關(guān)于x-t圖像坐標(biāo)意義的探討

唐建勛

(無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 江蘇 無錫 214123)

x-t圖像(教材中的正式稱謂是位移-時(shí)間圖像)，是高一物理“運(yùn)動(dòng)的描述”和“勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究”兩章中十分重要的知識(shí)點(diǎn).無論是老版人教社教材還是新版普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，該知識(shí)點(diǎn)都屬于學(xué)生必須掌握的A級(jí)內(nèi)容.該圖像對(duì)于幫助學(xué)生理解物體直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有著極其重要的作用.但是筆者卻在教學(xué)和使用教材的過程中發(fā)現(xiàn)關(guān)于x-t圖像坐標(biāo)意義的矛盾之處，筆者認(rèn)為將x-t圖像稱為位移-時(shí)間圖像，將縱坐標(biāo)的意義歸屬于位移的做法有待商榷.

圖1

眾所周知，當(dāng)建立起一個(gè)直角坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)都反映了縱坐標(biāo)所代表的因變量隨橫坐標(biāo)所代表的自變量變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如果將大量的坐標(biāo)點(diǎn)在坐標(biāo)系中標(biāo)出，并將這些點(diǎn)用曲線連接，就能通過曲線的形狀反映因變量隨自變量變化的函數(shù)關(guān)系.同樣道理，x-t圖像以x(暫且認(rèn)為是位移)為因變量，以時(shí)間t為自變量；圖像所反映出來的也應(yīng)該是x隨t變化的函數(shù)關(guān)系.但是若在x-t圖像中取任意一點(diǎn)P,如圖1所示，P點(diǎn)代表的是x0與t0的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中t0代表的是某一時(shí)刻，那么x0代表該時(shí)刻物體的位移嗎？從教材本身對(duì)位移概念的闡述來看，答案是否定的.

根據(jù)教材對(duì)于位移的定義(人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·必修1》第13頁)，“位移是表示物體位置變化的物理量” ，可知，位移反映了物體在某段時(shí)間內(nèi)從初始位置到終點(diǎn)位置的變化情況，說明位移是物體從一個(gè)位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置的過程中發(fā)生的，應(yīng)該是一個(gè)過程量.既然位移是過程量，那么對(duì)應(yīng)的應(yīng)該是某一段時(shí)間間隔.但是在x-t圖像中,P點(diǎn)橫坐標(biāo)所代表的卻是時(shí)間軸上的某一時(shí)刻，而時(shí)刻對(duì)應(yīng)的必定是狀態(tài)量，因此如何能用橫坐標(biāo)代表的某一時(shí)刻來對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)所代表的某過程的位移呢？這樣的對(duì)應(yīng)違反過程量與狀態(tài)量本身的定義，所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)的意義歸結(jié)為位移實(shí)為不妥，但令人遺憾的是教材始終沒有注意到這一點(diǎn).

再看教材，在人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·必修1》第40頁上提到“……圖描述了物體對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化情況，這個(gè)圖像稱為位移-時(shí)間圖像.”教材中提到的“對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移”就是位移嗎？能夠用位移代替x-t圖像的縱坐標(biāo)的意義嗎？大學(xué)普通物理教材中研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)引入了表示物體位置的物理量——位置矢量r(也稱位矢或矢徑), 位矢是表示質(zhì)點(diǎn)在空間的位置的矢量，位矢是從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)所在處P的有向線段[1]，可以表達(dá)如下

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

由表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，位矢是由時(shí)間所對(duì)應(yīng)的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，應(yīng)該是一個(gè)狀態(tài)量.在高中階段研究直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于所討論的空間是一維的，所以位矢表示為

r=x(t)

方向可以根據(jù)所規(guī)定正方向加正負(fù)號(hào)來確定.

基于上面的分析不難發(fā)現(xiàn)，所謂“對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移”其實(shí)并非位移，真正所指應(yīng)該是位矢.

同樣的問題在人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·選修3-4》“機(jī)械振動(dòng)”一章中又被提及，“為了研究彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們以振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿著它的振動(dòng)方向建立坐標(biāo)軸……兩個(gè)坐標(biāo)軸分別代表時(shí)間t和小球位移x，因此它就是小球在平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移-時(shí)間圖像，即x-t圖像.”除了現(xiàn)在所使用的教材， 在各年度使用的教材中，這一章內(nèi)容都或多或少、或明或暗提到了本章中的“位移”特指振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移，而這些所謂的“位移”實(shí)質(zhì)上也都是位矢.

位矢與位移是有區(qū)別的，位矢是某時(shí)刻相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置矢量，而位移是在某一段時(shí)間過程內(nèi)相對(duì)初始位置的位置變化矢量.對(duì)于相對(duì)靜止的不同坐標(biāo)系來說，位矢依賴于坐標(biāo)系的選擇，而位移則與所選取的坐標(biāo)系無關(guān).若取初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)才能夠使兩者一致，但也僅僅是大小的相等和方向的相同，其本質(zhì)意義還是有差別的，因?yàn)槲皇甘请S時(shí)間t變化的狀態(tài)函數(shù)，所以位矢對(duì)應(yīng)的是某一時(shí)刻，而位移對(duì)應(yīng)的則是某段時(shí)間間隔，其實(shí)它們的關(guān)系在教材中已經(jīng)被提到了. 在人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·必修1》第14頁寫道:物體在時(shí)刻t1處于位置x1，在時(shí)刻t2處于位置x2，那么物體的位移等于兩個(gè)位置的坐標(biāo)變化，即

Δx=x2-x1

在力學(xué)教材中位移的表達(dá)式如下

Δr=r(t+Δt)-r(t)

在一維空間里表達(dá)式則變?yōu)?Δx=x2-x1

對(duì)照上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，高中教材中所提到的位置x1和x2就是一維空間里的位矢，而Δx即位矢的變化才是位移.

通過上述分析，筆者認(rèn)為x-t圖像的縱坐標(biāo)x應(yīng)該是位矢而不是位移;縱坐標(biāo)必須賦予位矢的意義才能使x-t圖像縱坐標(biāo)的狀態(tài)量和橫坐標(biāo)的時(shí)刻一一對(duì)應(yīng)起來，才能將x-t圖像斜率就是物體速度這一結(jié)論解釋得更加滴水不漏.

但令筆者感到困惑不已的是，通過解讀人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·必修1》第14頁的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)教材的編者已經(jīng)注意到了介紹位矢和位移的區(qū)別與聯(lián)系；但是在人教版高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》從高一到高三各冊(cè)中，編者始終沒有明確指出位矢概念與位移概念的區(qū)別；在對(duì)x-t圖像的認(rèn)識(shí)上，也是始終統(tǒng)稱為位移-時(shí)間圖像.這明明是科學(xué)性錯(cuò)誤，為何教材的編者始終沒有糾正？筆者姑且認(rèn)為是教材的編者過多地考慮到高中生認(rèn)知能力的局限性，擔(dān)心高一學(xué)生剛接觸矢量概念，本身位移的概念已經(jīng)打破了學(xué)生對(duì)于物理量認(rèn)識(shí)的常規(guī)，若是再來一個(gè)和位移概念相近的位矢概念，學(xué)生可能會(huì)在這兩個(gè)概念的理解上出現(xiàn)模糊和混淆，于是索性用“相對(duì)于原點(diǎn)的位移”來替換位矢.誠(chéng)然，這樣的做法符合對(duì)于科學(xué)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該呈螺旋形上升的趨勢(shì)的做法，在初學(xué)某理論時(shí)可以用雖然略有科學(xué)性錯(cuò)誤,但對(duì)初學(xué)者而言卻是更淺顯易懂的方法來闡述，以后可以再逐漸詳細(xì)討論.可是筆者通過教學(xué)實(shí)踐卻發(fā)現(xiàn)情況并非如此.

圖2

首先，常會(huì)遇到這樣的問題：甲、乙兩個(gè)物體相對(duì)于同一參考系的x-t圖像如圖2所示，下列說法正確的是

A.甲、乙兩物體的運(yùn)動(dòng)快慢相同

B.甲、乙兩物體由同一地點(diǎn)出發(fā)

C.t1時(shí)刻甲、乙兩物體位移相等

D.t1時(shí)刻甲、乙兩物體在同一位置

在該題目中，學(xué)生對(duì)于選項(xiàng)C,D的認(rèn)識(shí)存在困難，因?yàn)榻處熎綍r(shí)在課堂上所講的位移概念都是有初末位置對(duì)應(yīng)的，而選項(xiàng)C中突然問學(xué)生某時(shí)刻的位移，學(xué)生往往對(duì)此無所適從，教師不得不告知學(xué)生此位移特指相對(duì)于原點(diǎn)的位移，但學(xué)生又會(huì)疑惑，為什么要硬性規(guī)定相對(duì)于原點(diǎn)呢？尤其是乙的位移為何不是相對(duì)于初始位置而是非要相對(duì)于原點(diǎn)呢？其實(shí)出題者的本意問的就是t1時(shí)刻甲、乙兩物體的位矢是否相等，若教師能夠介紹位矢概念，明確x-t圖像的縱坐標(biāo)x是位矢的話，學(xué)生就不難理解C,D選項(xiàng)均是正確的.但是教師若過多糾纏于將位矢自圓其說成位移的話，會(huì)引發(fā)很多問題;這就種下了學(xué)生概念理解上的潛在危險(xiǎn).所以教材的編者雖然想用“相對(duì)于原點(diǎn)的位移”來淡化位矢概念，但結(jié)果卻適得其反，學(xué)生反而會(huì)在x-t圖像的認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生混淆.

其次，筆者通過在教學(xué)實(shí)踐的嘗試中發(fā)現(xiàn)，索性揭開位矢的神秘面紗，將位移和位矢概念加以區(qū)別，只要將位矢r的概念在一維情況下簡(jiǎn)化為位置x;再根據(jù)正方向賦予正、負(fù)號(hào)，表示位置的方向，結(jié)合教材中所提及的位移Δx=x2-x1，學(xué)生還是能夠輕松接受位矢概念的.有了位矢概念的基礎(chǔ)，學(xué)生就不難理解x-t圖像的縱坐標(biāo)應(yīng)該表示位置，x-t圖像應(yīng)該稱為位置-時(shí)間圖像，學(xué)生對(duì)于位移的概念反而更加清晰，對(duì)x-t圖像的應(yīng)用掌握得更加扎實(shí).

綜上所述，筆者建議在教材中應(yīng)介紹位矢概念;在一維情況下可用坐標(biāo)軸位置來體現(xiàn)，摒棄“某時(shí)刻的位移”和“相對(duì)于原點(diǎn)的位移”的稱法，用位矢(位置)來替代，將x-t圖像的稱謂由“位移-時(shí)間圖像”改為“位置-時(shí)間圖像”.

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，1997.31