一個企業(yè)養(yǎng)老金數(shù)學(xué)模型

朱瑩，李建龍，張生華

(揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)，江蘇揚(yáng)州225009)

目前，我國養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過渡期，存在一些缺口和入不敷出等問題[1，2]。有社保專家呼吁，養(yǎng)老制度亟待改革，不然不出五年，全國都將陷入“縮水”窘境[3]。對于此類課題，許多學(xué)者都給出了最新的研究[4－7]。

2011建模比賽要求對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出最簡單合理的假設(shè)，并提供了相關(guān)附件，首先，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。并計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。其次，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲，40歲開始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休(55歲，60歲，65歲)，計(jì)算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。然后，再假設(shè)該企業(yè)某職工自2000年起從30歲開始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休(55歲，60歲，65歲)，并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金達(dá)到收支平衡。最后，提出如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，可以采取什么措施，并給出理由。

建模時假設(shè)存款利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。假設(shè)養(yǎng)老金都是到75歲時停止發(fā)放。不考慮金錢貶值的情況，不考慮意外情況，即意外死亡。

1 模型的建立與求解

1.1 對往年GDP增長率與工資增長率分析

表1 中國GDP增長率與山東省的平均工資增長率

相比于之前12%至13%的GDP高增速，目前中國經(jīng)濟(jì)增速已逐步放緩，并慢慢回歸到正常水平，從長遠(yuǎn)來看，中國經(jīng)濟(jì)在未來20年至30年還可保持大約7%的增長速度[8]。首先，分析歷年GDP增長率與山東省工資增長率的關(guān)系(見表1)，由表中數(shù)據(jù)知1978年—2010年中國GDP平均增長率為9.5%。然后對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形式作出了簡化的假設(shè):中國未來經(jīng)濟(jì)的發(fā)展?jié)u趨穩(wěn)定，GDP增長率保持在8.5%～10.5%之間(排除巨大風(fēng)險(xiǎn)和危機(jī)的發(fā)生)，而工資也在經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長的環(huán)境下平穩(wěn)上升并達(dá)到一個穩(wěn)定值，此后，工資將不再上漲，只在其穩(wěn)定值附近波動。

1.2 模型建立與求解

建模問題一中讓我們預(yù)測2011年－2035年的山東省職工的年平均工資，因?yàn)闀r間跨度不大，根據(jù)圖1中1978年－2010年GDP增長率與每年工資增長率散點(diǎn)擬合圖，用近似二次函數(shù)來表示GDP增長率與山東省每年平均工資的關(guān)系:

圖1 GDP增長率與每年工資增長率散點(diǎn)圖

即y=ax2+bx+c，其中x表示GDP增長率;y表示每年平均工資增長率。

所以y=417.03x2－82.91x+4.27(1)

由表1可以預(yù)測2011年—2035年的山東省GDP增長率，再根據(jù)方程(1)可以預(yù)測2011年—2035年的平均工資增長率和職工的年平均工資，見表2。

1.3 替代率的計(jì)算

替代率關(guān)系到養(yǎng)老金的收支能否平衡以及養(yǎng)老金的缺口的大小，所以，替代率是否合理對于有關(guān)決策部門來說具有非常重要的作用。替代率中一個重要參數(shù)，即本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資。比賽原題給出了反映“本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資”指標(biāo)的計(jì)算公式為:

公式中，x1，x2，…，xm為參保人員退休前1年、2年、…、m年本人繳費(fèi)工資額;c1，c2，…，cm為參保人員退休前1年、2年、…、m年全國、省、地市“職工平均工資”或稱“社會平均工資”;n為企業(yè)和職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的月數(shù)合計(jì);為退休前第i年的繳費(fèi)指數(shù)，i=1，…，m。

表2 2011年－2035年山東省職工年平均工資

根據(jù)表3求出各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，再據(jù)表2的數(shù)據(jù)，計(jì)算替代率:

其中:C表示全省上年度的平均工資;S表示本人指數(shù)化平均工資;N表示職工退休前累計(jì)繳費(fèi)年數(shù);K2表示個人帳戶的繳費(fèi)比例;Wi表示第i年份在職職工的月繳費(fèi)工資;r表示個人帳戶記帳利率養(yǎng)老金收益率。

職工從30歲開始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，針對前言所述三種退休情況，替代率分別為:

職工從40歲開始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)，針對前言所述三種退休情況，替代率分別為:

1.4 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡精算計(jì)算

由社會統(tǒng)籌賬戶和個人賬戶相結(jié)合的現(xiàn)行統(tǒng)一基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度可建立如下精算模型[9，10]:

養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)收入=月平均工資總額×繳費(fèi)率=企業(yè)繳納的社會統(tǒng)籌基金(20%)+個人繳納的個人賬戶基金(8%)

表3 2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工工資情況分析

用公式可以表示為:

式中:Wj為第j年份在職職工的月平均繳費(fèi)工資;k1和k2分別為社會統(tǒng)籌賬戶和繳費(fèi)比例與個人賬戶的繳費(fèi)比例。

基本養(yǎng)老金支付:基礎(chǔ)養(yǎng)老金=(參保人員退休時當(dāng)?shù)厣夏甓仍趰徛毠ぴ缕骄べY+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資)/2×繳費(fèi)年限×1%(繳費(fèi)年限須滿15年)

個人賬戶養(yǎng)老金=個人賬戶儲存額/國家規(guī)定的計(jì)發(fā)月數(shù)用公式可以表示為:

如果不考慮隱形性債務(wù)問題，養(yǎng)老保險(xiǎn)收支平衡是以繳費(fèi)期的收入滿足若干年后退休養(yǎng)老金的支付。設(shè)養(yǎng)老金收支平衡的目標(biāo)期為n年，n年期間社會養(yǎng)老金“收支平衡”可表示為各年養(yǎng)老金積累額的期末終值等于零。則

總收入為:

其中E為國家規(guī)定的個人帳戶計(jì)發(fā)月數(shù)。

當(dāng)總收入與總支出相等時，即達(dá)到收支平衡，從而得出n。于是分三種情況討論得到n1=11，n2=16，n3=26.在這個環(huán)節(jié)模型的選取是比較合適的。

1.5 關(guān)于養(yǎng)老保險(xiǎn)缺口情況的計(jì)算

設(shè)此人直到75死亡，缺口額為H。養(yǎng)老保險(xiǎn)缺口額等于總支出減去總收入，即:

分三種狀況，得到養(yǎng)老保險(xiǎn)的缺口額分別為

2 模型的結(jié)果與分析

控制替代率和維持收支平衡是一對矛盾，如果單純考慮降低養(yǎng)老金的增長率，或是提升工資的增長率，將養(yǎng)老金增長率控制在較低水平，養(yǎng)老金計(jì)劃的支出仍隨著工資增長而快速增長。所以，調(diào)整養(yǎng)老金增長率是無法降低替代率水平以防止陷入收支失衡的?；A(chǔ)養(yǎng)老金的替代率中包含工作年限這一參數(shù)，除非調(diào)整退休年齡，否則該參數(shù)是由勞動者職業(yè)生涯決策決定的，通過降低平均工作年限來降低替代率會產(chǎn)生另外兩種連鎖效應(yīng)，即參保人繳費(fèi)年限降低和領(lǐng)取養(yǎng)老金年限延長。事實(shí)上，這兩種效應(yīng)比替代率下降效應(yīng)更為顯著，反而會導(dǎo)致養(yǎng)老基金收支進(jìn)一步惡化。由于我國目前退休年齡過低，已經(jīng)嚴(yán)重影響到公共養(yǎng)老金計(jì)劃的可持續(xù)運(yùn)行，因此平均工作年限實(shí)際上應(yīng)該增加。

如果只考慮替代率降低反而使其收支缺口進(jìn)一步加大;如果只是延長繳納保險(xiǎn)金的時間，或是一味的將退休年齡推遲的話，將會導(dǎo)致收支平衡的暫時維持，但替代率卻加大了。替代率高了，提高了退休職工的生活水準(zhǔn)，但養(yǎng)老保險(xiǎn)收支平衡將很難維持。我們建模原題要求替代率接近于目標(biāo)58.5%。假設(shè)GDP維持在9.5%左右，經(jīng)過綜合考慮擬出了如下解決方案:

第一，隨著GDP的增長，工資增長率也在穩(wěn)中有升，要想達(dá)到目標(biāo)替代率和收支平衡，在本題解決方案中就是確定一個參考數(shù)據(jù)組，其替代率接近于目標(biāo)替代率58.5%。由于GDP維持在9.5%左右，其工資增長率也隨之波動不大，如果目標(biāo)替代率過低，可以適當(dāng)延長退休的年限，加大養(yǎng)老保險(xiǎn)的投入力度，也可適當(dāng)提高養(yǎng)老保險(xiǎn)的利率來達(dá)到目標(biāo)替代率與收支平衡。如果目標(biāo)替代率過高，可以在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)減少繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)的年限或是國家調(diào)控減少養(yǎng)老保險(xiǎn)的利率，將替代率與收支平衡情況調(diào)整到一定范圍內(nèi)。

第二，隨著人們生活水平的提高和退休年齡的推后，替代率也在逐步的升高，養(yǎng)老保險(xiǎn)的收支平衡較難維持，會出現(xiàn)養(yǎng)老保險(xiǎn)入不敷出現(xiàn)象。目前我國的替代率明顯偏高，需要降低。同時，在繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)時，也應(yīng)適當(dāng)?shù)脑黾永U納金額和延長退休年齡，增加參險(xiǎn)時間。另外還可以提高企業(yè)的工資水平，結(jié)合參險(xiǎn)者自身的工資水平和退休年齡做一份自我情況的分析，從而制定更好的養(yǎng)老保險(xiǎn)金方案。

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