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    太陽(yáng)處在“圓心”的合理性

    2011-01-25 00:55:04張智奇
    物理通報(bào) 2011年11期
    關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)圓心質(zhì)心

    張智奇

    (忻州市第一中學(xué) 山西 忻州 034000)

    郝占朋

    (大理市第一中學(xué) 云南 大理 671003)

    在人民教育出版社《物理·必修2》第六章第一節(jié)行星的運(yùn)動(dòng)中,把開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律做了近似處理:以太陽(yáng)為圓心,地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng).這樣做合理嗎?下面,采用三種方法來(lái)論證,說(shuō)明這樣處理的合理性.

    1 理論計(jì)算

    為了問(wèn)題的簡(jiǎn)便,不考慮其他星體的影響,那么太陽(yáng)與地球間的問(wèn)題屬于雙星問(wèn)題.在萬(wàn)有引力的作用下,為了保持各自的穩(wěn)定,他們必然繞他們之間的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)各自做圓周運(yùn)動(dòng),如圖1所示.那么如何計(jì)算這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的位置呢?

    1.1 常規(guī)算法

    由高中的知識(shí)(雙星系統(tǒng)中角速度相同)并結(jié)合圖1,圖中S表示太陽(yáng)中心,其質(zhì)量為M;E表示地球,其質(zhì)量為m;O為二者的共同圓心;SO長(zhǎng)為r1,EO長(zhǎng)為r2,SE長(zhǎng)為r.根據(jù)萬(wàn)有引力公式很容易列出以下三式

    圖1

    r1+r2=r

    (1)

    (2)

    (3)

    由(1)~(3)式得

    (4)

    1.2 質(zhì)心法

    質(zhì)心的定義

    將上式求二階導(dǎo)數(shù)得

    其中M總為系統(tǒng)的總質(zhì)量,F(xiàn)合為系統(tǒng)所受合外力.

    由上式知

    M總ac=F合

    如果把太陽(yáng)與地球看做一個(gè)系統(tǒng),此系統(tǒng)不受外力的作用,此系統(tǒng)的質(zhì)心只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止,根據(jù)常識(shí),此系統(tǒng)的質(zhì)心只能靜止的.從而太陽(yáng)和地球都繞其質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng).如圖1所示,建立一維坐標(biāo)系Ox來(lái)求質(zhì)心,得

    (5)

    至此,根據(jù)(4)、(5)式,可以發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)到不動(dòng)點(diǎn)(質(zhì)心)的距離的表達(dá)式是一樣的.可以知道太陽(yáng)的質(zhì)量mS=1.97×1030kg,半徑rS=6.963×108m,地球的質(zhì)量mE=6.68×1024kg,地球與太陽(yáng)間的距離為rSE=1.49×1011m.

    將以上數(shù)據(jù)代入(4)、(5)式可得

    r1=rc=4.6 km

    rc?rS,可見(jiàn),質(zhì)心離太陽(yáng)的中心很近,太陽(yáng)繞其內(nèi)部的某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).由此可以看來(lái),把太陽(yáng)的中心看做地球繞其做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是可以的.

    1.3 坐標(biāo)系法

    建立如圖2所示坐標(biāo)系,地球E和太陽(yáng)S間繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).

    圖2

    設(shè)地球的質(zhì)量為m,太陽(yáng)的質(zhì)量為M,分別可得

    (6)

    (7)

    由(6)式乘以m和(7)式乘以M得

    (8)

    (9)

    (8)式減去(9)式得

    以太陽(yáng)為圓心,將式變形為

    (10)

    一般情況下,M?m,故

    (10)式近似表述為

    所以,把太陽(yáng)的中心近似為地球繞其作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是可以的.

    2 理論拓展

    以上推導(dǎo)是以太陽(yáng)和地球?yàn)檠芯繉?duì)象,且不考慮其他星球的影響.如果考慮到其他星球的影響,那么太陽(yáng)還是各行星做圓周運(yùn)動(dòng)的中心嗎?(r是軌道半徑,rc是太陽(yáng)中心到質(zhì)心距離)

    表1 各行星計(jì)算數(shù)據(jù)

    由以上數(shù)據(jù)知太陽(yáng)與每一個(gè)行星組成的雙星系統(tǒng)中,其質(zhì)心都在太陽(yáng)(rS=6.963×105km)的內(nèi)部或表面,所以太陽(yáng)可以看做是所有這些行星做圓周運(yùn)動(dòng)的中心.

    1 賈書惠.理論力學(xué)教程.北京:高等教育出版社,2008

    2 趙凱華,羅蔚茵.力學(xué).北京:高等教育出版社,2006

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