最小二乘法在熱溫特性實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用*

余雪里

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院 湖北 武漢 430073)

1 引言

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是高校培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力的重要基礎(chǔ)課程.對評價(jià)學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰κ种匾?實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和作圖是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)?zāi)芰疾熘械囊粋€重要環(huán)節(jié)[1～3].溫度和電阻是大學(xué)物理中需要關(guān)注的重要的物理量.熱電阻溫度特性測量實(shí)驗(yàn)就是基于此而開設(shè)的.Pt100鉑電阻是一種利用鉑金屬導(dǎo)體電阻隨溫度變化的特性制成的溫度傳感器，測溫范圍為-200 ～650 ℃，在此范圍內(nèi)Rt與t的關(guān)系復(fù)雜.基于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)性，鉑電阻的測溫范圍選擇在0～100 ℃[4].對于Pt100鉑電阻溫度傳感器在0～100 ℃范圍內(nèi)，Rt的表達(dá)式可近似為Rt=R0(1+A1)t.對于式中R0與A1的值，最直接的方法就是用作圖法來求值，但作圖法有其缺陷.一方面，其結(jié)果誤差較大；另一方面，在0～100 ℃范圍內(nèi)鉑電阻隨溫度變化不明顯，增加了作圖的難度，處理也較麻煩，其結(jié)果的誤差可能更大.

最小二乘法又稱最小平方法，是以誤差理論為依據(jù)的較為嚴(yán)格且被廣泛應(yīng)用的數(shù)據(jù)處理方法.應(yīng)用最小二乘法原理從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出經(jīng)驗(yàn)方程稱為方程的回歸分析或曲線的擬合問題[5～6].回歸分析過程就是應(yīng)用最小二乘法對大量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得出較為符合物理量之間客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也可以進(jìn)行直線擬合分析.為說明方便，這里只討論如何根據(jù)最小二乘法的要求建立直線趨勢或回歸方程，并求解待定參數(shù).由此，如果把最小二乘法應(yīng)用于熱電阻溫度特性測量實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理，問題就迎刃而解了.

2 實(shí)驗(yàn)背景介紹

2.1 用直流電橋法測量熱電阻

把四個電阻R1,R2,R3,Rt連成一個四邊形回路ABCD,每條邊稱作電橋的一個“橋臂”.在四邊形的一組對角接點(diǎn)A，C之間連入直流電源E，在另一組對角接點(diǎn)B，D之間連入平衡指示儀表.B，D兩點(diǎn)的對角線形成一條“橋路”，它的作用是將橋路兩個端點(diǎn)電位做比較.當(dāng)B，D兩點(diǎn)電位相等時(shí)，橋路中無電流通過，指示器示值為零，電橋達(dá)到平衡.指示器指零，有UAB=UAD,UBC=UDC,電橋平衡，電流Ig=0,流過電阻R1，R3的電流相等，即I1=I3.同理I2=IRt.因此

直流平衡電橋(惠斯通電橋)的電路如圖1所示.

圖1

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

按原理圖接線，將控溫傳感器Pt100鉑電阻(A級)，插入干井爐中心，另一只待測試的Pt100鉑電阻插入另一井，從30 ℃起開始測試，然后開啟加熱器，每隔10 ℃控溫系統(tǒng)設(shè)置一次，控溫穩(wěn)定后，調(diào)整電阻箱R3，使輸出電壓為零(實(shí)際上是指輸出電壓絕對值最小)，電橋平衡，依次按要求測量，計(jì)算待測Pt100鉑電阻的阻值(R1,R2用金屬膜精密電阻,R3用精密電阻箱).

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

熱電阻溫度特性測量實(shí)驗(yàn)中所用實(shí)驗(yàn)儀器為FD-TTT-A溫度傳感器溫度特性實(shí)驗(yàn)儀一臺，ZX21直流多值十進(jìn)電阻箱一個.數(shù)據(jù)獲取的環(huán)境溫度為28.6 ℃，濕度為34%.數(shù)據(jù)記錄于表1.

表1 Pt100電阻溫度特性數(shù)據(jù)

4 應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理

應(yīng)用最小二乘法作直線擬合，求出Pt100鉑電阻溫度特性的結(jié)果，得出溫度系數(shù)A1和R0的值.將Pt100鉑電阻溫度傳感器關(guān)系式Rt=R0(1+A1t)改寫為Rt=R0+R0A1t.為了計(jì)算方便，令yi=Rt,xi=t,a=R0,b=R0A1,可列下表2.

表2 預(yù)處理數(shù)據(jù)

對任何一組測量值(xi,yi),需要計(jì)算其相關(guān)系數(shù)，以判別線性回歸是否合理.相關(guān)系數(shù)是反映所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)和設(shè)定的回歸方程是否相適應(yīng)的量，一般以r表示.相關(guān)系數(shù)為一純數(shù)：-1

r(xi,yi)=

=±0.999 7

因?yàn)閨r|→1，所以Rt與t線性相關(guān)，公式Rt=R0(1+A1)t成立.又根據(jù)最小二乘法相關(guān)公式可得

由上面的結(jié)果與關(guān)系式中的設(shè)定可得出溫度系數(shù)A1和R0的值

對于Pt100鉑電阻溫度傳感器在0～100 ℃范圍內(nèi)，Rt的表達(dá)式可近似線性表示為

Rt=99.85(1+0.003 9t) Ω

5 結(jié)束語

本文用最小二乘法對Pt100鉑電阻溫度特性實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)做了處理，不僅減小了實(shí)驗(yàn)誤差， 而且避免了手工繪圖時(shí)的困擾，適用于學(xué)生對物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理和分析.

參考文獻(xiàn)

1 余雪里，李端勇，張昱，秦平力，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課的綜合成績評定.物理通報(bào),2010(3):11～13

2 黃勇. 測普朗克常量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理.物理實(shí)驗(yàn)，2010,31(3):25～28

3 李飛，吳云鋒，張萍，鄭建洲.基于Matlab的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011, 30(1):58～61

4 吳鋒，李端勇,大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(基本篇).北京：科學(xué)技術(shù)出版社，2009，32～35

5 劉宇，謝琬琰，鄭藝，等. 最小二乘法處理密立根油滴實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).物理實(shí)驗(yàn)，2010,30(5):43～46

6 花世群.最小二乘法在單縫衍射測波長中的應(yīng)用.大學(xué)物理，2005，24(2)40～42