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    復(fù)合固體推進(jìn)劑松弛模量的獲取方法

    2011-01-28 03:03:34許進(jìn)升鞠玉濤
    火炸藥學(xué)報(bào) 2011年5期
    關(guān)鍵詞:級(jí)數(shù)推進(jìn)劑模量

    許進(jìn)升,鞠玉濤,鄭 健,韓 波

    (南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京210094)

    引 言

    松弛模量是研究固體推進(jìn)劑力學(xué)性能的重要前提,一般通過材料的應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)獲得,但在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方面,傳統(tǒng)的方法忽視了松弛實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變加載階段[1-2],得到的初始松弛模量偏小,精確度較差。Zapas、Matti Malinen、Joonas Sorvari[3-7]等人針對(duì)該問題進(jìn)行了深入的研究,利用數(shù)值方法改進(jìn)了松弛模量的獲取方法,提高了其精確度。但此方法在數(shù)據(jù)處理方面需要計(jì)算應(yīng)力的變化速率,對(duì)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)提出較高的要求,且數(shù)據(jù)處理比較繁瑣。

    本研究從線黏彈性理論出發(fā),將松弛模量以Prony級(jí)數(shù)形式表示,結(jié)合松弛實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng),擬合得到推進(jìn)劑松弛模量中的材料參數(shù)。利用線性黏彈性理論計(jì)算啞鈴型試件松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)過程中的應(yīng)力響應(yīng),用該方法獲取的松弛模量不僅精確度較高,且數(shù)據(jù)處理方便。

    1 理論計(jì)算

    本研究由線性黏彈性理論出發(fā),其具體形式[8]:

    式中:松弛模量E(t)以6 階的Prony 級(jí)數(shù)形式表示,如式(2):

    應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)中理想的應(yīng)變加載過程如圖1(a)所示,但拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)不可能獲得理想的ε0階躍載荷。實(shí)際松弛實(shí)驗(yàn)是將試件以等應(yīng)變率拉伸或壓縮t1時(shí)間后,達(dá)到恒應(yīng)變值,并保持該應(yīng)變值ε0一段時(shí)間,實(shí)時(shí)記錄材料的應(yīng)力響應(yīng),實(shí)際應(yīng)變加載過程如圖1(b)所示。

    圖1 松弛實(shí)驗(yàn)的應(yīng)變過程Fig.1 Strain history in the relaxation test

    1.1 傳統(tǒng)方法

    在獲取材料松弛模量的傳統(tǒng)方法中,忽略了應(yīng)變的加載階段,而將應(yīng)變達(dá)到ε0的時(shí)刻t1作為松弛實(shí)驗(yàn)的初始時(shí)刻,則松弛模量可表示為:

    式中:E(t)為t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的松弛模量,MPa;F(t)為t時(shí)刻傳感器測(cè)得的力,N;A0為材料試件的初始截面積,mm2;ε0為松弛應(yīng)變水平。

    該方法目前應(yīng)用最為廣泛,但由于在應(yīng)變加載過程中,應(yīng)力已經(jīng)發(fā)生了一定的松弛,因此通過該方法獲得的初始彈性模量比真實(shí)值要小。適用于松弛特性較弱的材料,但對(duì)于松弛特性較強(qiáng)的材料而言,會(huì)產(chǎn)生較大的誤差,因此需要經(jīng)過一定的處理,考慮等應(yīng)變率加載階段對(duì)應(yīng)力松弛的影響。

    1.2 Joonas方法

    實(shí)際的應(yīng)變加載過程可通過式(4)表述為:

    將實(shí)際的應(yīng)變加載過程代入線黏彈性本構(gòu)方程中得到:

    將(6)式對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)得:

    Sorvari和Malinen在2006年提出用梯形法則來近似求解(6)式:

    (7)式、(8)式聯(lián)合便可以得到:

    式中:h為時(shí)間步長(zhǎng),該步長(zhǎng)由松弛實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)采集頻率確定。根據(jù)(10)式便可以通過t1時(shí)刻的應(yīng)力值σ(t1)得到材料的初始松弛模量E(0)。式(11)中采用了數(shù)值近似計(jì)算的方式,為減小該近似造成的誤差,需要提高數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的測(cè)試頻率,減小時(shí)間步長(zhǎng)h,對(duì)采集系統(tǒng)提出了較高的要求,且由于數(shù)據(jù)量大,對(duì)數(shù)據(jù)處理也帶來了不便。

    1.3 基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法

    本研究提出一種基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法。該方法從線黏彈性理論出發(fā),松弛模量以6階Prony級(jí)數(shù)的形式表示。將實(shí)際的應(yīng)變加載過程代入線黏彈性本構(gòu)方程中得到:

    當(dāng)t<t1時(shí),

    當(dāng)t>t1時(shí),

    松弛實(shí)驗(yàn)中,可以方便地得到t>t1時(shí)試件中的應(yīng)力響應(yīng)σ(t)、應(yīng)變?chǔ)?和時(shí)刻t1,利用以上數(shù)據(jù),可以直接擬合得到松弛模量中的參數(shù)E∞、Ei和τi,可見該方法在處理數(shù)據(jù)方面較方便。

    2 實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

    本研究針對(duì)HTPB 復(fù)合推進(jìn)劑進(jìn)行了應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸破壞實(shí)驗(yàn),利用松弛實(shí)驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)等數(shù)據(jù)通過上述3種方法進(jìn)行處理,分別擬合出松弛模量中的材料參數(shù)。利用所得的松弛模量分別計(jì)算出松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)應(yīng)力響應(yīng)的理論解,并與松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)實(shí)驗(yàn)值對(duì)比,以驗(yàn)證3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

    2.1 松弛及等速率拉伸實(shí)驗(yàn)

    采用QJ-211B型電子萬能實(shí)驗(yàn)機(jī),實(shí)驗(yàn)中保持恒溫20℃,濕度70%。試件采用HTPB 復(fù)合固體推進(jìn)劑板條形啞鈴試件,尺寸如圖2所示。

    圖2 試件尺寸示意圖Fig.2 Schematic diagram of specimen size

    松弛實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變加載過程為:加載速度為100mm/min,實(shí)際加載應(yīng)變率為0.009 7s-1,加載時(shí)間t1=4.74s,應(yīng)變水平為ε0=4.59%,松弛時(shí)間為1 800s,重復(fù)5次,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取平均值。圖3(a)為松弛實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線。

    為便于得到實(shí)驗(yàn)的理論解,可進(jìn)行等速率拉伸破壞試驗(yàn),拉伸速率為100mm/min,實(shí)際應(yīng)變率為0.009 5s-1,重復(fù)5次,應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)取平均值。圖3(b)為等速率拉伸實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線。

    2.2 松弛模量的計(jì)算

    數(shù)據(jù)處理過程中,傳統(tǒng)方法和Joonas方法首先需要得到材料不同時(shí)刻的松弛模量,然后再將松弛模量擬合為6階的Prony級(jí)數(shù)形式。而本研究提出的方法中,可直接根據(jù)式(13)擬合出松弛模量。3種方法得到的松弛模量如表1所示。

    圖3 實(shí)驗(yàn)獲得的σ-t曲線Fig.3 σ-t curves obtained by experiments

    表1 Prony級(jí)數(shù)參數(shù)值Table 1 Values of Prony series coefficients

    圖4為3種擬合手段得到的松弛模量的對(duì)比,傳統(tǒng)方法得到的初始松弛模量E0=11.745 28MPa,Joonas 方法擬合得到的初始松弛模量E0=33.126 19MPa,基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法得到的初始松弛模量E0=29.434 67MPa。從圖4中可以看到,三者的主要差別發(fā)生在前2s內(nèi),而隨著時(shí)間的推移,三者之間逐漸趨于一致。且在前2s內(nèi),松弛模量的變化也最劇烈,說明該型固體推進(jìn)劑的松弛現(xiàn)象較強(qiáng),而在松弛實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變加載時(shí)間達(dá)到4.74s,因此不能忽視此階段的應(yīng)力松弛,這也是傳統(tǒng)方法中初始松弛模量較其他兩種小很多的原因。

    圖4 3種方法擬合得到的松弛模量曲線Fig.4 Relaxation modulus curves obtained by the three ways

    2.3 松弛模量的驗(yàn)證

    利用上述3種方法擬合得到的松弛模量,計(jì)算應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力響應(yīng)理論解,通過與松弛實(shí)驗(yàn)和等速率拉伸實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,以驗(yàn)證這3種方法處理松弛模量的適用性和精確度。

    將所求的松弛模量分別帶入(13)式,計(jì)算松弛實(shí)驗(yàn)中t1時(shí)刻以后的應(yīng)力響應(yīng),并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖5所示??梢钥吹剑瑢?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較符合Joonas方法和基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法計(jì)算得到的曲線分布,且t1時(shí)刻的實(shí)驗(yàn)值與基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法更漸近,而傳統(tǒng)方法得到的曲線相對(duì)偏小。

    圖5 t1時(shí)刻后松弛應(yīng)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值的對(duì)比Fig.5 Comparison of the calculated values and experimental ones for relaxation after t1time

    為進(jìn)一步驗(yàn)證松弛模量的準(zhǔn)確性,對(duì)材料在同等條件下進(jìn)行了100mm/min拉伸破壞實(shí)驗(yàn)。圖6為拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線實(shí)驗(yàn)值與理論值的對(duì)比。由圖6可以看到,通過傳統(tǒng)方法獲得的理論值與實(shí)驗(yàn)值存在較大的差距,精確度較差;在材料的線性階段,Joonas方法與基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果重合得較好,但由于材料在大變形下表現(xiàn)出明顯的非線性特性,當(dāng)應(yīng)變值大于15%以后,理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生了較大的偏差。因此可認(rèn)為當(dāng)該推進(jìn)劑材料的應(yīng)變小于15%時(shí),線黏彈性理論仍有較好的適用性,當(dāng)應(yīng)變超出該范圍時(shí),應(yīng)采用非線性黏彈性理論來描述材料的力學(xué)性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在計(jì)算黏彈性材料的松弛模量中,Joonas方法和基于Prony 級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法是很好的選擇。

    圖6 等速率拉伸σ-ε實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of the experimental values by extension test at the constant rate and the calculated ones

    3 結(jié) 論

    (1)傳統(tǒng)方法由于忽視了應(yīng)變加載階段的應(yīng)力松弛,獲得的松弛模量值在6s之前偏小,而6s之后與另外兩種基本重合,適用于松弛特性較弱的材料。

    (2)采用Joonas方法和基于Prony級(jí)數(shù)的數(shù)據(jù)擬合法均可得到較高精度的松弛模量。且對(duì)于第二種方法數(shù)據(jù)處理更方便,是計(jì)算黏彈性材料松弛模量較好的選擇。

    (3)用3種方法獲得松弛模量的主要誤差出現(xiàn)在前2s內(nèi),隨時(shí)間的推移,三者逐漸趨于重合,且在前2s內(nèi)松弛模量變化最劇烈,說明該推進(jìn)劑的松弛現(xiàn)象較明顯。

    (4)對(duì)于HTPB 復(fù)合固體推進(jìn)劑,當(dāng)應(yīng)變值小于15%,可采用簡(jiǎn)單的線黏彈性理論描述其力學(xué)性能;當(dāng)應(yīng)變值大于15%,需要采用較復(fù)雜的非線性黏彈性本構(gòu)模型。

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