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    從開普勒定律到萬(wàn)有引力定律

    2011-01-25 00:55:04于永剛
    物理通報(bào) 2011年11期
    關(guān)鍵詞:常量開普勒極坐標(biāo)

    于永剛

    (安國(guó)中學(xué) 河北 保定 071200)

    高中階段,由于缺少數(shù)學(xué)知識(shí),從開普勒定律到萬(wàn)有引力的推導(dǎo)只能在簡(jiǎn)化之后的圓軌道上進(jìn)行.甚至大學(xué)階段,普通物理的教材中,也采用了這個(gè)方法.本文力圖從原始的橢圓軌道入手,導(dǎo)出萬(wàn)有引力定律.當(dāng)然,這個(gè)過程不可能不涉及高等數(shù)學(xué)的知識(shí).首先做一個(gè)準(zhǔn)備工作,然后再集中考慮推導(dǎo)的過程.如果“準(zhǔn)備”中的知識(shí)已完全清楚,則可以直接考慮定律的推導(dǎo).

    1 準(zhǔn)備

    1.1 極坐標(biāo)中的橢圓方程

    橢圓定義為到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e,且e<1時(shí)的點(diǎn)的集合.

    如圖1所示,在極坐標(biāo)中,Ox為極軸,l是垂直于極軸的定直線,它與O點(diǎn)的距離為p.由橢圓的定義可知

    可得

    (1)

    圖1

    1.2 極坐標(biāo)中的位置矢量

    r=ri

    (2)

    圖2

    式(2)中等號(hào)右邊的r表示的是位矢的大小,i表示的位矢的方向.但是應(yīng)當(dāng)注意的是,不管是r還是i,都不一定是常量.這和直角坐標(biāo)系中的單位向量是常量是有區(qū)別的.

    另外,r和i都是θ的函數(shù),在運(yùn)動(dòng)學(xué)中θ又是時(shí)間t的函數(shù).所以,r和i都是時(shí)間t的函數(shù),所以也可以說位置矢量r是時(shí)間的函數(shù).

    在這里,必須清楚的是,極坐標(biāo)中的矢量表示和用極坐標(biāo)表示函數(shù)關(guān)系并不完全是一回事.若用極坐標(biāo)表示數(shù)量關(guān)系,只需要用標(biāo)量式r=r(θ)即可,在表示矢量時(shí),不得不在這個(gè)基礎(chǔ)上加上了單位矢量i.

    1.3 極坐標(biāo)中的速度和加速度

    下面先求單位矢量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

    圖3

    在圖3中,以O(shè)x方向?yàn)閤軸,O為原點(diǎn),垂直O(jiān)x向上為y軸建立直角坐標(biāo)系,用ξ,η表示沿x軸、y軸的單位矢量,則i,j可分別表示為

    i=cosθξ+sinθη

    -sinθξ+cosθη

    因此

    對(duì)比j的表達(dá)式有

    (3)

    (4)

    下面對(duì)位矢函數(shù)r=ri求導(dǎo),這樣可以得到在極坐標(biāo)系中的速度公式

    (5)

    將上面得到的速度公式再次求導(dǎo),可以得到加速度的表達(dá)式

    其中

    (6)

    (7)

    分別表示徑向加速度和橫向加速度.

    2 推導(dǎo)

    開普勒定律包括三大定律.

    開普勒第一定律(橢圓定律):每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng),而太陽(yáng)則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.

    開普勒第二定律(面積定律):在相等時(shí)間內(nèi),太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的.

    想出兩行文字,心里蠻得意,叫作“磚瓦有神佑,風(fēng)火正當(dāng)時(shí)”。沒問題吧?可剛鋪好紙,李打油沖過來,一把奪去我的毛筆摔在地上,弄得我一手墨黑。他沖我吼道:你是道士你敢畫符呀,下一窯再出問題你當(dāng)替死鬼呀!

    開普勒第三定律(調(diào)和定律):各個(gè)行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的立方成正比.

    由(7)式可知

    在極坐標(biāo)中,θ為變量,所以當(dāng)它由θ變?yōu)棣?dθ過程中,極徑r掃過的面積的微元(用一個(gè)扇形的面積近似代替,這和直角坐標(biāo)系中用矩形的面積近似代替曲邊梯形是相似的)為

    設(shè)角度由θ變?yōu)棣?dθ過程中經(jīng)歷的時(shí)間為dt,上式兩邊除以dt,由開普勒第二定律知,在任意相等的時(shí)間里行星和太陽(yáng)的連線(極徑)掃過的面積相等(是一個(gè)常量).即

    也就是

    此“常量”是上式中“常量”數(shù)值的2倍.

    這就是說

    (8)

    (9)

    對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

    (10)

    可得

    (11)

    再次對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

    (12)

    代入(12)式可得

    (13)

    由(6)可知

    對(duì)上式右邊分?jǐn)?shù)線上下同乘以r2有

    (14)

    由開普勒第三定律知

    (15)

    式中a是行星公轉(zhuǎn)軌道的半長(zhǎng)軸,T是行星公轉(zhuǎn)的周期.而單位時(shí)間內(nèi)行星與太陽(yáng)的連線掃過的面積,即面積的變化率為

    (16)

    式中a,b分別表示橢圓的半長(zhǎng)軸與半短軸,而πab表示的是橢圓的面積.

    因此有

    (17)

    (18)

    將(18)式代入(14)式有

    (19)

    (20)

    當(dāng)θ=π時(shí)

    (21)

    如圖4所示,OB為r1,AO為r2.可知

    r1+r2=2a

    (22)

    圖4

    將(20)、(21)式代入(22)式可得

    pe=a(1-e2)

    (23)

    因此

    代入(19)式可得

    (24)

    上式中,4π2k是與軌道無(wú)關(guān)的量,負(fù)號(hào)的含義是ar的方向與矢徑r的方向相反.至此,由開普勒定律推導(dǎo)出了徑向加速度與距離的平方成反比,從而不難推得引力與距離平方成反比關(guān)系.

    在(24)式的基礎(chǔ)上,乘以行星與太陽(yáng)的折合質(zhì)量

    就可以得到

    (25)

    這正是想要的結(jié)果.

    至此萬(wàn)有引力定律得證.

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