuǎn)動后的新位置，然后判斷此位置所屬的擴(kuò)展槽域，計算與此擴(kuò)展槽域兩邊界的角度差，由角度差判斷所需要修正的網(wǎng)格。比較永磁體邊界位置與此網(wǎng)格左右兩邊的角度差，以永磁體邊界位置作為該網(wǎng)格與其距離最近的邊的新位置，對該網(wǎng)格進(jìn)行修正，如圖3所示。

圖3 四邊形等參元網(wǎng)格剖分修正

將此邊界條件對節(jié)點的貢獻(xiàn)與擴(kuò)展槽區(qū)域一般網(wǎng)格對節(jié)點貢獻(xiàn)總體合成為統(tǒng)一的單元剛度矩陣，采用共軛梯度法求解得到區(qū)域中各節(jié)點磁位。

3 磁鏈與感應(yīng)電勢計算［13］

電機(jī)轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)子永磁體和定子槽相對位置改變，定子槽中磁位值隨之變化，繞組中匝鏈磁通的變化，在繞組中產(chǎn)生感應(yīng)電勢。采用前述方法選定一個較小相對位置變化作為運(yùn)動時的計算步長，計算每步運(yùn)動時各擴(kuò)展槽區(qū)域的磁場分布，計算每個槽磁鏈，按繞組分布求出每相繞組磁鏈，得到轉(zhuǎn)動位置與每相繞組磁鏈的分布關(guān)系，用傅里葉級數(shù)將離散點擬合成光滑曲線，結(jié)合電機(jī)轉(zhuǎn)動角速度將位置與磁鏈關(guān)系轉(zhuǎn)換為時間與磁鏈的關(guān)系，對時間求導(dǎo)即得到每相感應(yīng)電勢曲線。經(jīng)過此方法處理可以得到動態(tài)的磁鏈和感應(yīng)電勢波形曲線。

在對每個小四邊形網(wǎng)格求磁鏈時由于網(wǎng)格被剖分為任意形狀的凸四邊形，不易用統(tǒng)一的公式求面積，將網(wǎng)格劃分為兩個三角形，如圖4所示，并對整體磁鏈公式進(jìn)行修正。

圖4 剖分網(wǎng)格拆分

屬于某一相的線圈區(qū)域共有k個，屬于繞組正相帶的取“+”號，屬于負(fù)相帶的取“－”號，Ai、Aj、Ak、Am為一個單元內(nèi)四個節(jié)點的磁位，將四邊形單元e分割為三角形e1和e2，Se1和Se2分別為其面積，Swind為一個線圈區(qū)域內(nèi)所有單元面積之和。N為電機(jī)線圈總匝數(shù)，a為并聯(lián)支路數(shù)，Lef為電機(jī)軸向有效長度。式(9)求出的磁鏈ψl為一相繞組在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動到θl位置時的磁鏈。讓轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一個電周期即可得到完整的磁鏈和感應(yīng)電勢波形。

4 計算實例

三相直驅(qū)式分?jǐn)?shù)槽外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)主要參數(shù):極對數(shù)11，槽數(shù)24，額定功率2 kW，額定轉(zhuǎn)速950 r/min，內(nèi)定子外徑165mm，外轉(zhuǎn)子外徑190mm，內(nèi)徑166.2mm，氣隙0.6mm，磁鋼高度 4.9mm，磁鋼寬度16.36°，瓦片形磁鋼拚圓結(jié)構(gòu)，徑向充磁，繞線方式集中式單層繞組。繞組分布如圖5所示。

計算過程如圖6所示，只需在計算開始前給定電機(jī)基本參數(shù)和控制參數(shù)，整個計算過程通過軟件自動處理，全程不需人為干預(yù)。從圖7中磁力線在永磁體邊界處的分布情況可以看出對永磁體進(jìn)行面電流等效更加接近電機(jī)實際情況，也驗證了對網(wǎng)格剖分進(jìn)行修正的準(zhǔn)確性。對比圖8與圖9的相感應(yīng)電勢的計算波形和實驗波形可以看出，兩者的波形周期相同，變化趨勢相同，幅值略大于實驗值，滿足工程需要。圖8較圖9諧波分量所占比例有所偏差，這源于在數(shù)值計算中將氣隙區(qū)與永磁體區(qū)劃分為同一等效區(qū)域，未對不同材料單獨處理，對槽內(nèi)計算結(jié)果有所影響;以及在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動到永磁體邊界與擴(kuò)展槽區(qū)域邊界接近時為保證等參元迭代計算收斂不再對邊界網(wǎng)格進(jìn)行修正并舍去該永磁體邊界面電流補(bǔ)償，這也將引入諧波;計算中空氣區(qū)域磁場計算未考慮鐵心對其的影響作用，假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率為無窮大，這與實際磁路飽和情況有差異。

5 結(jié) 語

本文在對直驅(qū)式分?jǐn)?shù)槽外轉(zhuǎn)子電機(jī)磁場進(jìn)行解析數(shù)值結(jié)合法分析中采用實際槽型，將解析法和四邊形等參數(shù)有限元計算方法相結(jié)合，用解析法取得擴(kuò)展槽區(qū)域第一類邊界條件，對規(guī)則的擴(kuò)展槽區(qū)域進(jìn)行四邊形剖分和等參元計算，實現(xiàn)開槽，這樣就反映了開槽對電機(jī)的影響?？紤]了永磁體邊界對磁場的作用，加入邊界面電流對永磁體進(jìn)行等效。按照永磁體運(yùn)動及與擴(kuò)展槽區(qū)域邊界位置變化規(guī)律，實時修正網(wǎng)格形狀，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子以任意步長轉(zhuǎn)動，所有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的邊界條件加載和磁場計算均在一次運(yùn)算過程中完成，操作更加方便。將所求得的三相直驅(qū)式分?jǐn)?shù)槽外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)感應(yīng)電勢計算波形與實驗波形進(jìn)行比較，證明此方法具有可行性，在計算精度方面仍需進(jìn)一步改進(jìn)。

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